Fogaskerekes hajtások

1 Alapfogalmak

Az alapfogalmak egy része olyan változók, melyek csak a fogazatkapcsolódás és a fogazat lefejtési elvének elsajátítása után válik igazán érthetővé. A fogfelület a fog aktív része ahol a hajtó és a hajtott kerék érintkezik 1 ábra. A fejkör és a határkör a fogfelületet határoló körök. A lábkör a fogárok mélységét meghatározó fenékszalag érintő köre. A teljes fogfelületet kialakító profil egy része, illetve a határkör és a lábkör közötti szakasz nem kerülhet érintkezésbe az ellenkerékkel. Az osztókör és az alapkör ugyanazon fogszám és modul esetén változatlan, a többi körök pedig a profileltolás függvényében változnak.

1. ábra

2 A fogazat kapcsolódás feltételei

A fogazatkapcsolás feltételei közül csak a hajtó és a hajtott kerék között létező viszonylagos mozgást vizsgáljuk. A fogaskerék kapcsolás egy negyedosztályú kinematikai párt képez amelynek két szabadságfoka van. Ez annyit jelent hogy az egymással kapcsolódó fogak egymáson csúszva gördülnek, illetve az érintkezési pont a fogprofilokhoz viszonyítva relatív mozgást végez. A 2 ábra szerint a fogaskerékpár a kapcsolóvonal mentén érintkezik.

Az (1) fogaskerék szögsebességgel forog amely a (2) keréknek szögsebességet biztosít. Ahhoz hogy a fogaskerékpár rezgésmentesen működjön, a szögsebességek aránya a kapcsolódás egész ideje alatt állandó kell maradjon. Mivel az érintkezési pontokon áthaladó fogmerőlegesek köz 333j92d ösek, ezek mértani helye az egész ciklus alatt meghatározza az áttételi arányt. Az (M) pontban érintkező profilok érintője közös amely mentén a pillanatnyi viszonylagos mozgás felléphet. Az (M) pont a kapcsolásban levő két fog közös pontja, amely bármelyik koordináta rendszerhez viszonyítva egyenlőnek kell lennie. Mivel a viszonylagos mozgás csak a közös érintő irányában létezik a közös normális irányra felírható:

2. a ábra

2. b ábra

                                           (1)

azaz

            (2)

ahol

                              (3)

ahonnan

           (4)

amelyből kifejezhető az áttételi arány

                        (5)

és kimondható a feltétel. Ahhoz hogy egy fogazat kapcsolódás megtartsa az áttételi állandóságát az a feltétele, hogy a közös fogmerőleges bármely érintkezési pontnak megfelelően áthaladjon a főponton.

3 A kapcsolóvonal és az ellenprofil szerkesztése Reuleaux szerint.

Ha ismert egy fogaskerék fogprofilja, a tengelytávolság és az áttételi arány az érintkezési pontok közös fogmerőlegese állandósága szerint  meghatározható a kapcsolóvonal és az ellenprofil. Ismerve a profilt az , gördülőköröket és az tengelytávolságot, meghatározható a kapcsolóvonal és a ellenprofil 3 ábra.

3. ábra

A fogprofilon felvesszük az pontokat. Ezekben a pontokban meghúzzuk a fogmerőlegeseket amelyek az gördülőkört az pontokban metszik. Az pontok kapcsolás közben a profilmerőlegesekkel együtt rendre áthaladnak a P főponton. A profilon felvett pontok pedig a fogazatkapcsolódás feltételének megfelelően, rendre meghatározzák a kapcsolóvonal különböző pontjait.

E pontok helyzetét az és a P pontba helyezett , illetve sugarú körök metszéspontjai határozzák meg, amelyek vannak jelölve.

A ellenprofilt meghatározó pontoknak kapcsolás közben rendre egybe kell esniük az pontokkal, illetve rajta kell legyenek a kapcsolóvonalon. Ezeket a profilhoz tartozó és az pontokkal egybeeső érintkezési pontokat jelöltük. Az gördülőkörön meghatározzuk a köríveket.

Az így kapott pontok a profilgörbe merőlegeseinek talppontjai. Mivel az és a pontok a kapcsolóvonalon egybeesnek, illetve az ellenprofil pontjait az és a középpontú sugarú körök metszéspontjai adják, azaz .

4 Fogazás lefejtéssel

Képzeljünk el egy alapkörről legördülő félegyenest amelynek a legördülés során az alapkör osztásának megfelelő távolságú pontjai, egy evolvens fogazatú fogaskerék fogprofilját alkotják. Mivel a pontok közti távolság állandó, így könnyen belátható hogy a származtató egyenes irányában mért a görbék közti távolságok is állandók. A származtató egyenes pillanatnyi forgáspontja mindig rajta van az alapkörön, tehát a görbe pillanatnyi sugara egyben fogmerőleges is. Ebből következik hogy az evolvens egy adott pontjához tartozó származtató egyenesre húzott merőleges az evolvens profil érintője. Ha egy adott ponthoz húzott érintőt a fogmerőlegessel összekapcsoljuk és az alapkört rögzítsük, akkor egy elemi midig egy pontban vágó lefejtő szerszámot kapunk ahol az elképzelt szerszám éle az érintő. Az így kapott szerszámnak nem az a hátránya hogy kapcsoló szöge zéró, hanem az, hogy mindig egy pontban vág, gyakorlati megvalósítása nehézkes és értelmetlen is. Ha a származtató egyenes irányát rögzítjük, a rajta legördített alapkörrel lefejtett evolvensek az érintőket mindig ugyan abban a pontban érintik, a kapcsolási szög ebben az esetben is zéró. Tehát ha a profilérintő a kapcsolóvonalon mozdul el lefejtés közben, akkor az evolvensgörbe a profilérintő ugyanazon pontját fogja érinteni egész lefejtés alatt . Az ilyen profilú fogaslécet gyors kopása miatt nem készítenek. Ha a profilérintőt úgy toljuk el, hogy az elmozdulás iránya különbözzön a kapcsolóvonal irányától, akkor az evolvensgörbe a profilérintőt a lefejtés alatt különböző pontokban fogja érinteni. Gyakorlatilag a profilérintő eltolási iránya az osztókörhöz kötődik. Lefejtés közben az elmozdulás iránya mindig megegyezik a fogasléc középvonalával, sebessége pedig egyenlő a megdolgozandó fogaskerék osztókörének periférikus sebességével. Ebben az esetben az osztókör már nem esik egybe az alapkörrel. Az osztókör és az alapkör közötti arányt a fogmerőleges és az elmozdulás iránya között bezárt szög határozza meg, amely nem más mint a kapcsolási szög.

A fogasléc szabványos fogazatú, amelynek méretei a STAS 821-86 van megadva 4 ábra. A fogasléc úgy is elképzelhető mint egy végtelen nagy átmérőjű fogaskerék fogazatának egy része. Ismert ha a fogaskerék alapköre nő, akkor a rajta kialakított evolvens görbületi sugara is nő, tehát elképzelhető hogy ha az alapkör a végtelen felé terjed, akkor az osztókör és az evolvens profilja egyenessé válik.

ábra

ahol

     vagyis (6)

A fogasléc középvonala úgy van meghatározva, hogy a fogvastagság egyenlő legyen a fogárok szélességével, azaz:

                             (7)

A fogaskerék méreteinek kiszámításához szükséges modulok értékei a STAS 822-86 szabványban vannak feltüntetve. A fogasléc oldalélei szöggel vannak eldőltve a középvonalra húzott merőlegeshez viszonyítva. A kapcsolóvonal mindig merőleges a közös érintőkre. A fogaskerék és a fogasléc kapcsolási szöge állandó, tehát a kapcsolóvonal helyzete nem változik, ebből kifolyólag a főpont helyzete rögzített és mindig rajta van az osztókörön.

A "z" fogszámú fogaskerék fogasléccel való kapcsolódása közben egy fordulat alatt:

                                 (8)

utat tesz meg, az osztókör mérete pedig:

. (9)

Ha a fogasléc középvonala a fogaskerék osztókörének érintője, akkor a kerék szabványos normál kerék. Ha pedig a fogasléc egy bizonyos távolságra van a kerék osztókörétől, akkor a kerék korrigált, illetve általános fogazatú. A generáló megmunkálással gyártott profil nem azonos a szerszámprofillal, a két profil közötti kapcsolat kényszermozgással érhető el, a módszert lefejtő eljárásnak, az így kapott görbét pedig burkológörbének hívják.

5. ábra

5 Evolvens profilok kapcsolódása, alámetszés

Legyen az és középpontú két fogaskerék és alapkörének sugarai 6 ábra. Az középpontú és sugarú körről csúszásmentesen legördülő képzeletbeli zsinór az középpontú sugarú alapkörre csúszásmentesen tekeredik fel. A feszesen tartott zsinór B pontja mozgásközben az sugarú körhöz rögzített rendszerhez viszonyítva egy evolvensgörbét, amedig az sugarú alapkörhöz rögzített rendszerhez viszonyítva evolvensgörbét ír le. A "B" pont a közös érintőn halad amely egybeesik a két profil közös merőlegesével. A két profil közös B pontja nem haladhatja meg a szakaszt mert ezeken a pontokon kívül a közös pont már nem követi a kapcsolóvonalat, vagy már nem létezik. Amennyiben az egyik evolvensgörbe olyan hosszú hogy a vagy a pontok után is metszi a kapcsolóvonalat, akkor a két evolvensgörbe metszi egymást amit alámetszésnek neveznek. Ez a jelenség csak akkor alakul ki ha a lábkör kisebb az alapkörnél. Lefejtéssel való megmunkálás esetén a szerszám kivág a foglábból, a két kört összekötő hurkolt evolvensgörbe elvékonyítja a fogat a fogtő közelében miáltal, a fog teherbírása csökken.

6 ábra

Ha két tökéletesen elkészített evolvens fogazatú kerék kapcsolás közben metszi egymást, akkor a kapcsolásban lévő fogazat megszorul. A kellemetlen jelenség elkerülése végett a fogaskerekek külső átmérőit határolni kell, vagyis:

                  (10)

A 6 ábra szerint, az és a háromszögekből kifejezhető a gördülőkörök sugarai:

                                          (11)

                 (12)

A fejköröké pedig,

                                  (13)

                                 (14)

de

                               (15)

és

                                    (16)

ahonnan

           (17)

         (18)

6 Fogaskerék kapcsolódása fogasléccel

A fogaskerék és a fogasléc kapcsolódásakor feltételezzük, hogy a fogprofilt kialakító fésűkés profilja megegyezik a szabványos fogazatú fogaslécével, amely kapcsolószöggel gördül le a megmunkálandó kerék osztókörén.

A normál kapcsolódás esetén a fogasléc középvonala érinti a kerék osztókörét, amely egybeesik a szerszám osztóvonalával is. Profileltolás esetén a fogasléc illetve a szerszám középvonala el van távolítva fogaskerék osztókörétől. Vizsgáljuk meg a fogaskerék-fogasléc kapcsolódását 7. ábra, ahol a fogasléc egyenes szakaszának legalsó pontja B-vel van jelölve.

A fogasléchez tartozó "B" pont a kapcsolás kezdetén érinti a kerék fogprofilját amely ugyanakkor rajta van az KP kapcsolóvonalon is. A "B" pontban kezdődik a fogaskerékhez tartozó evolvens profil megmunkálása, tehát rajta van a kerék határkörén. Ismert hogy a lábkört és a határkört összekötő sugár nagysága megegyezik a fejhézaggal, illetve a határkör és a lábkör sugarainak különbségével. A fentieket figyelembe véve a lábkör sugara felírható:

                         (19)

Bizonyos fogszám vagy profileltolás esetén megtörténhet hogy a megmunkálás közben megjelenjen a szerszám és a munkadarab profiljainak interferenciája okozta alámetszés, amely a már elkészült evolvens profil alsófelét lemetszi ezáltal gyengíti a fogtövét, ezért csak bizonyos mértékben megengedhető.

7 ábra

Ahhoz hogy az alámetszést elkerüljük a 7 ábrán észrevehető hogy a "B" pont nem kerülhet a K érintkezési pont alá, illetve:

                                            (20)

továbbá a 7 ábra jelölései szerint felírható:

                        (21)

A fésűkéssel megmunkált általános fogazatú kerékre, a CBP háromszögből felírható:

        (22)

ahonnan

                                 (23)

A (21) egyenletből kifejezhető,

                                 (24)

ahol

                                 (25)

A (23) és a (25) kifejezések behelyettesítése után a (24) egyenletből kapjuk:

               (26)

Mivel , illetve nagyobb vagy egyenlő kell legyen zéróval, felírható:

                    (27)

ahonnan kifejezhető a profileltolás minimális értéke,

                               (28)

Ha a profileltolás zéró, a fogasléc szabványos értékeire fogszámot kapunk. Tehát ahhoz hogy az interferenciát és az alámetszést elkerüljük z<17 fogszám alatt, szükséges a (28) egyenlőtlenségben megadott minimális profileltolást alkalmazni.

7 Az általános fogazás

Képzeljünk két egymással kapcsolódó nem zérós összegű profileltolással készített fogaskereket vagyis, a fogaskerekek gördülőkörei és osztókörei különböznek egymástól. Az így kapcsolt fogaskerékpár tengelytávolsága különbözik az elemi tengelytávon kapcsolódó normális vagy kompenzált fogazatú kerékpárétól. Általános fogazat alatt tehát olyan fogaskerékpárok fogazatát értjük amelyek profileltolásainak összege különbözik zérótól.

Általános fogazatú kerekek lefejtésekor a fogasléc középvonala el van távolodva az osztókörtől amely pozitív profileltoláskor hézaghoz, negatív profileltoláskor pedig az evolvens profilok egymásra tevődéséhez vezet.

E

8. ábra

Feltételezzük hogy a kapcsolódó fogazatok pozitív profileltolásúak. Egy előre kiszámított (vagy adott) profileltolás összegre meghatározható a tengelytáv értéke úgy, hogy a foghézag zéró, a fejkör és a lábkör között a távolság pedig szabványos legyen. Ismert hogy lefejtés közben az osztóköri fogvastagság mindig egyenlő a főponton áthaladó, a fogasléc középvonalával párhuzamos egyenesen mért foghézaggal, amely képletesen:

             (29)

Ismerve a fogvastagságnak megfelelő körív hosszát, a 8. ábrából kiindulva meghatározható a fogat alkotó két evolvensgörbe középponti szöge , azaz:

(30)

ahonnan felírható az mértéke:

  (31)

A (29) képlet behelyettesítése után a (31) egyenletből következik:

            (32)

de

                                (33)

amellyel (32) egyenlet így is írható:

                        (34)

Ismert az alapkörön csúszásmentesen legördülő félegyenessel származtatott evolvensgörbe pontjai közötti összefüggés:

                     (35)

vagyis

             (36)

Amelyet behelyettesítve a (34) egyenletbe kapjuk:

(37)

A fogaskerék sugarának megfelelő lépését a következő összefüggés határozza meg:

                    (38)

ahonnan

(39)

A hézagmentes profileltolásos fogazatok kapcsolódásakor is a fogvastagság és a foghézag körívének összege egyenlő a gördülőköri osztással, vagyis:

vagy (40)

A (37) és a (39) egyenletek behelyettesítése után a (40) egyenletből, felírható:

(41)

Legyen "a" a hézag nélkül kapcsolódó fogaskerék pár tengelytávolsága és a kapcsolási szöge amelyek gördülési sugarai és . A hézag nélküli kapcsolás esetén fogvastagság egyenlő kell legyen az foghézaggal, vagyis:

                                           (42)

a (42) egyenlőségnek megfelelő jelölésekkel, a (37) és a (41) egyenletekből felírható:

                   (43)

amelyből kifejezhető

     (44)

vagyis

                    (45)

ahonnan

             (46)

Az szöggel kapcsolt fogaskerekek gördülési sugarai a következők:

   (47)

amelynek felírható a játékmentességet biztosító "a" tengelytáv:

            (48)

ha a profileltolás zéró vagy kompenzált akkor,

                                              (49)

és az "a" tengelytáv egybeesik az elemi fogazatú kerék tengelytávolságával. Az általános fogazatú kerékpár tengelytávolsága, az "y" tengelytávtényezővel kifejezhető a normál vagy elemi fogazatú kerekek tengelytávolságának a függvényében, illetve:

                                     (50)

ahol

                                 (51)

A (48) és az (51) egyenletek behelyettesítése után az (50) egyenlőségből kapjuk:

        (52)

Az általános fogazatú fogaskerék-pár hézag nélküli kapcsolódásához szükséges a szabványos fejhézag biztosítása is, amely mint látni fogjuk a fogmagasság korrekcióját vonja maga után. A szabványos fejhézag biztosítása a fejkörök méreteinek változását okozza. A fejkörök meghatározásához (9. ábra), az alsó fésűkés foga az 1. kerék foghézagát, még a 2. kerék fogprofilját a felső fésűkés foghézaga fejti le. A két kerék a profileltolásainak megfelelő fejkör átmérői adottak, miszerint:

a) b) c)

9. ábra

                  (53)

Ha a két fogprofilt megmunkáló fésűkés profiljait egymásra helyezzük úgy hogy egy kongruens és kiegészítő profilt képezzenek, vagy a két fogprofilt megdolgozó fésűkés profiljait játékmentesen összetoljuk, akkor a fejhézag szabványos marad 9 c. ábra. Az (1) kerék fogárka a megdolgozó fésűkés fogprofiljával a pontokban érintkeznek 9 a. ábra, a (2) kereket megdolgozó fésűkés fogárka pedig, a kerék fogprofiljával a pontokban érintkeznek 9 b. ábra. Mivel a fogaskerekek osztókörei el vannak távolítva egymástól, az érintkezési pontok már nem esnek egymásra, így a két kerék kapcsolásban lévő fogai között hézag jelenik meg 9 c. ábra. Ennek a helyzetnek megfelelő tengelytáv a következő:

                         (54)

Ahhoz hogy az így kapcsolt fogaskerekek hézagmentes működését biztosítsuk, az tengelytávot "a" távolságra kell csökkenteni, illetve a két tengelyt értékkel össze kell tolni. A tengelytáv csökkenésével a fejhézag is csökken. A szabványos fejhézag megtartásához szükséges a fogazat fejmagasságának ugyan olyan mértékben való csökkentése amelyet "k" fogcsonkítási tényezővel fejezünk ki, illetve,

                                     (55)

amely az (50), (54) egyenletek figyelembevételével a következő alakban írható,

              (56)

ahonnan a fogmagasság tényezőt kifejezve kapjuk:

                                 (57)

A fogmagasság csökkentésével csökken a kerekek külső átmérője is "2 k m" értéknek megfelelően, miszerint az (53) kifejezésekből ezt az értéket le kell vonni azaz,

           (58)

az új fejkörnek megfelelő fogmagasság pedig:

                          (59)

8 A ferde fogazatú fogaskerekek

Az alaphengerről csúszásmentesen legördülő (P) sík AB egyenesének minden pontja a hengerhez rögzített frontális síkokban evolvens görbéket ír le. A (P) érintősíkban fekvő származtató egyenes a henger tengelyével szöget zár be, így a legördülés során evolvens csavarfelületet vagy más szóval ferde fogfelületet képez 10 a ábra. A ferde fogfelület lépése egyenlő a két egymás után következő evolvensgörbe közötti távolsággal, amelyeknek kiindulási pontjai az alaphenger ugyanazon alkotóján helyezkednek el.

a)

b)

10. ábra

A menetemelkedési szög az alapkör tengelyével párhuzamos síkban a csavarfelületre húzott érintő és az alapkör tengelyére húzott merőleges között bezárt szög.

A foghajlási a menetemelkedési szöggel kiegészítő szöget képez, illetve a csavarfelületre húzott érintő és az alapkör tengelye között bezárt szög.

Az evolvensprofil bármely pontjának lépése ugyanaz, így a menetemelkedési és a foghajlási szögek változnak az átmérővel.

A 10 b. ábra szerint felírhatók a következő összefüggések a foghajlási szögekre:

                               (60)

azaz:

             (61)

ahonnan kifejezzük a,

                                           (62)

figyelembe véve a homloksíkban felírható összefüggést:

                                      (63)

                                           (64)

A ferdefogazatú fogaskerekek egymással kapcsolódó fogfelületeit lefejtéssel is elő lehet állítani a (P) síkhoz tartozó AB egyenessel, ha a síkot a két kerék alaphengerén csúszásmentesen egyidejűleg legördítjük, mint például az sugarú alaphengerről legördülő és az sugarú alaphengerre felgördülő (P) síkban lévő AB egyenes a két alaphengerhez rögzített a homloksíkokban és ezekkel párhuzamos metszetekben evolvens profilokat állít elő, amelyek összessége adja a két egymással érintkező evolvens csavarfelületeket 11 ábra.

11. ábra

A lefejtéssel előállított evolvens csavarfelületek illetve a ferde fogfelületek érintkezési pontjainak mértani helye bármely rendszerhez viszonyítva a (P) síkhoz tartozó egyenes, tehát a síkkal egyszerre mozgó AB egyenes. Mivel az érintősík paraméterei a két alaphengeren való le és felgördüléskor nem változnak, a (P) síkot egy rögzített rendszerhez viszonyítva állónak is tekinthetjük amelyben az AB egyenes egyidejű legördüléskor halad a két alaphenger érintővonalai között. A (P) síkot kapcsolósíknak nevezzük.

Az két fogaskerék alaphengerein mért foghajlási szögei egyenlők de irányuk ellentétesek. Ha egy fogaskerék fogszáma a végtelen felé terjed, akkor a kerék körívei, evolvens görbéi kiegyenesednek és fogaslécé alakul át. A ferde fogazatú kerekek lefejtésekor a kerék osztókörén mért hajlásszög egyenlő a fogasléc dőlésszögével. A fogasléccel való kapcsolódáskor a gördülősík mindig érintő a homloksíkban meghatározott osztóhengerrel. A 12 ábra alapján meghatározhatók a fogasléc méretei a homloksíkban:

12 ábra

               (65)

                                        (66)

ahonnan

                                      (67)

A homlok és a normálsíkban jelölt és kapcsolási szögek közötti összefüggést az EFD és az háromszögekből határozzuk meg 12 ábra, ahonnan felírható:

                                          (68)

A homlok és a normál síkokban az osztás, azaz:

                                (69)

                              (70)

ahonnan

                           (71)

kifejezhető

.                                  (72)

A fejhézag és a fogmagasság mindkét metszetben egyenlő, tehát felírható:

                                 (73)

A (67) és a (73) egyenletekből kifejezhető a homloksík metszetének megfelelő fogmagasság tényező:

                                (74)

A normál és a homlok síkokban a profileltolás mértéke egyenlő, amelyet a tényezők függvényében írunk fel,

                                     (75)

ahonnan a homloksíknak megfelelő profileltolás-tényező,

                                    (76)

Figyelembe véve a fent levezetett tényezők értékeit, akkor felírható általánosan a ferdefogú evolvens fogazat homloksíkjának megfelelő számítási képletek, akárcsak az egyenes fogazatú kerekek esetében.

A (33) képlet szerint a homloksíkban az osztókör sugara,

                                         (77)

és a (29) képletnek megfelelő frontális fogvastagság:

                   (78)

a (46) szerint a frontális kapcsolószög,

         (79)

az elemi ferdefogazatnak megfelelő tengelytáv,

                                 (80)

a ferdefogazatú profileltolásos kerekek hézagmentes kapcsolódásához szükséges tengelytáv,

                      (81)

a (52) egyenlethez hasonlóan kifejezhető a homloksíkhoz tartozó tengelytávtényező:

     (82)

és a frontális fogmagasság tényező:

                               (83)

Hasonlóképpen, (58), (59) képletek szerint felírható a ferdefogazatú korrigált kerekek fogmagassága és külső átmérője:

           (84)

A ferde fogazatú fogaskerekek kapcsolószámának meghatározásához a 13 ábrából indulunk ki. Az "A" pontban kezdődő kapcsolódás a homloksíkban az E pontig tart amelynek hosszát g-vel jelölünk. A ferde fogazat miatt a kapcsolóhossz a szakasszal nő. A két szakasz összege adja a teljes kapcsolóhosszt. A kapcsolóhossz és a homloksíkban mért alaplépés aránya adja a kapcsolószámot.

13 ábra

                       (85)

ahol

                                (86)

a ferdefogazat által bevitt átfedés pedig

  (87)

9 Dörzs vagy fogaskerekes hajtóművek áttételi arányának meghatározása

A hajtómű áttételi aránya alatt a bemenő és a kimenő tengelyek fordulatának vagy szögsebességének hányadosát értjük. A legegyszerűbb hajtóművek csak kőralakú centrois, vagy hengeres kerekeket tartalmaznak. A hajtóművek egy, két vagy többlépcsősek lehetnek. A közönséges hajtóműveknél a tengelyek helyzete változatlan, vagy rögzített. Az áttételi arányt az vektorok aránya határozza meg, amely szerint a következő összefüggések írhatók fel:

                          (88)

14 ábra

Ahol a negatív előjel, a külső kapcsolású fogas vagy dörzskerekes hajtóműnek megfelelő ellentétes szögsebességet mutatja.

Ha a tengelyeket tartó állványt valamelyik tengely körül forgásba hozzuk, akkor a közönséges hajtómű bolygókerekes hajtóművé alakul át. A bolygókerekes hajtómű lehet két szabadságfokú differenciálmű ha a bolygókerék tengelyét tartó kar mozgása mellé az álló tengelyű napkereket is mozgásba hozzuk. A napkerék rögzítése esetén, a differenciálmű egyszerű egy szabadságfokú bolygókerekes mechanizmussá alakul. A 15 ábra egy "k" kinematikai párból álló közönséges hajtóművet ábrázol. Az n tengelyből álló hengeres fogaskerekes mechanizmus lépcsőzetesen kapcsolt. Az "n" tagból álló mechanizmus minden fogaskerék párjára felírható a részleges áttételi arány:

  (89)

                         (90)

15 ábra

                 (91)

16 ábra

Ahol a "k" szám a kapcsolt külső fogazású fogaskerék-párok számát jelenti,

illetve:

      (92)

A sorban kapcsolt kerekek esetén 16. ábráról észrevehető hogy a fogaskerekek részleges átviteli hányadosai rendre egyszerűsíthetők, mivel a kapcsolásban lévő hajtókerék fogszáma egybeesik a hajtott kerék fogszámával, azaz:

            (93)

A (93) egyenlőségek behelyettesítése után a (92) képlet egyszerűbb alakban írható:

                                    (94)

10 Bolygókerekes hajtóművek kinematikai vizsgálata

Vizsgáljuk meg a 17 ábra bolygókerekes hajtómű működését.

17 ábra

A (3) kar a (2) bolygókereket tengelyével együtt egy rögzített síkhoz viszonyítva szögsebességgel forgatja a napkerék tengelye körül. Eközben a (2) bolygókerék az (1) napkerékkel kapcsolódik amely tengelye körül egy adott szögsebességgel forog. A vezetett (2) kerék a saját tengelye körül szögsebességgel fordul el. Így az effektusok egymásratevődése értelmében, a bolygókerék teljes szögsebessége egyenlő a két szögsebesség vektoriális összegével. Ahhoz hogy meghatározzuk a bolygókerék szögsebességét, az egész bolygókerekes mechanizmust képzeletben - szögsebességgel visszafelé forgatjuk. A - és az szögsebességeket egymásra téve észrevehető, hogy a bolygókerék tengelyét forgató kar helyzete egy álló külső rendszerhez viszonyítva stabil vagyis nyugalomban marad. A visszafelé forgatás következtében a bolygó és a napkerék szögsebessége az álló rendszerhez viszonyítva - szögsebességgel változik illetve, és szögsebességgel forognak. Mivel a visszaforgatás után a bolygókerekes hajtómű tengelyei az álló rendszerhez viszonyítva nyugalomban vannak, felírható a közönséges hajtóműre érvényes áttételi arány a hármas hajtókar rendszeréhez viszonyítva, azaz:

                            (95)

vagy

                             (96)

A (95) vagy a (96) kifejezés a bolygókerekes hajtóművek áttételi arányainak a számítási képlete, amely a szakirodalomban Willis képlete néven ismert. A (96) kifejezés szerint a bolygókerekes hajtóművek két szabadságfokú mechanizmusok. Amint a 17 ábrán is látni lehet az 1. napkerék és a 3. kar két egymástól független w és w_s szögsebességgel foroghat. A két szabadságfokkal rendelkező bolygókerekes hajtóműveket differenciális mechanizmusoknak nevezik. Ha például az 1. napkereket rögzítjük 18 ábra, akkor a differenciálmű egyszerű egy szabadságfokú bolygókerekes mechanizmussá alakul át. A vegyes kapcsolású hajtóművek egy közönséges és egy bolygókerekes mechanizmusból tevődnek össze. Az ilyen típusú hajtóművek kinematikai lánca lehet nyitott vagy zárt. A differenciális mechanizmus szabadságfokát egyre lehet csökkenteni ha hozzákapcsolunk egy olyan kinematikai láncot, amely a hajtómű tagjai közé kötöttséget visz be. A közönséges hajtásokkal zárt bolygóművek napkerekei között a Willis féle képlet szerint mindig felírható az áttételi arány. A bolygókerekes hajtóművek kinematikai vizsgálata esetén, mindig a központi kerekek áttételi arányainak kifejezéséből indulunk ki a Willis képlet alkalmazásával.

Példa.

Határozzuk meg analitikusan a 18 ábra alapján a bolygókerekes hajtómű áttételi arányait és a kimenő tengely szögsebességét, ismerve: szögsebességet, , , , , és fogszámokat.

18 ábra

Megoldás:

Kezdetben meghatározzuk a közönséges hajtások átviteli arányait. A hajtó tengely w szögsebessége mindig ismert, amelynek függvényében meghatározható a vezetett tengely szögsebessége is, azaz:

amelyből kifejezve (97)

A bolygókerekes mechanizmus bemenő és kimenő tagjaira felírjuk az áttételi arányt kifejező Willis képletet.

(98)

de amelyet figyelembe véve azonnal kifejezhető a kimenő tengely szögsebessége, azaz:

                           (99)

illetve,

                    (100)

2. Példa

Határozzuk meg 19 ábra a zárt rendszerű bolygókerekes hajtómű áttételi arányát és a hármas tengely w szögsebességét ha ismert a bemenő tengely w szögsebessége.

Megoldás:

A bemenő tengely szögsebességének függvényében meghatározzuk a bolygókerekek bolygómozgását biztosító (S) kar szögsebességét, azaz:

      (101)

Továbbá felírjuk a bolygókerekes mechanizmus napkerekeinek áttételeit az (S) karral együttmozgó rendszerben, illetve:

19 ábra

              (102)

,      (103)

ahonnan,

                  (104)

az behelyettesítése és a tagok csoportosítása után kapjuk:

            (105)

sajátos esetben ha és akkor szögsebességgel.