Kvázi-stacionárius terek

1. A Maxwell-egyenletrendszer a kvázi-stacionárius terek (áramok) esetére

Induljunk ki a (Maxweell-egyenletrendszer fejezetben tárgyalt) vákuumra vonatkozó Maxwell-egyenletrendszerből (a). A kvázi-stacionárius tereket a mennyiségek lassú időbeli változása jellemzi, amelynek az a következménye, hogy a vezetési áramsűrűséghez képest () az eltolási áramsűrűség () nagyságrendekkel kisebb. A (a) egyenletrendszerből úgy kapjuk a kvázi-stacionárius tereket (áramokat) jellemző Maxwell-egyenletrendszert (b), hogy az eltolási áramsűrűséget elhanyagoljuk a vezetési áramsűrűséghez képest.

2. Az eltolási áramsűrűség elhanyagolhatóságának feltételei

Időben változó elektromos áram időben változó mágneses teret hoz létre maga körül. Amint azt a (a) egyenletrendszer 2. egyenlete mutatja (Faraday indukció) az időben változó mágneses tér örvénylő elektromos teret hoz létre. Általános esetben (amikor az időbeli változások nagyon gyorsak) az időben változó elektromos tér szintén örvénylő elektromos teret hoz létre (Maxwell indukció). Így jönnek létre az elektromágneses hullámok. Az előző pontban azt az időben változó elektromos tér által létrehozott eltolási áramsűrűség jóval kisebb, mint a vezetési áramsűrűség, így mágnesező hatása elhanyagolható és ebben az es 414j99e etben az áram kvázi-stacionárius. Feltevődik a kérdés, hogy milyen körülmények között lehet az eltolási áramsűrűséget elhanyagolni?

Az eltolási áram értékét megkapjuk, ha az eltolási áramsűrűséget integráljuk egy adott felületre vonatkozóan.

Tételezzük fel, hogy vákuumban végezzük a számításokat és az elektromos térerősség vektora merőleges az felületre.

A gyakorlatban használatos kvázi-stacionárius áramot szolgáltató áramforrások többsége alakú pillanatnyi feszültséget állít elő, ezért számításainkat erre az esetre végezzük el. Az idő szerinti deriválás elvégzése után feltételezzük, hogy a felület szerinti integrálás eredménye . Ezeket figyelembe véve a (4.4) összefüggést kapjuk.

Mivel a koszinusz függvény értéke -1 és 1 közötti, a továbbiakban elegendő az amplitúdó értékének becslése. Mivel számunkra az fontos, hogy az eltolási áram értéke legyen jóval kisebb, mint a vezetési áram értéke, a következő összefüggés érvényességét követeljük meg:

ahol, a jobboldalon már csak a vezetési áram amplitúdója szerepel. Ebből az összefüggésből következik, hogy az eltolási áram akkor hanyagolható el a vezetési áramhoz képest, ha a frekvencia és a vezetőkör hosszúságával () arányos felület kicsi. A (4.5) képletből meghatározható az eltolási áramsűrűség (4.6).

Ezt az összefüggést kell összehasonlítsuk a vezetési áramsűrűséggel, melyet megadhatunk az elektromos térerősség és a vezetőképesség () függvényében.

Mivel fémek esetében a vezetőképesség nagyságrendű, egyenlővé téve a (4.6) és (4.7) összefüggéseket, egy becslést adhatunk meg a frekvenciát illetően.

Ez azt jelenti, hogy a vezető belsejében az elektromos tér még több száz kHz és MHz tartományban is kvázi-stacionáriusnak tekinthető abban az esetben, ha a vezetőkör által határolt terület megfelelően kicsi, amit ki kell fejtsünk bővebben. Ez a feltétel akkor teljesül, ha a vezetékek hosszúsága sokkal kisebb, mint a közel vákuumbéli fénysebességgel () haladó, frekvenciájú kvázi-stacionárius áram (mint elektromágneses rezgés) hullámhossza (4.9).

Pl. ha a frekvencia 50 Hz (technikai áram), , ami azt jelenti, hogy ha a vezetőkör hossza , az áram kvázi-stacionáriusnak tekinthető. Ha viszont a frekvencia (mikrohullám), , tehát ahhoz, hogy az áramot kvázi-stacionáriusnak tekinthessük a vezetőkör hossza .

Összefoglalásként tehát elmondhatjuk, hogy az elektromos áram kvázi-stacionárius abban az esetben ha a és a vezetőkör hossza (ebben az esetben elhanyagolhatjuk az eltolási áramot a vezetési áramhoz képest).

3. A váltakozó feszültség (áram) előállításának fizikai háttere

A váltakozó feszültség előállításához az alábbi 1.a ábrán látható kísérleti berendezést használhatjuk. Mágneses térben állandó szögsebességgel forgatunk egy áramvezető keretet, melynek két végét egy-egy áramszedő, ún. kollektorhoz csatlakoztatjuk. A forgatás közben a keret által határolt felületen változik a mágneses indukció fluxusa (b ábra). Az időbeli fluxusváltozás, elektromágneses indukció révén időben változó erősségű és polaritású egyfázisú elektromos feszültség, zárt áramkör esetében pedig, egyfázisú áram megjelenéséhez vezet (c ábra).

   

a) b)

c)

1. ábra

Az indukált feszültség maximális, amikor forgása közben a mágneses indukció vektora merőleges az áramvezető keret határolta felületre, és minimális (nulla) amikor a keret felülete párhuzamos ezzel. Az erőművekben (függetlenül a típusuktól) minden esetben valamilyen módon az elektromos generátor forgó részén lévő három, egymástól független tekercs-párt (1.a ábra áramvezető) állandó szögsebességű mágneses térben forgómozgásba hozzák és az 1.c ábrához hasonló időbeli függésű háromfázisú elektromos feszültséget hoznak létre.

4. A Kirchhoff-törvények, mint a Maxwell-egyenletek következményei

A Kirchhoff-törvények tulajdonképpen, mint axiómák szerepelnek az áramköröket illetően, tehát nem kell őket bizonyítani, azonban a teljesség kedvéért mindenképpen fontos az, hogy vizsgáljuk meg, miként lehet a Kirchhoff-törvényeket a Maxwell-egyenletrendszerből levezetni. Ismert, hogy egy vektortér rotációjával származtatott vektortér forrásmentes, amely a (b) egyenletrendszer első egyenletére azt jelenti, hogy:

Ez azt jelenti, hogy az áramsűrűség forrásmentes, vagyis az áramsűrűség erővonalak zártak. A (4.1b) egyenletrendszer második egyenlete igen fontos, hiszen ez tartalmazza az időben változó mágneses tér és az elektromos tér közötti kapcsolatot.

Ez az egyenlet azt fejezi ki, hogy az időben változó mágneses tér olyan elektromos teret hoz létre, amelynek rotációja nullától különböző. Ez azt jelenti, hogy az így létrejövő elektromos tér (a sztatikus elektromos tér és a stacionárius elektromos tértől eltérően) nem konzervatív, az erővonalai pedig zártak. Ahhoz, hogy a Kirchhoff-törvényekhez eljussunk szükségünk van még az elektromos terek és az áramsűrűség között kapcsolatot teremtő lokális Ohm-törvényre:

Tekintsünk gondolatban egy zárt áramkört, amely egy görbe mentén helyezkedik el és felületet határoz meg térben. Integráljuk a (4.3) egyenletet az

Felületen, majd alkalmazzuk a kapott összefüggés bal oldalára a Stokes-integrálegyenletet.

A (4.5) összefüggés jobb oldala nem más, mint az áramkör által határol felületre vonatkoztatott mágneses fluxus időbeli változása ().

Tekintsünk a továbbiakban olyan áramkört, amely egy ohmos és egy L induktivitású tekercset tartalmaz. Az összefüggés jobb oldalát átalakítjuk úgy, hogy a (4.4) összefüggésből kifejezzük az elektromos térerősséget és azt behelyettesítjük a (4.5) egyenlet bal oldalán szereplő integráljába:

Figyelembe véve az (1.36-1.38) összefüggéseket (jelölés !!!!) a (4.6) összefüggés a következő alakra hozható:

ahol, az áramkörben folyó áram pillanatnyi erőssége, pedig a betáplált váltakozó feszültség pillanatnyi értéke. Átrendezve az egyenletet és figyelembe véve azt, hogy egy tekercs mágneses fluxusa alakban adható meg, az áramkört leíró differenciálegyenletet a következő alakban írhatjuk fel:

Egymással galvanikus kapcsolatban nem lévő áramkörök lehetnek úgynevezett mágneses csatolásban abban az esetben amikor az egyik, illetve másik áramkörben lévő tekercsek mágneses terei egymást befolyásolják (lásd később). Tegyük fel, hogy n számú a fenti elrendezésben lévő elektromos áramkörrel rendelkezünk (2. ábra). A k-ik áramkör differenciálegyenletének felírásakor figyelembe kell vennünk, hogy az áramkör felületén áthaladó mágneses fluxust mindegyik áramkör befolyásolja. Ezt egy összegzéssel tudjuk figyelembe venni:

Az 1. ábra jelüléseivel, ha , a k-ik áramkör önindukciós tényezője, esetben pedig a k-ik és a j-ik áramkör kölcsönös indukciós tényezője.

Ha az áramkörben kondenzátor is található, a (4.5) összefüggés bal oldalát kell megváltoztassuk olyan értelemben, hogy a kondenzátor fegyverzetei közötti térben lévő elektromos térerősség hozzájárulását is figyelembe kell vegyük.

2. ábra

Az szorzat előjele pozitív, ha a kondenzátoron belül a térerősség irányítása megegyezik a körüljárási iránnyal és negatív ha ezzel ellentétes. a (4.10) összefüggés utolsó integráljának értéke nem más, mint a kondenzátor fegyverzetei között lévő feszültség, melyet az áramkörben folyó áram függvényében fejezünk ki és a következő alakban adhatunk meg:

Megjegyezzük, hogy a kondenzátorok az áramkör bekapcsolásának pillanatában lehetnek feltöltött állapotban is. Ezt a tényt figyelembe kell vegyük úgy, hogy a (4.11) összefüggéshez hozzáadjuk ezt a feszültséget ():

Összefoglalva az eddigi eredményeket, egy olyan zárt áramkörre, amelyben ohmos, induktív és kapacitív áramköri elemek is vannak, valamint az áramkör mágneses csatolásban van más áramkörökkel, az áramkör differenciál egyenlete a következő alakban írható fel, amely tulajdonképpen a II. Kirchhoff-törvény differenciális alakja.

Kiintegrálva ezt az egyenletet, megkapjuk az integrális Kirchhoff-törvényt, melyet az áramkörök megoldására alkalmazunk.

(folytatni az I. Kirchhoff-törvénnyel!!!!!)

5. Általános időbeli változások, szinuszos időbeli változások. Technikai áram

Kvázi-stacionárius tér / áram sokféle lehet attól függően, hogy milyen függvény írja le a terek időbeli változását, periódikus vagy nem periódikus a változás, illetve milyen frekvenciájú az időbeli változás ha az periódikus. Amennyiben az időbeli változás szinusz (vagy koszinusz) függvénnyel írható le, illetve a feszültség változásának frekvenciája 50 Hz, a feszültséget technikai, az áramot pedig technikai áramnak nevezzük. Azért különböztetjük meg így ezt a frekvenciát, mivel ez az általunk használt hálózati feszültség frekvenciája (megjegyzés: USA-ban és Japánban a technikai áram 60 Hz frekvenciával rendelkezik).

6. Az egyfázisú szinuszosan váltakozó áram jellemzői

Az erőművekben ún. háromfázisú feszültséget állítanak elő, amely azt jelenti, hogy három a generátorokban három, egymástól független tekercspárt használnak, melyekben szinuszosan váltakozó egymáshoz képest fáziskülönbséggel rendelkező feszültség jön létre. Valamelyik tekercspárról levett feszültséget nevezzük egyfázisú váltakozó feszültségnek. Háztartásban általában az egyfázisú feszültséget használjuk, míg a háromfázisú feszültséget általában az iparban alkalmazzuk. Az elektromos energia előállítása és elosztása viszont háromfázisú rendszerben történik (kivételt képeznek elszigetelt helyek energiaellátására használt egyfázisú generátorok esete).

a.) Pillanatnyi érték, amplitúdó, fázis és kezdőfázis

Az alábbiakban a technikai feszültséget jellemző mennyiségekkel ismerkedünk meg. Általában a feszültséget a (4.14) összefüggéssel írhatjuk le:

ahol, a feszültség pillanatnyi értéke, az amplitúdója, a körfrekvenciája, a frekvenciája, a periódusa, a fázisa és a kezdőfázisa. A (4.14) feszültséget az idő függvényében a 3. ábra szemlélteti, melyen feltüntettük a fenti mennyiségeket is.

Ha (1) a jel vizsgálatát olyan időpillanatban kezdjük meg, amikor a feszültség pillanatnyi értéke nulla. A feszültségnek a idő függvényében akkor lesz még zérus értéke, amikor a fázisa , ahol pozitív egész szám. Közben a feszültég eléri a pozitív, majd negatív polaritással is eléri a maximális értékét (amplitúdó). A maximális értékeket a szinusz függvény abban az esetben éri el, amikor a fázis , ahol pozitív páratlan szám. Megfigyelhető az ábrán, hogy egy periódusnyi idő () elteltével a megfelelő feszültségek , idő elteltével , idő elteltével és idő elteltével fáziskülönbséggel rendelkeznek.

3. ábra

Ha a jel vizsgálatát olyan időpillanatban kezdjük, amikor a feszültség pillanatnyi értéke pozitív (pl. 3. ábra (2)), a jel kezdőfázisa , ha viszont olyan időpillanatban, amikor a feszültség pillanatnyi értéke negatív (pl. 3. ábra (3)), a jel kezdőfázisa . Tulajdonképpen mindhárom esetben ugyanazt a jelet vizsgáljuk, a leírásában viszont annyi a különbség, hogy különbözőképpen választjuk meg azt az időpillanatot, amelyhez képest viszonyítunk.

b.) Effektív érték

A 3. ábrán feltüntettünk egy olyan mennyiséget, amelynek nem adtuk meg eddig a fizikai jelentését. Ez a mennyiség a feszültség effektív értéke. Ennek a mennyiségnek a fizikai értelmezéséhez a zárt áramkörben folyó váltakozó áram effektív értékét kell értelmeznünk. Az áram effektív értékének fizikai értelmezése energetikailag történik. Értelmezés szerint a váltakozó áram (AC) effektív értéke megegyezik annak az egyenáramnak (DC) az erősségével, amely egy adott ellenálláson egy a váltakozó áram periódusával megegyező idő alatt ugyanazt az energiát fejleszti, mint a váltakozó áram. Matematikailag ezt a következőképpen számíthatjuk ki:

Tehát a váltakozó áram effektív értéke megegyezik az amplitúdójának -ed részével.

A váltakozó feszültség effektív értékének definícióját az Ohm-törvényből következően felírhatjuk, mint: