Az egyfázisú váltakozó áram komplex tárgyalása

1. Komplex szám, komplex számsík

Elõzõ tanulmányokból a komplex számok és a velük kapcsolatos alapvetõ mûveletek már ismertek, azonban a könnyebb eligazodás kedvéért ezen bevezetõ részben összefoglaljuk ezeket. A 13. ábrán a komplex számsík látható.

13. ábra

Egy komplex szám megadható a (4.22) összefüggésekkel:

ahol, , a komplex szám valós része, a komplex szám képzetes (imaginárius) része, a komplex szám modulusza és a fázisa. A fázis (fázisszög), elõjellel rendelkezõ mennyiség, vonatkoztatása a pozitív valós tengelyhez történi, irányítása megegyezik a trigonometriai iránnyal (a 13. ábrán látható fázis pozitív). A (4.22) összefüggés jobb oldalát az Euler-képlettel kifejthetjük és kapjuk a következõ összefüggést,

tehát a komplex szám valós része () és az imaginárius része () is megadható a modulusza és a fázisa függvényében.

Az alábbiakban felsorolunk néhány tulajdonságot és mûveletet:

- a komplex szám konjugáltja: ,

- komplex számok összeadása: ,

- komplex számok kivonása: ,

- komplex számok szorzása: ,

- komplex szám négyzete: a komplex számnak saját konjugáltjával való szorzását jelenti: ,

- komplex számok osztása: komplex szám 727c25h ok osztásánál a számlálót és a nevezõt is szorozzuk a nevezõ komplex konjugáltjával és addig alakítjuk az összefüggést, amíg megfelelõ alakra hozzuk:

.

2. Komplex feszültség és komplex áram. Fazorok

A komplex számok használata nagyon elõnyös a váltakozó áram és a váltakozó áramú áramkörök tárgyalásnál, mivel a komplex számokkal nagyon könnyen lehet kezelni az olyan mennyiségeket, amelyek nincsenek fázisban egymással.

Amint azt az 1.6. pontban már bemutattuk, a váltakozó áramot/feszültséget idõben szinusz vagy koszinusz függvénnyel írhatjuk le. A két függvény között mindössze -es fáziskülönbség van. A komplex tárgyalásmód formális jellegû, természetesen az áramkörökben nem keringnek komplex áramok és az áramköri elemek sarkain nem komplex feszültségek jelennek, meg, azonban formálisan áttérhetünk ilyen mennyiségekre, amelyek számításainkat megkönnyítik, majd a kívánt eredmény elérése után visszatérünk a valós idõbeli lírásra. Tekintsünk egy az 1.6.1. pontban lévõ lírásnál használt szinuszos pillanatnyi értékkel rendelkezõ feszültséget, . Definíció szerint a komplex pillanatnyi feszültséget a következõ összefüggéssel határozzuk meg: . Ebbõl az összefüggésbõl a visszatérést a valós idõbeli leíráshoz a következõ (Euler-képletre alapuló) összefüggés biztosítja:

Hasonlóképpen definiálhatjuk az áramkörben folyó komplex áramot is. Legyen az áram pillanatnyi értéke (általában nincs fázisban a feszültséggel), tehát a komplex pillanatnyi érték .

A fentiekben definiált komplex mennyiségeknél néhány pontosítást kell tennünk. A komplex pillanatnyi értékek felírhatók egy idõtõl független tag, melyet komplex amplitúdónak nevezünk, és egy idõtõl függõ tag szorzataként. Pl. a pillanatnyi komplex feszültség: . Itt az mennyiség a komplex amplitúdó, melyet az összefüggés definiál.

A komplex mennyiségeket gyûjtõnéven fazoroknak nevezzük és 13. ábrának megfelelõen a komplex számsíkban ábrázoljuk. Példaként ábrázoljuk a fentiekben bevezetett komplex pillanatnyi feszültséget és áramot, feltételezve, hogy feszültség siet az áramhoz képest, tehát .

14. ábra

A 14. ábrának megfelelõen a komplex pillanatnyi feszültség és áram olyan fazorok, amelyek a szögsebességgel forognak és egymáshoz képest a fáziskülönbségük állandó, értékkel rendelkezik. Ugyanígy ábrázolhatjuk a komplex amplitúdókat is, melyek a komplex számsíkban állandó helyzetben vannak. Természetesen a valós mennyiségekhez hasonlóan a komplex mennyiségeknél is definiálhatjuk az effektív értékeket. Pl. a feszültség komplex effektív értéke .

3. Komplex impedancia. Ohm-törvénye komplex alakban

A komplex alakban felírt feszültség és áram között az eddigiekben már megismert Ohm-törvény a továbbiakban is érvényes marad. A feszültség és az áram aránya megadja az illetõ áramköri elem komplex látszólagos ellenállását, más néven impedanciáját, melyet a (4.24) összefüggéssel definiálunk.

ahol, a valós impedancia és az impedancia fázisszög.

A (4.24) összefüggésben látszik, hogy a komplex impedancia magába foglalja az áramköri elem látszólagos ellenállást (impedanciáját) és a feszültség és az áram között kialakuló fáziseltolást is. Ahhoz, hogy egy összetett váltakozó áramú áramkört tanulmányozhassunk, elsõdlegesen szükségünk van az egyszerû váltakozó áramú ellenállások komplex ellenállásainak ismeretére. A továbbiakban ezeket határozzuk meg, figyelembe véve a 2.3. pontban leírt ismereteket. A (4.24) összefüggést átírhatjuk a következõ alakba is:

ahol, a hatásos ellenállás és a reaktív ellenállás (reaktancia), és .

a.) Ellenállás

Megállapítottuk, hogy az ohmos ellenállás nem okoz fáziskülönbséget a feszültség és az áram között, így a (4.24) összefüggésben lévõ fáziseltolás értéke ellenállás esetére , tehát,

ami azt jelenti, hogy az ellenállás komplex impedanciája nem más, mint a valós ellenállása.

b.) Tekercs

Megállapítottuk, hogy egy ideális tekercsen a feszültség -vel siet fázisban az áramhoz képest, így a (4.24) összefüggésben lévõ fáziseltolás értéke , tehát,

c.) Kondenzátor

Megállapítottuk, hogy egy ideális tekercsen a feszültség -vel késik fázisban az áramhoz képest, így a (4.24) összefüggésben lévõ fáziseltolás értéke , tehát,

4. Komplex admittancia

A komplex impedancia fordított értékét komplex admittanciának nevezzük és a (4.29) összefüggéssel definiáljuk,  

ahol, a valós admittancia és az admittancia fázisszög, a valós vezetés (konduktancia) és a látszólagos vezetés (szuszceptancia), és .

a.) Ellenállás

A (4.29) összefüggésben az ellenállás admittancia fáziskülönbség , tehát

ami azt jelenti, hogy az ellenállás komplex admittanciája nem más, mint a vezetõképessége. 

b.) Tekercs

Tekercs esetében az admittancia fáziskülönbség , így (4.29)-ból a tekercs komplex admittanciája,

c.) Kondenzátor

Kondenzátor esetében az admittancia fáziskülönbség , így (4.29)-ból a kondenzátor komplex admittanciája,

5. Váltakozó áramú hálózatszámítási alaptörvények. Az áramkörök megoldásához szükséges Kirchhoff-törvények felírásának módja

Az elõzõ pontokban azt láttuk, hogy miként alkalmazzuk az Ohm-törvényt a váltakozó áramú ellenállásokra. Az összetett áramköröket a váltakozó áramú ellenállások és a váltakozó áramú áramforrások különbözõ kapcsolásaival állítjuk össze. Átírva a mennyiségeket komplex alakba, ugyanúgy alkalmazhatjuk a Kirchhoff-törvényeket, mint az egyenáramú áramkörök esetében. A különbség talán csak annyi, hogy a váltakozó áramú áramkörökben a Kirchhoff-törvényeket felírhatjuk a mennyiségek komplex pillanatnyi értékeire, amplitúdóira vagy effektív értékeire is.

- Ohm-törvény:

- I. Kirchhoff-törvény:

- II. Kirchhoff-törvény:

Hasonlóan az egyenáramú áramkörökhöz, a váltakozó áramú ellenállásokra is érvényesek a már megismert kapcsolási szabályok:

- soros kapcsolás:

- párhuzamos kapcsolás:

Megjegyezzük, hogy a csillag-delta illetve delta-csillag átalakítások az egyenáramú áramköröknél leírt módon, komplex mennyiséggel alkalmazhatók.

6. Áramkörök megoldási módszerei

A váltakozó áramú áramkörök megoldásához ugyanazokat a módszereket alkalmazhatjuk, amelyeket az egyenáramú áramköröknél már megismertünk (Kirchhoff-törvények, szuperpozíció elv, Thèvenin-tétel, Norton-tétel stb.). A különbség az egyenletekben szereplõ mennyiségek megfelelõ felírásában jelentkezik, mivel minden mennyiséget át kell írni komplex alakba, majd alkalmazunk valamilyen módszert az áramkör megoldására, majd a kapott komplex eredményeket vissza kell írjuk idõben szinuszosan vagy koszinuszosan változó alakba.

Megjegyzés: minden ellenállás, amely az egyenáramú áramköröknél szerepelt a különbözõ egyenletekben, a váltóáramú áramköröknél a megfelelõ impedanciákkal helyettesítendõ!

7. Soros RLC áramkör. Fazorábra. Feszültségrezonancia

Tekintsük a 15. ábrán látható soros RLC áramkört, amelyben egy pillanatnyi értékkel rendelkezõ váltakozó áramú áramforrás található. Ennek hatására az áramkörben pillanatnyi erõsségû áram folyik. Ahhoz, hogy ezt az áramot a komplex számok módszerével meghatározhassuk, elõször meg kell határozzuk a feszültség komplex pillanatnyi értékét: . Innen meghatározhatjuk a komplex effektív értéket: . A továbbiakban használhatjuk az áramkör megoldásához a komplex pillanatnyi vagy effektív értéket, vagy a komplex amplitúdót is. A 16. ábrán a komplex effektív értéket tüntettük fel.

15. ábra

16. ábra

Ezek után a váltakozó áramú ellenállásokat kell átírni komplex alakba, melyet a 16. ábrán tüntettünk fel. Az áramkörre a huroktörvényt a komplex mennyiségekkel a következõ alakban írhatjuk fel:

A (4.38) összefüggésben szereplõ komplex impedanciát () felírhattuk volna a komplex ellenállások soros kapcsolásából származó eredõ impedancia segítségével is:

Figyelembe véve a 2.2. pont fáziseltolásokra vonatkozó eredményeit, illetve a komplex számoknak komplex számsíkban való ábrázolására vonatkozó szabályokat, megrajzolhatjuk a soros RLC áramkör fazorábráit (17.a-b ábrák).

Megjegyzés: Az ábrázolt esetben azt feltételeztük, hogy az áramkör induktív jellegû, ami azt jelenti, hogy a feszültség siet az áramhoz képest. Ha a tekercsen lévõ feszültség abszolút értéke kisebb, mint a kondenzátoron megjelenõ feszültség, az áramkör kapacitív és a feszültség késik az áramhoz képest, a fázisszög negatív. Ha viszont a két feszültség abszolút értékei egyenlõk, a fázisszög nulla és az áram fázisban van a feszültséggel. Ezt az állapotot rezonanciának nevezzük (soros RLC áramkörben egészen pontosan feszültségrezonanciának).

Az 17.a ábrán az áramköri elemeken megjelenõ feszültségeket, illetve az áramot tüntettük fel, figyelembe véve, hogy az ellenálláson nincs fáziskülönbség, a tekercsen siet -vel a feszültség az áramhoz képest (komplex alakban ez -vel való szorzást jelent), míg a kondenzátoron késik -vel a feszültség az áramhoz képest (komplex alakban ez -vel való szorzást jelent). Ugyanezt végeztük el a 17.a ábrán a komplex impedanciákkal.

a. b.

17. ábra

Elvégezve a mûveleteket a komplex számokkal, az a. esetben megkapjuk az áramforrás sarkain lévõ feszültség komplex effektív értékét, a b. esetben pedig a komplex impedanciát. Észrevehetõ az ábrákon (melyet a (4.38-4.39) összefüggések igazolnak), hogy mindegyik esetben az eredõ komplex szám fázisban -vel siet a valós tengelyen felmért mennyiségekhez képest (a. esetben az áramhoz, b. esetben az ohmos ellenállás valós értéke).

Vegyük egy kicsit a komplex impedanciát szemügyre. Felírhatjuk a valós impedanciát úgy, mint

és a feszültség és áram között kialakuló fázisszöget, mint

Rezonancia esetén () , vagyis (4.41)-bõl , tehát az impedancia valóssá válik és egyenlõ az áramkör teljes ohmos ellenállásával, . A fenti feltételbõl meg lehet határozni azt a frekvencia értéket (vagy adott frekvencia esetében azt a tekercs induktivitást vagy kondenzátor kapacitást), amelynél rezonancia lép fel az áramkörben. A frekvencia értékét megadó összefüggést Thomson-képletnek nevezzük.

Az áramkörben folyó áram valós effektív értéke megadható, mint

amely rezonancia esetén maximális értéket vesz fel.

Megjegyzés: rezonancia esetében, az áramköri paraméterek értékétõl függõen megtörténhet, hogy a tekercsen és kondenzátoron nagyobb feszültség jelenjen meg, mint a tápfeszültség, amely rezonancia esetén megegyezik az ellenálláson megjelenõ feszültséggel.

A váltakozó áramú áramkörök esetében szokás megadni az áramkör jósági tényezõjét, amely nem más, mint rezonancia esetén, a tekercs (vagy kondenzátor) sarkain megjelenõ feszültség és a tápfeszültség aránya:

8. Párhuzamos RLC áramkör. Fazorábra. Áramrezonancia

Tekintsük a 18. ábrán látható párhuzamos RLC áramkört, amelyben egy pillanatnyi értékkel rendelkezõ váltakozó áramú áramforrás található. Ennek hatására az áramkör fõágában pillanatnyi erõsségû áram folyik. Ahhoz, hogy ezt az áramot a komplex számok módszerével meghatározhassuk, elõször meg kell határozzuk a feszültség komplex pillanatnyi értékét: . Innen meghatározhatjuk a komplex effektív értéket: . A továbbiakban használhatjuk az áramkör megoldásához a komplex pillanatnyi vagy effektív értéket, vagy a komplex amplitúdót is. A 18. ábrán a komplex effektív értéket tüntettük fel.

a.                                                        b.

18. ábra

Ezek után a váltakozó áramú ellenállásokat kell átírni komplex alakba, melyet a 19. ábrán tüntettünk fel (párhuzamosan kapcsolt váltakozó áramú ellenállások elõnyösebb az admittanciák használata!) Az áramkörre a csomóponttörvényt a komplex mennyiségekkel a következõ alakban írhatjuk fel:

A (4.46) összefüggésben szereplõ komplex impedanciát () felírhattuk volna a komplex ellenállások párhuzamos kapcsolásából származó eredõ impedancia segítségével is:

Figyelembe véve a 2.2. pont fáziseltolásokra vonatkozó eredményeit, illetve a komplex számoknak komplex számsíkban való ábrázolására vonatkozó szabályokat, megrajzolhatjuk a párhuzamos RLC áramkör fazorábráit (19.a-b ábrák).

Megjegyzés: Az ábrázolt esetben azt feltételeztük, hogy az áramkör induktív jellegû, az admittancia fázisszög pozitív. Ha az admittancia fázisszög nulla, az áramkörben rezonancia lép fel (párhuzamos RLC áramkörben egészen pontosan áramrezonanciának). 

Az 19.a ábrán az áramköri ágakban folyó áramokat, illetve az áramforrás feszültségét tüntettük fel, figyelembe véve, hogy az ellenálláson nincs fáziskülönbség, a tekercsen késik -vel az áram a feszültséghez képest (komplex, míg a kondenzátoron siet -vel az áram a feszültséghez képest. Ugyanezt végeztük el a 19.b ábrán a komplex admittanciákkal.

a.  b.

19.a ábra

Elvégezve a mûveleteket a komplex számokkal, az a. esetben megkapjuk az áramkör fõágában folyó áram erõsségének effektív értékét, a b. esetben pedig a komplex admittanciát. Észrevehetõ az ábrákon (melyet a (4.46-4.47) összefüggések igazolnak), hogy mindegyik esetben az eredõ komplex szám fázisban -al siet a valós tengelyen felmért mennyiségekhez képest (a. esetben a feszültséghez, b. esetben a vezetõképesség).

Vegyük egy kicsit a komplex impedanciát szemügyre. Felírhatjuk a valós impedanciát úgy, mint

és a feszültség és áram között kialakuló fázisszöget, mint

Rezonancia esetén () , vagyis (4.49)-bõl , tehát az admittancia valóssá válik és egyenlõ az áramkör valós vezetõképességével, . A fenti feltételbõl következik, hogy a párhuzamos RLC áramkörben ugyanolyan feltételek mellett teljesül a rezonancia, mint a soros RLC áramkör esetében, illetve ugyanúgy definiálható a jósági tényezõ is.