Fogaskerekes hajtások

1 Alapfogalmak

Az alapfogalmak egy része olyan változók, melyek csak a fogazatkapcsolódás és a fogazat lefejtési elvének elsajátítása után válik igazán érthetõvé. A fogfelület a fog aktív része ahol a hajtó és a hajtott kerék érintkezik 1 ábra. A fejkör és a határkör a fogfelületet határoló körök. A lábkör a fogárok mélységét meghatározó fenékszalag érintõ köre. A teljes fogfelületet kialakító profil egy része, illetve a határkör és a lábkör közötti szakasz nem kerülhet érintkezésbe az ellenkerékkel. Az osztókör és az alapkör ugyanazon fogszám és modul esetén változatlan, a többi körök pedig a profileltolás függvényében változnak.

1. ábra

2 A fogazat kapcsolódás feltételei

A fogazatkapcsolás feltételei közül csak a hajtó és a hajtott kerék között létezõ viszonylagos mozgást vizsgáljuk. A fogaskerék kapcsolás egy negyedosztályú kinematikai párt képez amelynek két szabadságfoka van. Ez annyit jelent hogy az egymással kapcsolódó fogak egymáson csúszva gördülnek, illetve az érintkezési pont a fogprofilokhoz viszonyítva relatív mozgást végez. A 2 ábra szerint a fogaskerékpár a kapcsolóvonal mentén érintkezik.

Az (1) fogaskerék szögsebességgel forog amely a (2) keréknek szögsebességet biztosít. Ahhoz hogy a fogaskerékpár rezgésmentesen mûködjön, a szögsebességek aránya a kapcsolódás egész ideje alatt állandó kell maradjon. Mivel az érintkezési pontokon áthaladó fogmerõlegesek köz 333j92d ösek, ezek mértani helye az egész ciklus alatt meghatározza az áttételi arányt. Az (M) pontban érintkezõ profilok érintõje közös amely mentén a pillanatnyi viszonylagos mozgás felléphet. Az (M) pont a kapcsolásban levõ két fog közös pontja, amely bármelyik koordináta rendszerhez viszonyítva egyenlõnek kell lennie. Mivel a viszonylagos mozgás csak a közös érintõ irányában létezik a közös normális irányra felírható:

2. a ábra

2. b ábra

                                           (1)

azaz

            (2)

ahol

                              (3)

ahonnan

           (4)

amelybõl kifejezhetõ az áttételi arány

                        (5)

és kimondható a feltétel. Ahhoz hogy egy fogazat kapcsolódás megtartsa az áttételi állandóságát az a feltétele, hogy a közös fogmerõleges bármely érintkezési pontnak megfelelõen áthaladjon a fõponton.

3 A kapcsolóvonal és az ellenprofil szerkesztése Reuleaux szerint.

Ha ismert egy fogaskerék fogprofilja, a tengelytávolság és az áttételi arány az érintkezési pontok közös fogmerõlegese állandósága szerint  meghatározható a kapcsolóvonal és az ellenprofil. Ismerve a profilt az , gördülõköröket és az tengelytávolságot, meghatározható a kapcsolóvonal és a ellenprofil 3 ábra.

3. ábra

A fogprofilon felvesszük az pontokat. Ezekben a pontokban meghúzzuk a fogmerõlegeseket amelyek az gördülõkört az pontokban metszik. Az pontok kapcsolás közben a profilmerõlegesekkel együtt rendre áthaladnak a P fõponton. A profilon felvett pontok pedig a fogazatkapcsolódás feltételének megfelelõen, rendre meghatározzák a kapcsolóvonal különbözõ pontjait.

E pontok helyzetét az és a P pontba helyezett , illetve sugarú körök metszéspontjai határozzák meg, amelyek vannak jelölve.

A ellenprofilt meghatározó pontoknak kapcsolás közben rendre egybe kell esniük az pontokkal, illetve rajta kell legyenek a kapcsolóvonalon. Ezeket a profilhoz tartozó és az pontokkal egybeesõ érintkezési pontokat jelöltük. Az gördülõkörön meghatározzuk a köríveket.

Az így kapott pontok a profilgörbe merõlegeseinek talppontjai. Mivel az és a pontok a kapcsolóvonalon egybeesnek, illetve az ellenprofil pontjait az és a középpontú sugarú körök metszéspontjai adják, azaz .

4 Fogazás lefejtéssel

Képzeljünk el egy alapkörrõl legördülõ félegyenest amelynek a legördülés során az alapkör osztásának megfelelõ távolságú pontjai, egy evolvens fogazatú fogaskerék fogprofilját alkotják. Mivel a pontok közti távolság állandó, így könnyen belátható hogy a származtató egyenes irányában mért a görbék közti távolságok is állandók. A származtató egyenes pillanatnyi forgáspontja mindig rajta van az alapkörön, tehát a görbe pillanatnyi sugara egyben fogmerõleges is. Ebbõl következik hogy az evolvens egy adott pontjához tartozó származtató egyenesre húzott merõleges az evolvens profil érintõje. Ha egy adott ponthoz húzott érintõt a fogmerõlegessel összekapcsoljuk és az alapkört rögzítsük, akkor egy elemi midig egy pontban vágó lefejtõ szerszámot kapunk ahol az elképzelt szerszám éle az érintõ. Az így kapott szerszámnak nem az a hátránya hogy kapcsoló szöge zéró, hanem az, hogy mindig egy pontban vág, gyakorlati megvalósítása nehézkes és értelmetlen is. Ha a származtató egyenes irányát rögzítjük, a rajta legördített alapkörrel lefejtett evolvensek az érintõket mindig ugyan abban a pontban érintik, a kapcsolási szög ebben az esetben is zéró. Tehát ha a profilérintõ a kapcsolóvonalon mozdul el lefejtés közben, akkor az evolvensgörbe a profilérintõ ugyanazon pontját fogja érinteni egész lefejtés alatt . Az ilyen profilú fogaslécet gyors kopása miatt nem készítenek. Ha a profilérintõt úgy toljuk el, hogy az elmozdulás iránya különbözzön a kapcsolóvonal irányától, akkor az evolvensgörbe a profilérintõt a lefejtés alatt különbözõ pontokban fogja érinteni. Gyakorlatilag a profilérintõ eltolási iránya az osztókörhöz kötõdik. Lefejtés közben az elmozdulás iránya mindig megegyezik a fogasléc középvonalával, sebessége pedig egyenlõ a megdolgozandó fogaskerék osztókörének periférikus sebességével. Ebben az esetben az osztókör már nem esik egybe az alapkörrel. Az osztókör és az alapkör közötti arányt a fogmerõleges és az elmozdulás iránya között bezárt szög határozza meg, amely nem más mint a kapcsolási szög.

A fogasléc szabványos fogazatú, amelynek méretei a STAS 821-86 van megadva 4 ábra. A fogasléc úgy is elképzelhetõ mint egy végtelen nagy átmérõjû fogaskerék fogazatának egy része. Ismert ha a fogaskerék alapköre nõ, akkor a rajta kialakított evolvens görbületi sugara is nõ, tehát elképzelhetõ hogy ha az alapkör a végtelen felé terjed, akkor az osztókör és az evolvens profilja egyenessé válik.

ábra

ahol

     vagyis (6)

A fogasléc középvonala úgy van meghatározva, hogy a fogvastagság egyenlõ legyen a fogárok szélességével, azaz:

                             (7)

A fogaskerék méreteinek kiszámításához szükséges modulok értékei a STAS 822-86 szabványban vannak feltüntetve. A fogasléc oldalélei szöggel vannak eldõltve a középvonalra húzott merõlegeshez viszonyítva. A kapcsolóvonal mindig merõleges a közös érintõkre. A fogaskerék és a fogasléc kapcsolási szöge állandó, tehát a kapcsolóvonal helyzete nem változik, ebbõl kifolyólag a fõpont helyzete rögzített és mindig rajta van az osztókörön.

A "z" fogszámú fogaskerék fogasléccel való kapcsolódása közben egy fordulat alatt:

                                 (8)

utat tesz meg, az osztókör mérete pedig:

. (9)

Ha a fogasléc középvonala a fogaskerék osztókörének érintõje, akkor a kerék szabványos normál kerék. Ha pedig a fogasléc egy bizonyos távolságra van a kerék osztókörétõl, akkor a kerék korrigált, illetve általános fogazatú. A generáló megmunkálással gyártott profil nem azonos a szerszámprofillal, a két profil közötti kapcsolat kényszermozgással érhetõ el, a módszert lefejtõ eljárásnak, az így kapott görbét pedig burkológörbének hívják.

5. ábra

5 Evolvens profilok kapcsolódása, alámetszés

Legyen az és középpontú két fogaskerék és alapkörének sugarai 6 ábra. Az középpontú és sugarú körrõl csúszásmentesen legördülõ képzeletbeli zsinór az középpontú sugarú alapkörre csúszásmentesen tekeredik fel. A feszesen tartott zsinór B pontja mozgásközben az sugarú körhöz rögzített rendszerhez viszonyítva egy evolvensgörbét, amedig az sugarú alapkörhöz rögzített rendszerhez viszonyítva evolvensgörbét ír le. A "B" pont a közös érintõn halad amely egybeesik a két profil közös merõlegesével. A két profil közös B pontja nem haladhatja meg a szakaszt mert ezeken a pontokon kívül a közös pont már nem követi a kapcsolóvonalat, vagy már nem létezik. Amennyiben az egyik evolvensgörbe olyan hosszú hogy a vagy a pontok után is metszi a kapcsolóvonalat, akkor a két evolvensgörbe metszi egymást amit alámetszésnek neveznek. Ez a jelenség csak akkor alakul ki ha a lábkör kisebb az alapkörnél. Lefejtéssel való megmunkálás esetén a szerszám kivág a foglábból, a két kört összekötõ hurkolt evolvensgörbe elvékonyítja a fogat a fogtõ közelében miáltal, a fog teherbírása csökken.

6 ábra

Ha két tökéletesen elkészített evolvens fogazatú kerék kapcsolás közben metszi egymást, akkor a kapcsolásban lévõ fogazat megszorul. A kellemetlen jelenség elkerülése végett a fogaskerekek külsõ átmérõit határolni kell, vagyis:

                  (10)

A 6 ábra szerint, az és a háromszögekbõl kifejezhetõ a gördülõkörök sugarai:

                                          (11)

                 (12)

A fejköröké pedig,

                                  (13)

                                 (14)

de

                               (15)

és

                                    (16)

ahonnan

           (17)

         (18)

6 Fogaskerék kapcsolódása fogasléccel

A fogaskerék és a fogasléc kapcsolódásakor feltételezzük, hogy a fogprofilt kialakító fésûkés profilja megegyezik a szabványos fogazatú fogaslécével, amely kapcsolószöggel gördül le a megmunkálandó kerék osztókörén.

A normál kapcsolódás esetén a fogasléc középvonala érinti a kerék osztókörét, amely egybeesik a szerszám osztóvonalával is. Profileltolás esetén a fogasléc illetve a szerszám középvonala el van távolítva fogaskerék osztókörétõl. Vizsgáljuk meg a fogaskerék-fogasléc kapcsolódását 7. ábra, ahol a fogasléc egyenes szakaszának legalsó pontja B-vel van jelölve.

A fogasléchez tartozó "B" pont a kapcsolás kezdetén érinti a kerék fogprofilját amely ugyanakkor rajta van az KP kapcsolóvonalon is. A "B" pontban kezdõdik a fogaskerékhez tartozó evolvens profil megmunkálása, tehát rajta van a kerék határkörén. Ismert hogy a lábkört és a határkört összekötõ sugár nagysága megegyezik a fejhézaggal, illetve a határkör és a lábkör sugarainak különbségével. A fentieket figyelembe véve a lábkör sugara felírható:

                         (19)

Bizonyos fogszám vagy profileltolás esetén megtörténhet hogy a megmunkálás közben megjelenjen a szerszám és a munkadarab profiljainak interferenciája okozta alámetszés, amely a már elkészült evolvens profil alsófelét lemetszi ezáltal gyengíti a fogtövét, ezért csak bizonyos mértékben megengedhetõ.

7 ábra

Ahhoz hogy az alámetszést elkerüljük a 7 ábrán észrevehetõ hogy a "B" pont nem kerülhet a K érintkezési pont alá, illetve:

                                            (20)

továbbá a 7 ábra jelölései szerint felírható:

                        (21)

A fésûkéssel megmunkált általános fogazatú kerékre, a CBP háromszögbõl felírható:

        (22)

ahonnan

                                 (23)

A (21) egyenletbõl kifejezhetõ,

                                 (24)

ahol

                                 (25)

A (23) és a (25) kifejezések behelyettesítése után a (24) egyenletbõl kapjuk:

               (26)

Mivel , illetve nagyobb vagy egyenlõ kell legyen zéróval, felírható:

                    (27)

ahonnan kifejezhetõ a profileltolás minimális értéke,

                               (28)

Ha a profileltolás zéró, a fogasléc szabványos értékeire fogszámot kapunk. Tehát ahhoz hogy az interferenciát és az alámetszést elkerüljük z<17 fogszám alatt, szükséges a (28) egyenlõtlenségben megadott minimális profileltolást alkalmazni.

7 Az általános fogazás

Képzeljünk két egymással kapcsolódó nem zérós összegû profileltolással készített fogaskereket vagyis, a fogaskerekek gördülõkörei és osztókörei különböznek egymástól. Az így kapcsolt fogaskerékpár tengelytávolsága különbözik az elemi tengelytávon kapcsolódó normális vagy kompenzált fogazatú kerékpárétól. Általános fogazat alatt tehát olyan fogaskerékpárok fogazatát értjük amelyek profileltolásainak összege különbözik zérótól.

Általános fogazatú kerekek lefejtésekor a fogasléc középvonala el van távolodva az osztókörtõl amely pozitív profileltoláskor hézaghoz, negatív profileltoláskor pedig az evolvens profilok egymásra tevõdéséhez vezet.

E

8. ábra

Feltételezzük hogy a kapcsolódó fogazatok pozitív profileltolásúak. Egy elõre kiszámított (vagy adott) profileltolás összegre meghatározható a tengelytáv értéke úgy, hogy a foghézag zéró, a fejkör és a lábkör között a távolság pedig szabványos legyen. Ismert hogy lefejtés közben az osztóköri fogvastagság mindig egyenlõ a fõponton áthaladó, a fogasléc középvonalával párhuzamos egyenesen mért foghézaggal, amely képletesen:

             (29)

Ismerve a fogvastagságnak megfelelõ körív hosszát, a 8. ábrából kiindulva meghatározható a fogat alkotó két evolvensgörbe középponti szöge , azaz:

(30)

ahonnan felírható az mértéke:

  (31)

A (29) képlet behelyettesítése után a (31) egyenletbõl következik:

            (32)

de

                                (33)

amellyel (32) egyenlet így is írható:

                        (34)

Ismert az alapkörön csúszásmentesen legördülõ félegyenessel származtatott evolvensgörbe pontjai közötti összefüggés:

                     (35)

vagyis

             (36)

Amelyet behelyettesítve a (34) egyenletbe kapjuk:

(37)

A fogaskerék sugarának megfelelõ lépését a következõ összefüggés határozza meg:

                    (38)

ahonnan

(39)

A hézagmentes profileltolásos fogazatok kapcsolódásakor is a fogvastagság és a foghézag körívének összege egyenlõ a gördülõköri osztással, vagyis:

vagy (40)

A (37) és a (39) egyenletek behelyettesítése után a (40) egyenletbõl, felírható:

(41)

Legyen "a" a hézag nélkül kapcsolódó fogaskerék pár tengelytávolsága és a kapcsolási szöge amelyek gördülési sugarai és . A hézag nélküli kapcsolás esetén fogvastagság egyenlõ kell legyen az foghézaggal, vagyis:

                                           (42)

a (42) egyenlõségnek megfelelõ jelölésekkel, a (37) és a (41) egyenletekbõl felírható:

                   (43)

amelybõl kifejezhetõ

     (44)

vagyis

                    (45)

ahonnan

             (46)

Az szöggel kapcsolt fogaskerekek gördülési sugarai a következõk:

   (47)

amelynek felírható a játékmentességet biztosító "a" tengelytáv:

            (48)

ha a profileltolás zéró vagy kompenzált akkor,

                                              (49)

és az "a" tengelytáv egybeesik az elemi fogazatú kerék tengelytávolságával. Az általános fogazatú kerékpár tengelytávolsága, az "y" tengelytávtényezõvel kifejezhetõ a normál vagy elemi fogazatú kerekek tengelytávolságának a függvényében, illetve:

                                     (50)

ahol

                                 (51)

A (48) és az (51) egyenletek behelyettesítése után az (50) egyenlõségbõl kapjuk:

        (52)

Az általános fogazatú fogaskerék-pár hézag nélküli kapcsolódásához szükséges a szabványos fejhézag biztosítása is, amely mint látni fogjuk a fogmagasság korrekcióját vonja maga után. A szabványos fejhézag biztosítása a fejkörök méreteinek változását okozza. A fejkörök meghatározásához (9. ábra), az alsó fésûkés foga az 1. kerék foghézagát, még a 2. kerék fogprofilját a felsõ fésûkés foghézaga fejti le. A két kerék a profileltolásainak megfelelõ fejkör átmérõi adottak, miszerint:

a) b) c)

9. ábra

                  (53)

Ha a két fogprofilt megmunkáló fésûkés profiljait egymásra helyezzük úgy hogy egy kongruens és kiegészítõ profilt képezzenek, vagy a két fogprofilt megdolgozó fésûkés profiljait játékmentesen összetoljuk, akkor a fejhézag szabványos marad 9 c. ábra. Az (1) kerék fogárka a megdolgozó fésûkés fogprofiljával a pontokban érintkeznek 9 a. ábra, a (2) kereket megdolgozó fésûkés fogárka pedig, a kerék fogprofiljával a pontokban érintkeznek 9 b. ábra. Mivel a fogaskerekek osztókörei el vannak távolítva egymástól, az érintkezési pontok már nem esnek egymásra, így a két kerék kapcsolásban lévõ fogai között hézag jelenik meg 9 c. ábra. Ennek a helyzetnek megfelelõ tengelytáv a következõ:

                         (54)

Ahhoz hogy az így kapcsolt fogaskerekek hézagmentes mûködését biztosítsuk, az tengelytávot "a" távolságra kell csökkenteni, illetve a két tengelyt értékkel össze kell tolni. A tengelytáv csökkenésével a fejhézag is csökken. A szabványos fejhézag megtartásához szükséges a fogazat fejmagasságának ugyan olyan mértékben való csökkentése amelyet "k" fogcsonkítási tényezõvel fejezünk ki, illetve,

                                     (55)

amely az (50), (54) egyenletek figyelembevételével a következõ alakban írható,

              (56)

ahonnan a fogmagasság tényezõt kifejezve kapjuk:

                                 (57)

A fogmagasság csökkentésével csökken a kerekek külsõ átmérõje is "2 k m" értéknek megfelelõen, miszerint az (53) kifejezésekbõl ezt az értéket le kell vonni azaz,

           (58)

az új fejkörnek megfelelõ fogmagasság pedig:

                          (59)

8 A ferde fogazatú fogaskerekek

Az alaphengerrõl csúszásmentesen legördülõ (P) sík AB egyenesének minden pontja a hengerhez rögzített frontális síkokban evolvens görbéket ír le. A (P) érintõsíkban fekvõ származtató egyenes a henger tengelyével szöget zár be, így a legördülés során evolvens csavarfelületet vagy más szóval ferde fogfelületet képez 10 a ábra. A ferde fogfelület lépése egyenlõ a két egymás után következõ evolvensgörbe közötti távolsággal, amelyeknek kiindulási pontjai az alaphenger ugyanazon alkotóján helyezkednek el.

a)

b)

10. ábra

A menetemelkedési szög az alapkör tengelyével párhuzamos síkban a csavarfelületre húzott érintõ és az alapkör tengelyére húzott merõleges között bezárt szög.

A foghajlási a menetemelkedési szöggel kiegészítõ szöget képez, illetve a csavarfelületre húzott érintõ és az alapkör tengelye között bezárt szög.

Az evolvensprofil bármely pontjának lépése ugyanaz, így a menetemelkedési és a foghajlási szögek változnak az átmérõvel.

A 10 b. ábra szerint felírhatók a következõ összefüggések a foghajlási szögekre:

                               (60)

azaz:

             (61)

ahonnan kifejezzük a,

                                           (62)

figyelembe véve a homloksíkban felírható összefüggést:

                                      (63)

                                           (64)

A ferdefogazatú fogaskerekek egymással kapcsolódó fogfelületeit lefejtéssel is elõ lehet állítani a (P) síkhoz tartozó AB egyenessel, ha a síkot a két kerék alaphengerén csúszásmentesen egyidejûleg legördítjük, mint például az sugarú alaphengerrõl legördülõ és az sugarú alaphengerre felgördülõ (P) síkban lévõ AB egyenes a két alaphengerhez rögzített a homloksíkokban és ezekkel párhuzamos metszetekben evolvens profilokat állít elõ, amelyek összessége adja a két egymással érintkezõ evolvens csavarfelületeket 11 ábra.

11. ábra

A lefejtéssel elõállított evolvens csavarfelületek illetve a ferde fogfelületek érintkezési pontjainak mértani helye bármely rendszerhez viszonyítva a (P) síkhoz tartozó egyenes, tehát a síkkal egyszerre mozgó AB egyenes. Mivel az érintõsík paraméterei a két alaphengeren való le és felgördüléskor nem változnak, a (P) síkot egy rögzített rendszerhez viszonyítva állónak is tekinthetjük amelyben az AB egyenes egyidejû legördüléskor halad a két alaphenger érintõvonalai között. A (P) síkot kapcsolósíknak nevezzük.

Az két fogaskerék alaphengerein mért foghajlási szögei egyenlõk de irányuk ellentétesek. Ha egy fogaskerék fogszáma a végtelen felé terjed, akkor a kerék körívei, evolvens görbéi kiegyenesednek és fogaslécé alakul át. A ferde fogazatú kerekek lefejtésekor a kerék osztókörén mért hajlásszög egyenlõ a fogasléc dõlésszögével. A fogasléccel való kapcsolódáskor a gördülõsík mindig érintõ a homloksíkban meghatározott osztóhengerrel. A 12 ábra alapján meghatározhatók a fogasléc méretei a homloksíkban:

12 ábra

               (65)

                                        (66)

ahonnan

                                      (67)

A homlok és a normálsíkban jelölt és kapcsolási szögek közötti összefüggést az EFD és az háromszögekbõl határozzuk meg 12 ábra, ahonnan felírható:

                                          (68)

A homlok és a normál síkokban az osztás, azaz:

                                (69)

                              (70)

ahonnan

                           (71)

kifejezhetõ

.                                  (72)

A fejhézag és a fogmagasság mindkét metszetben egyenlõ, tehát felírható:

                                 (73)

A (67) és a (73) egyenletekbõl kifejezhetõ a homloksík metszetének megfelelõ fogmagasság tényezõ:

                                (74)

A normál és a homlok síkokban a profileltolás mértéke egyenlõ, amelyet a tényezõk függvényében írunk fel,

                                     (75)

ahonnan a homloksíknak megfelelõ profileltolás-tényezõ,

                                    (76)

Figyelembe véve a fent levezetett tényezõk értékeit, akkor felírható általánosan a ferdefogú evolvens fogazat homloksíkjának megfelelõ számítási képletek, akárcsak az egyenes fogazatú kerekek esetében.

A (33) képlet szerint a homloksíkban az osztókör sugara,

                                         (77)

és a (29) képletnek megfelelõ frontális fogvastagság:

                   (78)

a (46) szerint a frontális kapcsolószög,

         (79)

az elemi ferdefogazatnak megfelelõ tengelytáv,

                                 (80)

a ferdefogazatú profileltolásos kerekek hézagmentes kapcsolódásához szükséges tengelytáv,

                      (81)

a (52) egyenlethez hasonlóan kifejezhetõ a homloksíkhoz tartozó tengelytávtényezõ:

     (82)

és a frontális fogmagasság tényezõ:

                               (83)

Hasonlóképpen, (58), (59) képletek szerint felírható a ferdefogazatú korrigált kerekek fogmagassága és külsõ átmérõje:

           (84)

A ferde fogazatú fogaskerekek kapcsolószámának meghatározásához a 13 ábrából indulunk ki. Az "A" pontban kezdõdõ kapcsolódás a homloksíkban az E pontig tart amelynek hosszát g-vel jelölünk. A ferde fogazat miatt a kapcsolóhossz a szakasszal nõ. A két szakasz összege adja a teljes kapcsolóhosszt. A kapcsolóhossz és a homloksíkban mért alaplépés aránya adja a kapcsolószámot.

13 ábra

                       (85)

ahol

                                (86)

a ferdefogazat által bevitt átfedés pedig

  (87)

9 Dörzs vagy fogaskerekes hajtómûvek áttételi arányának meghatározása

A hajtómû áttételi aránya alatt a bemenõ és a kimenõ tengelyek fordulatának vagy szögsebességének hányadosát értjük. A legegyszerûbb hajtómûvek csak kõralakú centrois, vagy hengeres kerekeket tartalmaznak. A hajtómûvek egy, két vagy többlépcsõsek lehetnek. A közönséges hajtómûveknél a tengelyek helyzete változatlan, vagy rögzített. Az áttételi arányt az vektorok aránya határozza meg, amely szerint a következõ összefüggések írhatók fel:

                          (88)

14 ábra

Ahol a negatív elõjel, a külsõ kapcsolású fogas vagy dörzskerekes hajtómûnek megfelelõ ellentétes szögsebességet mutatja.

Ha a tengelyeket tartó állványt valamelyik tengely körül forgásba hozzuk, akkor a közönséges hajtómû bolygókerekes hajtómûvé alakul át. A bolygókerekes hajtómû lehet két szabadságfokú differenciálmû ha a bolygókerék tengelyét tartó kar mozgása mellé az álló tengelyû napkereket is mozgásba hozzuk. A napkerék rögzítése esetén, a differenciálmû egyszerû egy szabadságfokú bolygókerekes mechanizmussá alakul. A 15 ábra egy "k" kinematikai párból álló közönséges hajtómûvet ábrázol. Az n tengelybõl álló hengeres fogaskerekes mechanizmus lépcsõzetesen kapcsolt. Az "n" tagból álló mechanizmus minden fogaskerék párjára felírható a részleges áttételi arány:

  (89)

                         (90)

15 ábra

                 (91)

16 ábra

Ahol a "k" szám a kapcsolt külsõ fogazású fogaskerék-párok számát jelenti,

illetve:

      (92)

A sorban kapcsolt kerekek esetén 16. ábráról észrevehetõ hogy a fogaskerekek részleges átviteli hányadosai rendre egyszerûsíthetõk, mivel a kapcsolásban lévõ hajtókerék fogszáma egybeesik a hajtott kerék fogszámával, azaz:

            (93)

A (93) egyenlõségek behelyettesítése után a (92) képlet egyszerûbb alakban írható:

                                    (94)

10 Bolygókerekes hajtómûvek kinematikai vizsgálata

Vizsgáljuk meg a 17 ábra bolygókerekes hajtómû mûködését.

17 ábra

A (3) kar a (2) bolygókereket tengelyével együtt egy rögzített síkhoz viszonyítva szögsebességgel forgatja a napkerék tengelye körül. Eközben a (2) bolygókerék az (1) napkerékkel kapcsolódik amely tengelye körül egy adott szögsebességgel forog. A vezetett (2) kerék a saját tengelye körül szögsebességgel fordul el. Így az effektusok egymásratevõdése értelmében, a bolygókerék teljes szögsebessége egyenlõ a két szögsebesség vektoriális összegével. Ahhoz hogy meghatározzuk a bolygókerék szögsebességét, az egész bolygókerekes mechanizmust képzeletben - szögsebességgel visszafelé forgatjuk. A - és az szögsebességeket egymásra téve észrevehetõ, hogy a bolygókerék tengelyét forgató kar helyzete egy álló külsõ rendszerhez viszonyítva stabil vagyis nyugalomban marad. A visszafelé forgatás következtében a bolygó és a napkerék szögsebessége az álló rendszerhez viszonyítva - szögsebességgel változik illetve, és szögsebességgel forognak. Mivel a visszaforgatás után a bolygókerekes hajtómû tengelyei az álló rendszerhez viszonyítva nyugalomban vannak, felírható a közönséges hajtómûre érvényes áttételi arány a hármas hajtókar rendszeréhez viszonyítva, azaz:

                            (95)

vagy

                             (96)

A (95) vagy a (96) kifejezés a bolygókerekes hajtómûvek áttételi arányainak a számítási képlete, amely a szakirodalomban Willis képlete néven ismert. A (96) kifejezés szerint a bolygókerekes hajtómûvek két szabadságfokú mechanizmusok. Amint a 17 ábrán is látni lehet az 1. napkerék és a 3. kar két egymástól független w és w_s szögsebességgel foroghat. A két szabadságfokkal rendelkezõ bolygókerekes hajtómûveket differenciális mechanizmusoknak nevezik. Ha például az 1. napkereket rögzítjük 18 ábra, akkor a differenciálmû egyszerû egy szabadságfokú bolygókerekes mechanizmussá alakul át. A vegyes kapcsolású hajtómûvek egy közönséges és egy bolygókerekes mechanizmusból tevõdnek össze. Az ilyen típusú hajtómûvek kinematikai lánca lehet nyitott vagy zárt. A differenciális mechanizmus szabadságfokát egyre lehet csökkenteni ha hozzákapcsolunk egy olyan kinematikai láncot, amely a hajtómû tagjai közé kötöttséget visz be. A közönséges hajtásokkal zárt bolygómûvek napkerekei között a Willis féle képlet szerint mindig felírható az áttételi arány. A bolygókerekes hajtómûvek kinematikai vizsgálata esetén, mindig a központi kerekek áttételi arányainak kifejezésébõl indulunk ki a Willis képlet alkalmazásával.

Példa.

Határozzuk meg analitikusan a 18 ábra alapján a bolygókerekes hajtómû áttételi arányait és a kimenõ tengely szögsebességét, ismerve: szögsebességet, , , , , és fogszámokat.

18 ábra

Megoldás:

Kezdetben meghatározzuk a közönséges hajtások átviteli arányait. A hajtó tengely w szögsebessége mindig ismert, amelynek függvényében meghatározható a vezetett tengely szögsebessége is, azaz:

amelybõl kifejezve (97)

A bolygókerekes mechanizmus bemenõ és kimenõ tagjaira felírjuk az áttételi arányt kifejezõ Willis képletet.

(98)

de amelyet figyelembe véve azonnal kifejezhetõ a kimenõ tengely szögsebessége, azaz:

                           (99)

illetve,

                    (100)

2. Példa

Határozzuk meg 19 ábra a zárt rendszerû bolygókerekes hajtómû áttételi arányát és a hármas tengely w szögsebességét ha ismert a bemenõ tengely w szögsebessége.

Megoldás:

A bemenõ tengely szögsebességének függvényében meghatározzuk a bolygókerekek bolygómozgását biztosító (S) kar szögsebességét, azaz:

      (101)

Továbbá felírjuk a bolygókerekes mechanizmus napkerekeinek áttételeit az (S) karral együttmozgó rendszerben, illetve:

19 ábra

              (102)

,      (103)

ahonnan,

                  (104)

az behelyettesítése és a tagok csoportosítása után kapjuk:

            (105)

sajátos esetben ha és akkor szögsebességgel.