Az egyfázisú váltakozó áram teljesítménye

1. Pillanatnyi teljesítmény

Tekintsünk egy váltóáramú áramkört, amelyben a betáplált feszültség és a kialakuló áram között fáziskülönbség van és a (4.51) egyenletekkel adottak.

Feladatunk meghatározni a áramkör által felvett teljesítményt. A váltóáram teljesítménye összetettebb, mint az egyenáram teljesítménye. Induljunk ki az ún. pillanatnyi teljesítményből, amelyet a pillanatnyi feszültség és áram szorzataként definiálunk (4.52):

A számítások elvégzéséhez szükségünk van a két szinusz függvény szorzására vonatkozó trigonometriai összefüggésre (4.53) 737f55h :

Visszatérve a (4.52) összefüggésre, a mi esetünkben (4.53) 737f55h -ban és . Behelyettesítjük (4.53) 737f55h -at (4.52)-be és kapjuk a váltakozó áram pillanatnyi teljesítményére a következő összefüggést:

A fenti összefüggést átírhatjuk úgy, hogy az amplitúdók helyett az effektív értékek szerepeljenek:

A (4.55) összefüggés által definiált pillanatnyi teljesítmény időfüggését a 20. ábra szemlélteti, melyet watt-görbének nevezünk.

20. ábra

A (4.55) összefüggésből kiolvasható (és a 20. ábrán megfigyelhető), hogy a pillanatnyi teljesítménynek van egy az időtengely fölött magasságban elhelyezkedő állandó komponense, amelyre rátevődik egy időben kétszeres frekvenciájú koszinusz függvény szerint változó komponens.

2. A pillanatnyi teljesítmény összetevői

A 20. ábrán megfigyelhető, hogy a pillanatnyi teljesítmény felvesz pozitív és negatív értékeket is. Amikor a pillanatnyi teljesítmény pozitív (), az áramforrás egységnyi idő alatt ennyi energiát ad át a fogyasztónak. A fogyasztó azonban nem tudja ezt az energiát teljes mértékben felvenni, csak egy részét képes hasznosítani. A teljesítménynek azon részét, melyet más típusú energiává alakíthatunk át (mechanikai munkává gépeinkben, világításra izzókban stb.) aktív teljesítménynek nevezzük, P-vel jelöljük () és Watt-ban (W) mérünk.

A teljesítménynek azon részét, amelyet nem tud a fogyasztó hasznosítani, meddő (reaktív) teljesítménynek nevezzük és VAR-ban (volt-amper reaktív) mérjük. Az ebből származó energia az áramköri elemek elektromos és mágneses tereiben, ún. mezőenergiák formájában raktározódik el. Pl. tekercsekben energiasűrűségű mágneses energia formájában, kondenzátorokban pedig energiasűrűségű elektromos energia formájában. A mezőenergiák egy részét a negatív pillanatnyi teljesítményű szakaszokban () a fogyasztó visszajuttatja az áramforrásnak (vagy szolgáltatónak).

Megjegyzés: a meddő energiának a negatív pillanatnyi teljesítményű szakaszokban visszafele (szolgáltató fele) való terjedése áram formájában történik, amely a vezetékek ellenállásán Joule-hatás következtében (jellemzően távvezetékekben) melegedést, tehát veszteséget okoz. Minél nagyobb ennek a meddő energiának a mérték, annál nagyobb a veszteség is. Ez természetesen nem megfelelő a szolgáltató szempontjából, hiszen ez a veszteség a szolgáltató kárára történi. Ennek megfelelően a szolgáltató elvárja azt, hogy a fogyasztóban minél kisebb legyen a meddő energia.

3. Teljesítménytényező

Hogyan érhető el, hogy a meddő energia minél kisebb legyen? Elméletileg nagyon egyszerű erre a kérdésre a válasz. A 20. ábrán a watt-görbét minél magasabbra kell "tolni" és ezzel a negatív teljesítményű szakaszok egyre kisebbekké válnak. Ezt úgy érhetjük el, hogy az aktív teljesítményt növeljük meg, ez viszont azt jelenti, hogy meg kell növelni a szorzótényező értékét. Ezt a szorzótényezőt nevezzük teljesítménytényezőnek.

Megjegyzés: visszatérve az előbbi szolgáltatóval kapcsolatos példára, a szolgáltató szempontjából az ideálist az jelentené, hogy a fogyasztó teljesítménytényezője legyen , mert ekkor a mezőenergiák csak egymás között cserélődnek (elektromos térből mágneses térbe oda- és vissza alakulnak).

4. Aktív-, reaktív- és látszólagos teljesítmény

A váltóáramú áramkörökben a feszültéség és az áram általában nincs egymással fázisban (pl. 17.-19. ábrák). Függetlenül attól, hogy a feszültség siet vagy késik az áramhoz képest, minden esetben felbonthatjuk a feszültséget (vagy áramot) két egymásra merőleges (vagyis -es fáziskülönbségű) komponensre úgy, hogy az egyik komponens az áram (vagy feszültség) irányába mutasson, a másik pedig rá merőleges legyen. Az áramkörben megjelenő teljesítmények szempontjából nagyon fontos, hogy az említett komponensek közül melyiket vesszük figyelembe. A szemléletes tárgyalás kedvéért tekintsük az előbbi felbontást sorosan, illetve párhuzamosan kapcsolt fogyasztók esetében.

a.) Hatásos- és meddő feszültség és áram

a.1) Sorosan kapcsolt fogyasztók

Sorosan kapcsolt fogyasztók esetén az áramköri elemekre jutó feszültség siet vagy késik az áramkörben folyó áramhoz képest. A fáziskülönbség . A 21. ábrán siet a feszültség az áramhoz képest, a feszültséget pedig felbontjuk úgy, hogy egyik komponense mutasson az áram irányába, a másik pedig legyen rá merőleges. Az árammal párhuzamos (fázisban megegyező) komponens az ún. hatásos feszültség (), a rá merőleges (fázisban -vel siető) komponens pedig az ún. meddő feszültség ().

a.2) Párhuzamosan kapcsolt fogyasztók

Párhuzamosan kapcsolt fogyasztók esetén az áramköri elemeken megjelenő feszültséghez képest sietnek vagy késnek az áramköri elemeket tartalmazó ágakban folyó áramok. A fáziskülönbség . A 22. ábrán siet az áram a feszültséghez képest, az áramot pedig felbontjuk úgy, hogy egyik komponense mutasson a feszültség irányába, a másik pedig legyen rá merőleges. Az feszültséggel párhuzamos (fázisban megegyező) komponens az ún. hatásos áram (), a rá merőleges (fázisban -vel siető) komponens pedig az ún. meddő áram ().

b.) Aktív (hatásos) teljesítmény

A 4.2. pontban már bevezettük az aktív teljesítmény fogalmát. Vizsgáljuk meg ezt az előző pontokban bevezetett mennyiségeket használva.

b.1) sorosan kapcsolt fogyasztók: figyelembe véve, hogy és (17. ábra), valamint 4.2. pontban megadott definíciót, az aktív teljesítményt az alábbi összefüggésekkel határozhatjuk meg:

b.2) párhuzamosan kapcsolt fogyasztók: figyelembe véve, hogy és (19. ábra), valamint 4.2. pontban megadott definíciót, az aktív teljesítményt az alábbi összefüggésekkel határozhatjuk meg:

A (4.58) és (4.59) összefüggések szerint az aktív teljesítményt úgy sorosan, mint párhuzamosan kapcsolt fogyasztók esetében az ohmos fogyasztók veszik fel. Mivel , általános esetben is (vagyis vegyes kapcsolások esetében) az aktív teljesítményt megadhatjuk, mint:

Az aktív teljesítmény fizikai jelentése, mint azt már a 4.2. pontban már kijelentettük, nem más, mint az a teljesítmény, amelyet a váltakozó áram tulajdonképpen fogyasztóinknak le tud adni, és gépeink fel tudnak használni munkavégzésre stb.

c.) Reaktív (meddő) teljesítmény

A 4.2. pontban már említettük a reaktív teljesítmény fogalmát, melyet Q-val jelölünk, VAR-ban (volt-amper reaktív) mérünk és definíció szerint összefüggéssel adunk meg. Vizsgáljuk meg ezt az előző pontokban bevezetett mennyiségeket használva.

c.1) sorosan kapcsolt fogyasztók: figyelembe véve, hogy és (17. ábra), a reaktív teljesítményt az alábbi összefüggésekkel határozhatjuk meg:

c.2) párhuzamosan kapcsolt fogyasztók: figyelembe véve, hogy és (19. ábra), a reaktív teljesítményt az alábbi összefüggésekkel határozhatjuk meg:

A (4.61) és (4.62) összefüggések szerint az aktív teljesítményt úgy sorosan, mint párhuzamosan kapcsolt fogyasztók esetében reaktív fogyasztók veszik fel. Mivel , általános esetben is (vagyis vegyes kapcsolások esetében) a reaktív teljesítményt megadhatjuk, mint:

A továbbiakban megadjuk a meddő teljesítmény fizikai jelentését. Ehhez tekintsünk egy soros RLC áramkört, melyben a reaktív elemek teljes reaktív ellenállása . A 3. pont értelmében a meddő teljesítményt a következőképpen adhatjuk meg.

Vizsgáljuk meg a (4.64) összefüggés zárójelében szereplő tagokat.

A fenti összefüggések értelmében (4.64) azt jelenti, hogy a reaktív teljesítmény nem más, mint az áramkörben található tekercsek és kondenzátorok mágneses illetve elektromos tereiben felhalmozott energia különbségével arányos mennyiség. A fogyasztók ezt az energiakülönbséget juttatják vissza az elektromos hálózatba hasznos munkavégzés nélkül.

d.) Látszólagos teljesítmény

A fenti teljesítményeken kívül definiálnunk kell egy harmadik teljesítmény jellegű mennyiséget, amelyet látszólagos teljesítménynek nevezünk. A látszólagos teljesítményt -el jelöljük, tulajdonképpeni mértékegysége megegyezik az aktív teljesítményével, azonban a nemzetközi mértékrendszerben foganatosított mértékegysége a Volt-Amper (VA), definíció szerint pedig megegyezik az effektív áram és feszültség szorzatával.

Ha megfigyeljük az aktív- és a reaktív teljesítmények kifejezéseit észrevehetjük, hogy ez utóbbi kettő négyzeteinek összege éppen a látszólagos teljesítményt adja meg:

Nagyon fontos, hogy az áramköröket és a fogyasztókat a látszólagos teljesítményre méretezzük, hiszen a generátoroknak az effektív feszültséget kell előállítani, az áramkörben pedig az effektív áram kell folyjon. Ha a látszólagos teljesítmény alá vagy fölé méretezzük az áramkört, akkor megtörténhet, hogy átütések (elektromos szikrák) vagy éppen megolvadhatnak a huzalok. Mivel a huzalok melegedése energiaveszteséget jelent, gazdasági okokból arra kell törekedni, hogy az aktív és a látszólagos teljesítmények aránya minél nagyobb legyen. Ez az arány nem más, mint a teljesítménytényező (), melynek maximális értéke ideális esetben 1 lehet, gyakorlatban a cél minél jobban megközelíteni az 1-et (bővebben a 7. pontban).

5. Komplex látszólagos teljesítmény

Definíció szerint a komplex látszólagos teljesítményt az effektív feszültség és az effektív áram komplex konjugáltjának szorzata adja meg,

Ahol a komplex teljesítmény valós része nem más, mint az aktív teljesítmény, a látszólagos része pedig a reaktív teljesítmény. Mivel komplex mennyiségről van szó, a komplex teljesítményt ábrázolhatjuk fazorként is (23. ábra).

23. ábra

6. A komplex, aktív és meddő teljesítmények megmaradása.

Egy elszigetelt több-hurkos áramkörben lévő áramköri elemekre kiszámítva a komplex teljesítményeket azt tapasztaljuk, hogy a komplex teljesítmények összege nulla, amely nem más, mint a komplex teljesítmény megmaradásának tétele.

Szétválasztva a (4.68) összefüggésben a komplex részt a valóstól, azt kapjuk, hogy a úgy az aktív, mint a reaktív teljesítmények összege nulla, tehát mindegyik megmaradó mennyiség.

7. Maximális teljesítmény átvitelének tétele

Tekintsük a 24. ábrán látható áramkört, amelyben található egy váltakozó áramú generátor, melynek belső impedanciája , valamint egy fogyasztó, melynek impedanciája  . Az áramkörben kialakuló áram:

A fogyasztón megjelenő aktív teljesítmény:

A reaktív ellenállások szempontjából a fenti összefüggés akkor válik maximálissá, amikor , tehát . Ez azt jelenti, hogy a fogyasztó reaktív ellenállása ugyanakkora kell legyen, mint a generátor belső reaktív ellenállása, de ellentétes fáziseltolást kell létrehozzon. Ez azt jelenti, hogy amennyiben a generátor belső reaktív ellenállása induktív, ahhoz, hogy maximális aktív teljesítményt nyerhessünk a fogyasztón, a fogyasztó reaktív ellenállása kapacitív kell legyen.

24. ábra

7. A teljesítménytényező javítása.

Az aktív teljesítményt a összefüggés adja meg. Ennek megfelelően az aktív teljesítmény akkor növelhető, ha a teljesítménytényezőt megnöveljük. Maximális akkor lehet , ekkor az áramköri impedancia ellenállásként viselkedik, minimális pedig akkor lehet ha , ilyenkor az áramköri impedancia reaktív jellegű és az áramkörnek csak meddő teljesítménye van. Számunkra a hasznosítható aktív teljesítmény fontos, így annak növelése az érdekünk. A meddő teljesítmény csökkentését vonja maga után a teljesítménytényező javítása, amely a veszteségek csökkentését is jelenti. Pl. egy gyárban, ahol sok az induktív fogyasztó (villanymotorok), ún. fázisjavító kondenzátorokat kell elhelyezni a teljesítménytényező javítása érdekében. Ugyanez a helyzet a transzformátorok esetében is.