Elektromágneses indukció

Oersted 1820-ban végezett megfigyelései után feltevődött a tudós társadalomban az a kérdés, hogy lehetséges-e a fordított jelenség is, vagyis a mágneses tér felhasználásával elektromos áramot nyerni? A megoldást elsőként Faraday érte el, kinek szavaival élve "sikerült a mágnességet elektromossággá" alakítani. Ez a felfedezés viszont forradalmasította az ipart és jótékony hatását a mindennapi életben élvezzük, gondoljunk csak a világításra, elektromos berendezéseinkre stb., melyeket nap-mint nap használunk.

Az elektromágneses indukció esetében két alapjelenséget különböztetünk meg. Beszélünk mozgási- és nyugalmi indukcióról.

1. Mozgási indukció

Mozgási indukcióról beszélünk abban az esetben, amikor mágneses térben elmozdul egy vezető, amelyben szabad töltéshordozók találhatók, melyek a mágneses és elektromos erők hatására elmozdulhatnak. Erre mutat példát az 1 ábra.

1 ábra

Tegyük fel, hogy az ábrán látható vezető darab homogén mágneses térben, a mágneses tér erővonalaira merőleges irányban, állandó sebességgel mozog. Természetesen a vezetőben található elmozdulásra képes vezetési elektronok is a fentiekben leírt módon mozognak. Tudjuk viszont, hogy egy elektromosan töltött részecske mágneses térben elmozdul, hat rá a Lorentz-erő, melynek kifejezését elektron esetében az (1) összefüggés mutatja be.

Ennek hatására az 1 ábrán feltüntetett irányba mozdul el az elektron. Ennek az a következménye, hogy a vezető egyik felülete, ahova az elektronok érkeznek (ábránkon a baloldal) elektromos szempontból negatívabbá válik a másik felületnél, ahol a rácspontokban lévő pozitív töltések kerülnek túlsúlyba. Ez a töltésszétválasztódás viszont egy olyan elektromos tér megjelenéséhez vezet, amely gátolja a töltésszétválasztódást.

E két ellentétes hatás egy olyan egyensúlyi állapot kialakulásához vezet, amelyben az állandó sebességgel haladó vezető két vége között állandó feszültség jön létre (zárt áramkörben pedig állandó áram folyik). A kialakult elektromos teret az (3) összefüggés segítségével adhatjuk meg.

A mozgó vezető áramforrásként viselkedik, melynek idegen (generátoros) térerőssége ellentétes az elektromos térerőséggel és az (4) összefüggéssel adható meg:

Definíció szerint, 525b19f az áramforrás e.m.f.-ét az idegen térerősség vonalintegráljaként számíthatjuk ki (5).

Amennyiben a vezető egyenes és egyenletes sebességgel, merőlegesen mozog a mágneses mező erővonalaira, az (5) összefüggés egyszerűsödik és az (6) alakban adható meg.

Ezt az összefüggést Neumann-képletnek nevezzük és ennek segítségével definiálhatjuk a mágneses tér indukcióját (7).

A fenti képlet szerint (Tesla) annak a mágneses térnek az indukciója, amely a tér erővonalaira merőlegesen, sebességgel mozgó, hosszúságú vezetőben, feszültséget indukál.

Megadhatjuk az indukált feszültséget is. Ha feltételezzük, hogy a vezető nyitott vezetőkörben helyezkedik el, a vezető két vége között az üresjárati kapocsfeszültség alakul ki. Ezt a kapocsfeszültséget az elektromos térerősség vonalintegráljaként számíthatjuk ki,

amely megfelel az áramforrások üresjárati kapocsfeszültségének (3.32). Amennyiben a vezető zárt áramkör része, a stacionárius áramköröknél megismert törvények ugyanúgy érvényesek és alkalmazhatók.

Ki kell térjünk viszont az elektromágneses indukció egy igen fontos tulajdonságára, melyet az (9) (a Maxwell-egyenletrendszer keretén belül már tárgyalt) Faraday-törvény fejez ki.

Ebből az összefüggésből levezethető az (5) összefüggés. Ahhoz, hogy pontos eredmény kapjunk, szükséges a negatív előjel, mely kifejezi, hogy indukált mennyiségek mindig olyan természetűek, hogy ellenszegüljenek az indukáló hatásnak. Ezt a szabályt Lenz- vagy fluxus-szabálynak nevezzük.

Megjegyzés: ne feledkezzünk meg a mozgási indukció egy nagyon fontos jellemzőjéről, mégpedig arról, hogy a mozgó vezető tartalmazza a mozgékony (elmozdulásra képes) töltéshordozókat, amelyeket a mágneses tér szét tud választani. Ebből természetesen következik, hogy szigetelő esetében nem jöhet létre mozgási indukció, mivel a szigetelőben nem találhatók ilyen töltéshordozók.

2. Nyugalmi indukció

Nyugalmi indukció jelenséget több módon is előidézhetünk. Lássunk néhány példát a teljesség igénye nélkül. Tekintsünk egy permanens rúdmágnest, amelyet az 2.a ábra szerint helyezünk el, majd tegyünk mellé egy szolenoid tekercset úgy, hogy szimmetria tengelyeik egybeessenek. A kísérlet kezdetekor a mágnes és a tekercs is mozdulatlan. Az első kísérletnél a mágnest közelítjük a tekercshez. Azt figyelhetjük meg, hogy a tekercs áramkörében elhelyezett galvanométer kitér, mégpedig úgy, hogy az általa jelzett áramirány az 2.b ábra szerinti. Mivel a tekercs elektromágnesként viselkedik, melynek mágneses tere a rúdmágneséhez hasonlít, a tekercsnek definiálhatunk északi és déli pólusát. A második kísérletnél távolítsuk a mágnest a tekercstől (2.c ábra). A tekercs áramkörében elhelyezett galvanométer ismét kitér, de most ellenkező irányban, ami azt jelenti, hogy az áramkörben megfordult az áram (2.d ábra). A kísérletekből egyértelműen következik, hogy létrejön a tekercsben az elektromágneses indukció, azonban ez nem mozgási indukció, hiszen az indukált áramkör (tekercs) nem mozog, így nincsenek olyan töltött részecskék, amelyek a 4.2.1. pontban leírtak szerint elmozdulhatnának. Azonban az első esetben az indukált tekercs helyén megnő, a második esetben pedig lecsökken az indukáló mágneses tér indukciója, tehát a tekercsben fluxus-változás jön létre.

a) b)

c) d)

2 ábra

A harmadik és negyedik kísérletben cseréljük ki a permanens mágnest egy elektromágnessel, amelyben olyan áramot keringtetünk, hogy a tekercs mágneses pólusai megegyezzenek az előző kísérletek permanens mágnesének pólusaival.

a) b)

c) d)

3 ábra

Közelítsük először az indukáló tekercset az indukált felé, majd távolítsuk azt. Ugyanazokat a jelenségeket tapasztaljuk, mint az első és a második kísérletnél. A továbbiakban tekintsünk egy az indukáló tekercset, melynek az áramkörében elhelyezünk egy változtatható ellenállást. Természetesen az ellenállás növelésével és csökkentésével csökkenthetjük, illetve növelhetjük az indukáló tekercs áramát. Az 4.a ábrán a csökkentjük az ellenállás értékét, amely ellenállás értékét, amely az áram növekedését és az indukált tekercs helyén pedig a mágneses indukció növekedését eredményezi. Ennek a folyamatnak az eredménye ugyanaz, mint az 2.a illetve 3.a ábrán bemutatott folyamatoké, vagyis növelik az indukált tekercsben a fluxust. Az 3.c ábrán növeljük az ellenállás értékét, amely az áram csökkenését és az indukált tekercs helyén pedig a mágneses indukció csökkenését eredményezi. Ennek a folyamatnak az eredménye ugyanaz, mint az 2.c és 3.c folyamatoké, vagyis csökkentik az indukált tekercsben a fluxust. Ennek megfelelően itt is ugyanazokat a megfigyeléseket végezhetjük, mint az előző esetekben.

a) b)

c) d)

4 ábra

3. Önindukció

Az előző pont utolsó kísérletében csak az indukált tekercsre összpontosítottunk, azonban az indukáló tekercsben is játszódik le indukciós jelenség. Az ellenállás változtatásakor az áram változása miatt megváltozik a mágneses tér indukciója a tekercsben, tehát fluxus-változás jön létre, amely indukált feszültség, illetve áram megjelenését eredményezi. Ezt a jelenséget önindukciónak nevezzük, amely szintén a nyugalmi indukciós jelenségek csoportjába tartozik. A Lenz-szabály itt érvényes, tehát olyan áram jön létre az indukció során, amely által létrehozott mágneses tér ellenszegül az indukáló hatásnak. Az önindukciós elektromotoros feszültséget az (9) Faraday-törvény alapján írhatjuk fel, figyelembe véve, hogy a tekercs mágneses fluxusa összefüggéssel adható meg, ahol a tekercs induktivitása.

Az indukciós tényező egysége az (Henry). A fenti összefüggés segítségével értelmezhetjük az indukciós tényezőt: pl. annak a tekercsnek az indukciós tényezője, melyben az áramerősségnek alatt -el történő egyenletes változtatása mellett, magában a tekercsben feszültség indukálódik. A tekercs adataiból meg lehet határozni az indukciós tényező értékét, viszont ez bonyolult feladat, elemi úton csak kevés esetben számítható ki. Ilyen egyedi eset a szolenoid esete. A szolenoid egy olyan tekercs, melynek egy sor menete van hosszúsága pedig jóval nagyobb, mint az átmérője A szolenoid mágneses terének képletét (11) kell felhasználnunk az indukció tényező meghatározására.

A fenti összefüggésből:

Megjegyezzük, hogy abban az esetben, amikor az anyag nem ferromágneses állandó, mivel a relatív permeabilitás is állandó.

Abban az esetben, amikor a tekercsben vasmag is található (mely ferromágneses anyagból készül), a relatív mágneses permeabilitás értéke függ a mágneses térerősségtől, amely viszont függ a gerjesztő áram erősségétől, így tehát függ az áramerősségtől és nem állandó. Ekkor az indukált elektromotoros erő pillanatnyi értékét a következő módon számíthatjuk ki.

5 ábra

Tekintsük az 5 ábrán látható áramkört, melyben egy ellenállás és egy ideális tekercs található és feltételezzük, hogy az áramkör zárása után, még nem állt be permanens állapot, így az áram értéke változó. Ennek megfelelően a tekercs mágneses tere változó, így a fluxus-változás miatt elektromotoros feszültség indukálódik, melynek iránya a Lenz-szabálynak megfelelő. Az 5 ábrán feltüntetett irány az áram növekvő tendenciájának megfelelő. Ezen elektromotoros erő legyőzéséhez az áramforrásnak feszültséget kell szolgáltatni. Ennek megfelelően a fenti áramkörben a huroktörvényt a következőképpen írhatjuk fel:

4. Kölcsönös indukció

Kölcsönös indukciós jelenség lép fel két vagy több egymáshoz képest nyugalomban lévő tekercs között, ha azok gerjesztő áramai, illetve az általuk létrehozott mágneses terek lassan változnak. A csatolás mértéke (csatolási tényező) függ a tekercsek alakjától illetve egymáshoz viszonyított helyzetétől. A tekercsek kölcsönös helyzete szerint két fő részre oszthatjuk a kölcsönös indukcióval kapcsolatos jelenségeket. Ha a tekercsek közös szimmetriatengellyel rendelkeznek, egymásra vannak csévélve szoros csatolásról beszélünk, ha pedig a tekercsek távol helyezkednek el egymástól, laza csatolásról beszélünk.

4.1. Két tekercs szoros csatolása

Tekintsük az 6 ábrán látható két tekercsből álló rendszert. A két tekercsnek közös szimmetriatengelye és azonos a keresztmetszetük felülete (). A Belső menetszámú tekercsre szorosan van rácsévélve az menetszámú külső tekercs. Az 1.-es tekercsen keresztül pillanatnyi erősségű áramot folyatunk keresztül. Az így létrejött mágneses tér minden erővonala a külső tekercsen belül helyezkedik el, tehát a mágneses terekre érvények a következő összefüggés:

Az áram változása a 2.-es tekercsben e.m.f.-et indukált:

ahol,

a kölcsönös indukciós együttható (kölcsönös induktivitás), a második tekercsnek az elsőre vonatkoztatott kölcsönös induktivitása.

  

a) b) c)

6 ábra

Megfigyelhető, hogy alakját tekintve az (17) összefüggés ugyanolyan, mint az önindukciónál bevezetett (10) összefüggés. Ez azt jelenti, hogy a kölcsönös induktivitás ugyanazzal a dimenzióval rendelkezik, tehát mértékegysége az .

Ha 2.-es tekercsbe vezetünk áramot (), az 1.-es tekercsben e.m.f. indukálódik, melyet a következő alakban írhatunk fel:

Az előző esetben a számításokat könnyedén elvégezhettük, mivel a 2.-es tekercs belsején minden erővonal áthalad, amelyet az 1.-es tekercsben folyó áram létrehoz. Fordított esetben, amikor a 2.-es tekercsben áram folyik, ez már nem igaz. Az indukcióvonalak kihajlanak a 2.-es tekercs végeinél (6.c ábra). A számításokat ebben az esetben is el lehet végezni, ám ezt most nem tesszük. Bizonyítható, hogy ebben az esetben is ugyanaz a két tekercs közötti kölcsönös induktivitás , tehát:

Szoros csatolás esetében az indukált elektromotoros feszültség nagy. A kölcsönös indukciónak (főleg a szoros csatolás estében) igen nagy gyakorlati jelentősége van. Ezen alapszik a csatolt rezgőkörök, a transzformátorok stb. működése. Nagyon sokszor figyelhető meg, és zavaró is a telefonvonalak közötti áthallás, amely szintén a kölcsönös indukciónak tulajdonítható.

4.2. Két tekercs laza csatolása

Ha két tekercs távol helyezkedik el egymástól, a tekercsek a közös fluxus csak részleges, ilyenkor beszélünk laza csatolásról. Az indukált elektromotoros feszültségeket ebben az esetben is az (19) összefüggésekkel számíthatjuk ki, de ebben az esetben kicsi, így az indukált feszültségek is kicsik.

4.3. Az kölcsönös induktivitás előjele

A kölcsönös induktivitás előjelének meghatározása igen fontos feladat, amely sok tényezőtől függ.

Tekintsük a 7.a és b. ábrákon látható csatolt tekercseket. A 7.a ábrán feltételezzük, hogy az áramok a tekercsek referenciapontjainál lépnek be a tekercsbe, így az egyezmény szerint a csatolási tényező pozitív (). Megjegyezzük, hogy ha mindkét áram a referenciapontokkal ellentétes végpontnál lép be a tekercsekbe a csatolási tényező szintén pozitív. Ha a 7.b ábrán feltüntetett módon az egyik áram a referenciapontnál a másik pedig a vele ellentétes végpontnál lép be a tekercsbe a csatolási tényező negatív().

           

a) b)

7 ábra

Az egyes tekercsek fluxusait az önindukció és a kölcsönös indukció jelenségei együttesen határozzák meg. Az alábbi számítások esetében a felső előjel arra az esetre utal, amikor az áramok a referenciapontoknál (vagy az ellenkező végpontnál), az alsó előjel pedig arra az esetre, amikor az egyik áram a referenciapontnál a másik pedig az ellentétes végpontnál lép be. A fluxusokat az alábbi összefüggésekkel számíthatjuk ki:

Az indukált elektromotoros feszültségeket az (19) összefüggésekkel számíthatjuk ki.

A tekercseken megjelenő feszültségek:

A további számításokban a tekercseken megjelenő feszültségeket használjuk.

4.4. Tekercsek kapcsolása

Az ellenállásokhoz és kondenzátorokhoz hasonlóan, a tekercseket is kapcsolhatjuk soros, párhuzamos vagy vegyes kapcsolásokba. Ennek megfelelően meghatározhatjuk az illető kapcsolások eredő induktivitásait.

a)      Soros kapcsolás

8 ábra

Az 8 ábrán két tekercs soros kapcsolása látható. Az ábrán azt az esetet tüntettük fel, amikor az áram mindkét tekercsbe a referenciapontokon lép be, így a csatolás pozitív. A számításoknál ezt is ismét a felső indexel jelöljük. Az alsó index a továbbiakban is a negatív csatolásnak felel meg.

Az eredő () feszültség az egyes tekercseken megjelenő feszültségek összegeként számítható ki:

Behelyettesítjük az (23) összefüggésbe az (22) összefüggéseket:

A helyettesítő áramkörben a tekercs feszültségét a soroson kapcsolt tekercsek eredő induktivitásával az (26) összefüggéssel adhatjuk meg.

Abban az esetben, amikor a sorosan kapcsolt tekercsek között nincs mágneses csatolás, az eredő induktivitást az (26) összefüggéssel adhatjuk meg:

Megjegyezzük, hogy az (26) összefüggés alakja megegyezik a sorosan kapcsolt ellenállások eredő ellenállását meghatározó összefüggés alakjával.

b)      Párhuzamos kapcsolás

Az 9 ábrán két tekercs párhuzamos kapcsolása látható. Az ábrán azt az esetet tüntettük fel, amikor az áram mindkét tekercsbe a referenciapontokon lép be, így a csatolás pozitív. A számításoknál ezt is ismét a felső indexel jelöljük. Az alsó index a továbbiakban is a negatív csatolásnak felel meg.

9 ábra

Az eredő induktivitás meghatározásához az alábbi egyenletrendszert kell megoldjuk:

Az (27) egyenletrendszerből kifejezzük és deriváltakat:

Az (27) egyenletrendszer második egyenletét idő szerint deriváljuk és behelyettesítjük az (28) összefüggéseket:

Ha a két párhuzamosan kapcsolt tekercs nincs mágneses csatolásban az eredő induktivitás a következő alakban írható fel:

Megjegyezzük, hogy az (31) összefüggés alakja megegyezik a párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredő ellenállását meghatározó összefüggés alakjával.

4. Csatolási állandó - k

4.6. Két csatolt tekercs helyettesítése három csatolatlan tekerccsel

A címbe foglalt módszer egy számítási segítség, amely természetesen a valós áramköri kapcsolásokon nem valósítható meg teljes mértékben. Tekintsük a 10.a ábrán látható csatolt tekercseket. Az előjelek továbbra is az eddigi egyezmény szerintiek.

       

a) b)

10 ábra

A csatolt tekercsek kapcsain megjelenő feszültségeket az (22) összefüggésekkel számíthatjuk ki. A csatolt tekercseket úgy kell helyettesítsük ekvivalens csatolatlan tekercsekkel, hogy a bemeneti és kimeneti feszültségek ne változzanak meg. A 10.b ábrán látható három tekercsből álló csatolatlan tekercsek esetében a bemeneti és kimeneti feszültségeket a következőképpen számíthatjuk ki:

Az (22) és az (32) összefüggésekkel számított feszültségek egyenlők kell legyenek ahhoz, hogy 10.a és 10.b kapcsolások ekvivalensek legyenek. Az ekvivalens kapcsolásban szereplő három tekercs induktivitásait az alábbi módon számíthatjuk ki:

4.7. Tárgyalás komplex módszerrel

A csatolt tekercsek komplex tárgyalása ugyanúgy történik, mint az önindukciós tekercsek esetében (lásd. 4.3.3. b.) A (4.27) összefüggéshez hasonlóan számítjuk ki a csatolási tényező miatt megjelenő komplex impedanciát.