Váltakozó áramú áramkörök

Az elektrotechnika szempontjából a váltakozó áramú áramkörök generátorokat, ohmos ellenállásokat, tekercseket és kondenzátorokat tartalmaznak. A továbbiakban lineáris, koncentrált paraméterû áramköröket tárgyalunk.

1. Váltakozó áramú ellenállások. Tapasztalati megfigyelések

A váltakozó áramú ellenállások közé tartoznak az ohmos ellenállások, a tekercsek és a kondenzátorok. Ezek az ellenállások különbözõképpen viselkednek az egyenáramú és váltakozó áramú áramkörökben. Vizsgáljuk meg ezt a kérdést úgy, hogy helyezzük az ellenállásokat elõször egy egyenáramú áramkörbe, majd pedig egy olyan váltakozó áramú áramkörbe, ahol a váltakozó áramú generátor feszültségének effektív értéke megegyezik az egyenáramú generátor feszültségével ().

a.) Ohmos ellenállás

Tekintsünk egy ellenállású ohmos ellenállást, melyre elõször egyenfeszültséget kapcsolunk és erõsségû áramot mérünk, majd effektív értékû váltakozó feszültséget és mérünk effektív erõsségû áramot. Elvégezve a kísérleteket azt tapasztaljuk, hogy amennyiben akkor , ami azt jelenti, hogy az ohmos ellenállás ugyanazt az ellenállást jelenti egyenáramban, mint váltakozó áramban. Megjelenítve egy oszcilloszkópon az ellenálláson a feszültséget és az áramköri ágban folyó árammal arányos feszültséget azt tapasztaljuk, hogy a két jel idõbeli változása azonos, ami azt jelenti, hogy az ellenálláson a feszültség fázisban van az áramköri ágban folyó árammal (5. ábra).

4. ábra

5. ábra

b.) Induktív ellenállás (tekercs)

Tekintsünk egy induktivitású ideális (saját ellenállással nem rendelkezõ) tekercset, mellyel ugyanazokat a kísérleteket végezzük el, mint az elõzõ pontban az ohmos ellenállással (6. ábra). Azt tapasztaljuk, hogy a váltakozó esetben kisebb áramot mérünk, mint az egyenáramú esetben (rövidzárási áram), . Ez azt jelenti, hogy a tekercs a váltakozó árammal szemben nagyobb ellenállást képvisel, mint az egyenárammal szemben. Az ideális tekercs rövidzárat jelent az egyenáramú áramkörben!

6. ábra

7. ábra

Megjelenítve egy oszcilloszkópon a tekercsen a feszültséget és az áramköri ágban folyó árammal arányos feszültséget azt tapasztaljuk, hogy a két jel idõbeli változása különbözõ, a tekercsen a feszültség fázisban siet az áramköri ágban folyó áramhoz képest (7. ábra). Megmérve ezt a fáziskülönbséget azt tapasztaljuk, hogy ez megegyezik -vel, vagyis a tekercsen a feszültség siet az áramhoz képest egy negyed periódust.

c.) Kapacitív ellenállás (kondenzátor)

Tekintsünk egy kapacitású ideális (végtelen ohmos ellenállással rendelkezõ) kondenzátort, mellyel ugyanazokat a kísérleteket végezzük el, mint a 2.1.1. pontban az ohmos ellenállással (8. ábra). Azt tapasztaljuk, hogy a váltakozó esetben mérünk áramot az áramkörben, míg az egyenáramú esetben nem folyik áram az áramköri ágban, . Ez azt jelenti, hogy a kondenzátor szakadást jelent egyenáramban, míg véges ellenállással rendelkezik a váltakozó esetben.

8. ábra

9. ábra

Megjelenítve egy oszcilloszkópon a kondenzátoron a feszültséget és az áramköri ágban folyó árammal arányos feszültséget azt tapasztaljuk, hogy a két jel idõbeli változása különbözõ, a kondenzátoron a feszültség fázisban késik az áramköri ágban folyó áramhoz képest (9. ábra). Megmérve ezt a fáziskülönbséget azt tapasztaljuk, hogy ez megegyezik -vel, vagyis a tekercsen a feszültség késik az áramhoz képest egy negyed periódust.

2. Kényszerrezgés váltakozó áramú soros RLC áramkörben

Tekintsünk egy áramkört, amelyben egy ohmos ellenállás, egy induktivitású tekercs és egy kapacitású kondenzátor sorba van kötve egy pillanatnyi feszültségû váltakozó áramú generátorral (10. ábra).

10. ábra

A zárt áramkörben a generátor hatására kialakul egy kényszerrezgés, melyet váltakozó áramnak nevezünk. Kiindulva a Maxwell-egyenletrendszerbõl, a (4.13) összefüggés alapján felírhatjuk a soros RLC áramkörre jellemzõ Kirchhoff huroktörvényt (4.17). Feltételezzük, hogy az áramkör nincs mágnesesen csatolva más áramkörökkel, és hogy a kondenzátor töltetlen az áramkör zárásának pillanatában.

A kapott összefüggés egy integro-differenciális egyenlet, melynek megoldása szintén harmonikus és kereshetõ alakban. Általában a feszültség és az áram nincsenek fázisban, ezért szerepel a feszültségnél és az áramnál.

Behelyettesítjük -t és -t a (4.17) összefüggésbe és elvégezzük a deriválás és az integrálást. Eredményképpen kapjuk a (4.18) összefüggést:

Ahhoz, hogy a mennyiségek fázisait, vagyis a különbözõ mennyiségek egymáshoz viszonyított fáziskülönbségeit kimutathassuk, minden mennyiség pozitív elõjellel kell szerepeljen és ugyanazzal a szögfüggvénnyel kell legyen leírva. Minden mennyiséget fejezzük ki a szinusz szögfüggvénnyel:

Ez az összefüggés épp azokat a kísérleti megfigyeléseket igazolja, amelyeket a 2.1.1.-2.1.3. pontokban foglaltunk össze., vagyis az ellenálláson a feszültség fázisban van az árammal, a tekercsen a feszültség siet -vel, a kondenzátoron pedig késik a feszültség -vel az áramhoz képest, az áram pedig általában nincs fázisban a feszültséggel. Az alábbi táblázatba összefoglaltuk az áramköri elemeken a feszültségek pillanatnyi értékei, valamint amplitúdóit és effektív értékeit.

1. táblázat:

A táblázat második és harmadik oszlopában lévõ Ohm-törvények tartalmazzák az áramköri elemek váltakozó árammal szembeni ellenállásait. Látszik ebbõl, hogy az ohmos ellenállás, ahogy azt a 2.1.1. pontban már kísérletileg tapasztaltuk, ugyanakkora ellenállással rendelkezik a váltakozó árammal szemben, mint egyenárammal szemben.

Megjegyzés. A váltakozó áramú ellenállásokat, gyûjtõnéven impedanciákat, különbözõ névvel illetjük attól függõen, hogy milyen értékû fáziseltolást hoznak léte a feszültség és az áram között. Ohmos ellenállásnak nevezzük azokat az impedanciákat, amelyek olyan áramköri elemeket jellemeznek, amelyek az áram és a feszültség között nem hoznak létre fáziseltolást, reaktanciának nevezzük azoknak az áramköri elemeknek az ellenállásait, amelyek -es fáziseltolást hoznak létre az áram és a feszültség között, és impedanciának mindazon áramköri ellenállásokat, amelyek az áram és feszültség között 0 és -tõl különbözõ fáziseltolást hoznak létre.

3. A váltakozó áramú ellenállások hatásának fizikai jelentése (fáziseltolás, frekvenciafüggés)

a.) Ellenállás

A váltakozó áram vezetése szempontjából az egyszerû ohmos ellenállás ugyanúgy viselkedik, mintha egyenáram haladna rajta át, tehát nem okoz fáziseltolást az áram és a feszültség között, illetve bármilyen frekvencia esetén ugyanazzal az ellenállásértékkel rendelkezik.

b.) Tekercs

A 2.1.2. pontban kísérleti megfigyelésként rögzítettük, hogy az ideális tekercs a tekercsen átfolyó áram és a tekercs sarkain megjelenõ feszültség között -es fáziskülönbséget hoz létre úgy, hogy a feszültség siet az áramhoz képest, a 2.2. pontban pedig ugyanezt bizonyítottuk kiindulva Maxwell-egyenletrendszerbõl és meghatároztuk a tekercs frekvenciafüggõ ellenállásának kifejezését is.

A továbbiakban vizsgáljuk meg a fáziseltolás és az ellenállás frekvenciafüggésének fizikai hátterét. Tekintsük, hogy a tekercsen pillanatnyi értékkel rendelkezõ áram folyik át, ahol . A (4.8) összefüggésnek megfelelõen, a tekercsen megjelenõ feszültség pillanatnyi értékét a következõ összefüggéssel adhatjuk meg.

A fenti összefüggés kifejezi, hogy a tekercsen megjelenõ feszültség arányos az áram változási sebességével, ami nem más, mint a 11. ábrán látható görbe különbözõ pontjaihoz húzott érintõnek az iránytényezõje. Tekintsünk két különbözõ frekvenciájú, és , de azonos amplitúdójú áramot.

A -es () fáziseltolás a (4.20) összefüggés és a 12. ábra alapján magyarázható. Amikor az áram eléri a maximális értékét, a iránytényezõ minimális (nulla, mivel párhuzamos az idõtengellyel), tehát a feszültség is nulla értékkel rendelkezik. Amikor viszont az áram nulla érékkel rendelkezik, az iránytényezõ eléri maximális értékét (1. és 2. érintõk), így a feszültség is maximális értékkel rendelkezik. Megfigyelhetjük azt is, hogy azokban a pontokban amikor az áram eléri a pozitív illetve negatív amplitúdó értéket, az iránytényezõ elõjelet vált.

11. ábra

Megmérve a tekercsen lévõ feszültség amplitúdóját a két frekvencia esetében, azt tapasztaljuk, hogy a frekvencia felezésekor az amplitúdó is felére csökken (), ami azt jelenti, hogy a tekercs ellenállása is felére csökken, ami azt jelenti, hogy a tekercs ellenállásának frekvenciafüggése lineáris (2.2. pontnak megfelelõen).

c.) Kondenzátor

A 2.1.2. pontban kísérleti megfigyelésként rögzítettük, hogy az ideális kondenzátort tartalmazó áramkörben az áram és a kondenzátor sarkain megjelenõ feszültség között -es fáziskülönbség jön létre úgy, hogy a feszültség késik az áramhoz képest, a 2.2. pontban pedig ugyanezt bizonyítottuk kiindulva Maxwell-egyenletrendszerbõl és meghatároztuk a kondenzátor frekvenciafüggõ ellenállásának kifejezését is.

A továbbiakban vizsgáljuk meg a fáziseltolás és az ellenállás frekvenciafüggésének fizikai hátterét. Tekintsük, hogy a kondenzátort tartalmazó ágban pillanatnyi értékkel rendelkezõ áram folyik, ahol . A (4.11) összefüggésnek megfelelõen, a kondenzátor fegyverzetein megjelenõ feszültség pillanatnyi értékét a következõ összefüggéssel adhatjuk meg (amennyiben töltetlen a kondenzátor!!!!).

A fenti összefüggés tulajdonképpen azt jelenti, hogy a kondenzátor fegyverzetein megjelenõ feszültség arányos az áramgörbe által határolt területtel. Tekintsünk ismét két különbözõ frekvenciájú, és , de azonos amplitúdójú áramot.

A -es () fáziseltolás a (4.21) összefüggés és a 12. ábra alapján magyarázható. Tekintsük a kezdeti idõpillanatot (), amikor a kondenzátor negatív polaritással van feltöltve. Ebben a pillanatban nem folyik áram az áramkörben. Ha zárt az áramkör a kondenzátor kisül és elveszíti töltését. A folyamat során az áram nõ addig, amíg a kondenzátor elveszíti az összes töltését (). Ezután az áram értéke csökkenni, kezd, mert a kondenzátor kezd feltöltõdni pozitív polaritással.

12. ábra

Mindaddig nõ a töltése (és a sarkain a feszültség), amíg áram kering az áramkörben. Maximális értékét akkor éri el, amikor már nem folyik áram az áramkörben (). Ezt követi egy a kondenzátornak egy újabb kisülése ( pillanatig), amikor már az áram irányt is vált, majd egy újabb feltöltõdése negatív polaritással.  Jól megfigyelhetõ, hogy minden esetben, amikor az áram értéke nulla (minimális) a feszültség értéke maximális és fordítva. A kondenzátor ellenállásának frekvenciafüggéséhez figyeljük meg a 12. ábrán az 1. és 2. görbék alatti területet. Megfigyelhetõ, hogy a kisebb frekvenciához tartozó terület nagyobb, mint a nagyobb frekvenciához tartozó terület. Mivel a kondenzátor ellenállása kétszeresére növekedik a frekvencia felezésekor, tehát a kondenzátor ellenállása fordítottan arányos a frekvenciával (2.2. pontnak megfelelõen).