Az egyfázisú váltakozó áram teljesítménye

1. Pillanatnyi teljesítmény

Tekintsünk egy váltóáramú áramkört, amelyben a betáplált feszültség és a kialakuló áram között fáziskülönbség van és a (4.51) egyenletekkel adottak.

Feladatunk meghatározni a áramkör által felvett teljesítményt. A váltóáram teljesítménye összetettebb, mint az egyenáram teljesítménye. Induljunk ki az ún. pillanatnyi teljesítménybõl, amelyet a pillanatnyi feszültség és áram szorzataként definiálunk (4.52):

A számítások elvégzéséhez szükségünk van a két szinusz függvény szorzására vonatkozó trigonometriai összefüggésre (4.53) 737f55h :

Visszatérve a (4.52) összefüggésre, a mi esetünkben (4.53) 737f55h -ban és . Behelyettesítjük (4.53) 737f55h -at (4.52)-be és kapjuk a váltakozó áram pillanatnyi teljesítményére a következõ összefüggést:

A fenti összefüggést átírhatjuk úgy, hogy az amplitúdók helyett az effektív értékek szerepeljenek:

A (4.55) összefüggés által definiált pillanatnyi teljesítmény idõfüggését a 20. ábra szemlélteti, melyet watt-görbének nevezünk.

20. ábra

A (4.55) összefüggésbõl kiolvasható (és a 20. ábrán megfigyelhetõ), hogy a pillanatnyi teljesítménynek van egy az idõtengely fölött magasságban elhelyezkedõ állandó komponense, amelyre rátevõdik egy idõben kétszeres frekvenciájú koszinusz függvény szerint változó komponens.

2. A pillanatnyi teljesítmény összetevõi

A 20. ábrán megfigyelhetõ, hogy a pillanatnyi teljesítmény felvesz pozitív és negatív értékeket is. Amikor a pillanatnyi teljesítmény pozitív (), az áramforrás egységnyi idõ alatt ennyi energiát ad át a fogyasztónak. A fogyasztó azonban nem tudja ezt az energiát teljes mértékben felvenni, csak egy részét képes hasznosítani. A teljesítménynek azon részét, melyet más típusú energiává alakíthatunk át (mechanikai munkává gépeinkben, világításra izzókban stb.) aktív teljesítménynek nevezzük, P-vel jelöljük () és Watt-ban (W) mérünk.

A teljesítménynek azon részét, amelyet nem tud a fogyasztó hasznosítani, meddõ (reaktív) teljesítménynek nevezzük és VAR-ban (volt-amper reaktív) mérjük. Az ebbõl származó energia az áramköri elemek elektromos és mágneses tereiben, ún. mezõenergiák formájában raktározódik el. Pl. tekercsekben energiasûrûségû mágneses energia formájában, kondenzátorokban pedig energiasûrûségû elektromos energia formájában. A mezõenergiák egy részét a negatív pillanatnyi teljesítményû szakaszokban () a fogyasztó visszajuttatja az áramforrásnak (vagy szolgáltatónak).

Megjegyzés: a meddõ energiának a negatív pillanatnyi teljesítményû szakaszokban visszafele (szolgáltató fele) való terjedése áram formájában történik, amely a vezetékek ellenállásán Joule-hatás következtében (jellemzõen távvezetékekben) melegedést, tehát veszteséget okoz. Minél nagyobb ennek a meddõ energiának a mérték, annál nagyobb a veszteség is. Ez természetesen nem megfelelõ a szolgáltató szempontjából, hiszen ez a veszteség a szolgáltató kárára történi. Ennek megfelelõen a szolgáltató elvárja azt, hogy a fogyasztóban minél kisebb legyen a meddõ energia.

3. Teljesítménytényezõ

Hogyan érhetõ el, hogy a meddõ energia minél kisebb legyen? Elméletileg nagyon egyszerû erre a kérdésre a válasz. A 20. ábrán a watt-görbét minél magasabbra kell "tolni" és ezzel a negatív teljesítményû szakaszok egyre kisebbekké válnak. Ezt úgy érhetjük el, hogy az aktív teljesítményt növeljük meg, ez viszont azt jelenti, hogy meg kell növelni a szorzótényezõ értékét. Ezt a szorzótényezõt nevezzük teljesítménytényezõnek.

Megjegyzés: visszatérve az elõbbi szolgáltatóval kapcsolatos példára, a szolgáltató szempontjából az ideálist az jelentené, hogy a fogyasztó teljesítménytényezõje legyen , mert ekkor a mezõenergiák csak egymás között cserélõdnek (elektromos térbõl mágneses térbe oda- és vissza alakulnak).

4. Aktív-, reaktív- és látszólagos teljesítmény

A váltóáramú áramkörökben a feszültéség és az áram általában nincs egymással fázisban (pl. 17.-19. ábrák). Függetlenül attól, hogy a feszültség siet vagy késik az áramhoz képest, minden esetben felbonthatjuk a feszültséget (vagy áramot) két egymásra merõleges (vagyis -es fáziskülönbségû) komponensre úgy, hogy az egyik komponens az áram (vagy feszültség) irányába mutasson, a másik pedig rá merõleges legyen. Az áramkörben megjelenõ teljesítmények szempontjából nagyon fontos, hogy az említett komponensek közül melyiket vesszük figyelembe. A szemléletes tárgyalás kedvéért tekintsük az elõbbi felbontást sorosan, illetve párhuzamosan kapcsolt fogyasztók esetében.

a.) Hatásos- és meddõ feszültség és áram

a.1) Sorosan kapcsolt fogyasztók

Sorosan kapcsolt fogyasztók esetén az áramköri elemekre jutó feszültség siet vagy késik az áramkörben folyó áramhoz képest. A fáziskülönbség . A 21. ábrán siet a feszültség az áramhoz képest, a feszültséget pedig felbontjuk úgy, hogy egyik komponense mutasson az áram irányába, a másik pedig legyen rá merõleges. Az árammal párhuzamos (fázisban megegyezõ) komponens az ún. hatásos feszültség (), a rá merõleges (fázisban -vel sietõ) komponens pedig az ún. meddõ feszültség ().

a.2) Párhuzamosan kapcsolt fogyasztók

Párhuzamosan kapcsolt fogyasztók esetén az áramköri elemeken megjelenõ feszültséghez képest sietnek vagy késnek az áramköri elemeket tartalmazó ágakban folyó áramok. A fáziskülönbség . A 22. ábrán siet az áram a feszültséghez képest, az áramot pedig felbontjuk úgy, hogy egyik komponense mutasson a feszültség irányába, a másik pedig legyen rá merõleges. Az feszültséggel párhuzamos (fázisban megegyezõ) komponens az ún. hatásos áram (), a rá merõleges (fázisban -vel sietõ) komponens pedig az ún. meddõ áram ().

b.) Aktív (hatásos) teljesítmény

A 4.2. pontban már bevezettük az aktív teljesítmény fogalmát. Vizsgáljuk meg ezt az elõzõ pontokban bevezetett mennyiségeket használva.

b.1) sorosan kapcsolt fogyasztók: figyelembe véve, hogy és (17. ábra), valamint 4.2. pontban megadott definíciót, az aktív teljesítményt az alábbi összefüggésekkel határozhatjuk meg:

b.2) párhuzamosan kapcsolt fogyasztók: figyelembe véve, hogy és (19. ábra), valamint 4.2. pontban megadott definíciót, az aktív teljesítményt az alábbi összefüggésekkel határozhatjuk meg:

A (4.58) és (4.59) összefüggések szerint az aktív teljesítményt úgy sorosan, mint párhuzamosan kapcsolt fogyasztók esetében az ohmos fogyasztók veszik fel. Mivel , általános esetben is (vagyis vegyes kapcsolások esetében) az aktív teljesítményt megadhatjuk, mint:

Az aktív teljesítmény fizikai jelentése, mint azt már a 4.2. pontban már kijelentettük, nem más, mint az a teljesítmény, amelyet a váltakozó áram tulajdonképpen fogyasztóinknak le tud adni, és gépeink fel tudnak használni munkavégzésre stb.

c.) Reaktív (meddõ) teljesítmény

A 4.2. pontban már említettük a reaktív teljesítmény fogalmát, melyet Q-val jelölünk, VAR-ban (volt-amper reaktív) mérünk és definíció szerint összefüggéssel adunk meg. Vizsgáljuk meg ezt az elõzõ pontokban bevezetett mennyiségeket használva.

c.1) sorosan kapcsolt fogyasztók: figyelembe véve, hogy és (17. ábra), a reaktív teljesítményt az alábbi összefüggésekkel határozhatjuk meg:

c.2) párhuzamosan kapcsolt fogyasztók: figyelembe véve, hogy és (19. ábra), a reaktív teljesítményt az alábbi összefüggésekkel határozhatjuk meg:

A (4.61) és (4.62) összefüggések szerint az aktív teljesítményt úgy sorosan, mint párhuzamosan kapcsolt fogyasztók esetében reaktív fogyasztók veszik fel. Mivel , általános esetben is (vagyis vegyes kapcsolások esetében) a reaktív teljesítményt megadhatjuk, mint:

A továbbiakban megadjuk a meddõ teljesítmény fizikai jelentését. Ehhez tekintsünk egy soros RLC áramkört, melyben a reaktív elemek teljes reaktív ellenállása . A 3. pont értelmében a meddõ teljesítményt a következõképpen adhatjuk meg.

Vizsgáljuk meg a (4.64) összefüggés zárójelében szereplõ tagokat.

A fenti összefüggések értelmében (4.64) azt jelenti, hogy a reaktív teljesítmény nem más, mint az áramkörben található tekercsek és kondenzátorok mágneses illetve elektromos tereiben felhalmozott energia különbségével arányos mennyiség. A fogyasztók ezt az energiakülönbséget juttatják vissza az elektromos hálózatba hasznos munkavégzés nélkül.

d.) Látszólagos teljesítmény

A fenti teljesítményeken kívül definiálnunk kell egy harmadik teljesítmény jellegû mennyiséget, amelyet látszólagos teljesítménynek nevezünk. A látszólagos teljesítményt -el jelöljük, tulajdonképpeni mértékegysége megegyezik az aktív teljesítményével, azonban a nemzetközi mértékrendszerben foganatosított mértékegysége a Volt-Amper (VA), definíció szerint pedig megegyezik az effektív áram és feszültség szorzatával.

Ha megfigyeljük az aktív- és a reaktív teljesítmények kifejezéseit észrevehetjük, hogy ez utóbbi kettõ négyzeteinek összege éppen a látszólagos teljesítményt adja meg:

Nagyon fontos, hogy az áramköröket és a fogyasztókat a látszólagos teljesítményre méretezzük, hiszen a generátoroknak az effektív feszültséget kell elõállítani, az áramkörben pedig az effektív áram kell folyjon. Ha a látszólagos teljesítmény alá vagy fölé méretezzük az áramkört, akkor megtörténhet, hogy átütések (elektromos szikrák) vagy éppen megolvadhatnak a huzalok. Mivel a huzalok melegedése energiaveszteséget jelent, gazdasági okokból arra kell törekedni, hogy az aktív és a látszólagos teljesítmények aránya minél nagyobb legyen. Ez az arány nem más, mint a teljesítménytényezõ (), melynek maximális értéke ideális esetben 1 lehet, gyakorlatban a cél minél jobban megközelíteni az 1-et (bõvebben a 7. pontban).

5. Komplex látszólagos teljesítmény

Definíció szerint a komplex látszólagos teljesítményt az effektív feszültség és az effektív áram komplex konjugáltjának szorzata adja meg,

Ahol a komplex teljesítmény valós része nem más, mint az aktív teljesítmény, a látszólagos része pedig a reaktív teljesítmény. Mivel komplex mennyiségrõl van szó, a komplex teljesítményt ábrázolhatjuk fazorként is (23. ábra).

23. ábra

6. A komplex, aktív és meddõ teljesítmények megmaradása.

Egy elszigetelt több-hurkos áramkörben lévõ áramköri elemekre kiszámítva a komplex teljesítményeket azt tapasztaljuk, hogy a komplex teljesítmények összege nulla, amely nem más, mint a komplex teljesítmény megmaradásának tétele.

Szétválasztva a (4.68) összefüggésben a komplex részt a valóstól, azt kapjuk, hogy a úgy az aktív, mint a reaktív teljesítmények összege nulla, tehát mindegyik megmaradó mennyiség.

7. Maximális teljesítmény átvitelének tétele

Tekintsük a 24. ábrán látható áramkört, amelyben található egy váltakozó áramú generátor, melynek belsõ impedanciája , valamint egy fogyasztó, melynek impedanciája  . Az áramkörben kialakuló áram:

A fogyasztón megjelenõ aktív teljesítmény:

A reaktív ellenállások szempontjából a fenti összefüggés akkor válik maximálissá, amikor , tehát . Ez azt jelenti, hogy a fogyasztó reaktív ellenállása ugyanakkora kell legyen, mint a generátor belsõ reaktív ellenállása, de ellentétes fáziseltolást kell létrehozzon. Ez azt jelenti, hogy amennyiben a generátor belsõ reaktív ellenállása induktív, ahhoz, hogy maximális aktív teljesítményt nyerhessünk a fogyasztón, a fogyasztó reaktív ellenállása kapacitív kell legyen.

24. ábra

7. A teljesítménytényezõ javítása.

Az aktív teljesítményt a összefüggés adja meg. Ennek megfelelõen az aktív teljesítmény akkor növelhetõ, ha a teljesítménytényezõt megnöveljük. Maximális akkor lehet , ekkor az áramköri impedancia ellenállásként viselkedik, minimális pedig akkor lehet ha , ilyenkor az áramköri impedancia reaktív jellegû és az áramkörnek csak meddõ teljesítménye van. Számunkra a hasznosítható aktív teljesítmény fontos, így annak növelése az érdekünk. A meddõ teljesítmény csökkentését vonja maga után a teljesítménytényezõ javítása, amely a veszteségek csökkentését is jelenti. Pl. egy gyárban, ahol sok az induktív fogyasztó (villanymotorok), ún. fázisjavító kondenzátorokat kell elhelyezni a teljesítménytényezõ javítása érdekében. Ugyanez a helyzet a transzformátorok esetében is.