A mechanikai munka atvitele valtozó sebességü üzem mellett

A mechanikai munka átvitele változó sebességü üzem mellett

Az eddigiek során a gép egyenletes sebességü üzemével foglalkoztunk, azaz mindig egyensúlyban lévö erörendszer munkáját vizsgáltuk. Vízszintes p 323g63d ályán történö vontatás esetén tehát a kocsit mozgató erö éppen egyensúlyt tartott a pályaellenállással (lásd 1.13. ábra). Ezt az egyenletes sebességü állapotot mindig megelözi az indítás szakasza, amikor a sebesség változik (növekszik). Az egyenletes sebességü állapotot követi a fékezés, megállás szakasza, amikor a sebesség csökken. Természetesen nemcsak az fordulhat elö, hogy a gépet azonnal az üzemi sebességre gyorsítjuk, hanem valamely közbülsö állapot elérését is célul tüzhetjük ki, továbbá nem biztos, hogy a megállásig lassítjuk, valamely kisebb üzemi sebesség elérése is lehet a fékezés célja. Ezen szándékolt sebességváltozásokon kívül elöadódhatnak a gép üzemének sajátosságaiból adódóan rendszeres vagy rendszertelen terhelésingadozások, melyek a gép változó sebességü üzemét eredményezik.

Tágabb értelemben minden terhelésváltozás együtt jár az üzemi sebesség kisebb-nagyobb mértékü növekedésével vagy csökkenésével.

1.3.1. A gyorsítóerö munkája, a mozgási energia

Az 1.40. ábrán egy vízszintes pályán vontatott kocsit szemléltetünk, melyre a haladás irányába az F erö, a haladás irányával ellentétesen pedig az F_g pályaellenállás hat.

Ekkor nyilván felírható az F erö:

F= F_g+ F_gy,

az F erö egyik komponense kiegyensúlyozza a pályaellenállást, a fennmaradó rész pedig Newton 2. törvénye értelmében gyorsítja a kocsit:

F_gy = ma      (N),

Meghatározható tehát a kocsi gyorsulása, ha ismert a kocsi tömege.

Vajon mennyi a végzett munka az úton ha a kocsi sebessége a vizsgált szakasz elején v₀ (m/s), a végén pedig v(m/s)? A végzett munka definíciószerüen:

W= F s    (Nm) = (J),

ha az 1.40. ábra jelöléseit tekintjük. Mivel F eröket részre bontható, így a munka is két részre bomlik:

W = W_g + W_gy

ahol W_g a pályaellenállás munkáját fedezi, W_gy pedig a gyorsítóerö munkáját. A pályaellenállás munkája:

W_g = F_g s (J),

súrlódási hövé alakul. Az F_g a korábban ismertetett módon meghatározható, az s út az 1.1.1. fejezetben tárgyalt kinematikai összefüggések szerint:

     (m)       és ,

mely utóbbiból:

, (m)

így

, (m)

ahol Dv a sebességváltozás, a pedig a gyorsulás, melyet Newton 2. törvénye szerint számíthatunk.

A gyorsítóerö munkája:

,

behelyettesítve ide F_gy és s már ismert összefüggéseit:

,

Ezt az egyenletet a Dv = v-v₀ helyettesítéssel felírva és a lehetséges egyszerüsítéseket elvégezve:    

,

Tehát eredményünket úgy fogalmazhatjuk , hogy a gyorsítóerö munkája nem más, mint a kocsi mozgási energiájának megváltoztatása.

Erre az eredményre eljuthattunk volna a következö gondolatmenet alapján is.

A gyorsítóerö munkájának eredményeképpen a sebesség megváltozott . A mozgás vízszintes pályán történt. Az energia megmaradás törvényét szem elött tartása mellett egyetlen következménye lehet ennek a munkának: a mozgási energia megváltozása.

Tehát:

,

Gondolatmenetünk minden további nélkül általánosítható bármely pályára. A számítás során mindössze egyetlen dologra kell ügyelnünk, mégpedig a gyorsítóerö meghatározására. Nyomatékosan felhívjuk a figyelmet arra , hogy a gyorsítóerö soha nem tévesztendö össze a mozgató erövel. A gyorsítóerö mindig az az "erötöbblet", ami a pályamenti erök egyensúlyának felírása után "megmarad", tehát csupán egy része a

1.41.ábra mozgató erönek (lásd 1.41. ábra).

Az energia megmaradás törvényének felhasználásával további következtetéseket tehetünk. Teljesen általános alakú pályán (melynek hossza: s) végzett bármilyen gyorsítás (vagy lassítás) esetén az összes végzett munka nyilván három részböl tevödik össze (1.42.ábra)

A W_g a pálya ellenállási munka, ez függ az úttól és csak szakaszonként számítható ki, hiszen a pályaellenállás vízszintes pályán és lejtös pályán más és más értékü, még akkor is, ha mg állandó. Ez a munkamennyiség hövé alakul és a környezetnek adódik át.

Az , a mozgási energia megváltozása, ami a gyorsítóerö munkájával egyenlö és csupán a kezdeti és végpontban érvényes sebességek ismerete szükséges a kiszámításához (lényeges elöny, hogy a gyorsítóerö és a gyorsulás változásától nem függ).

Az , a helyzeti energia megváltozása, hiszen a kocsi h magasságra történö ellenében felemeléséhez is munkát kell végeznünk , mégpedig a súlyerö. Az út hosszától, a sebesség és a gyorsulás változásától természetesen ez sem függ, csak és kizárólag a szintkülönbségtöl.

Mindezekkel természetesen egyáltalán nincs ellentétben az a megjegyzésünk, hogy a kocsit hajtó gép szempontjából nem biztos. hogy elegendö csak a kezdö- és a végpont vizsgálata, ugyanis ez csalóka eredményt adhat, ha a vizsgált szakaszon gyorsulás miatt lassulás is történt, ill. elöbb egy dombra kúszott fel a kocsi, majd újra leereszkedett. Fenti egyenletünk a munkák elöjeles összegét eredményezi, tehát a mozgási szakasz részletes vizsgálat. nélkül messzemenö következtetéseket belöle levonni nem szabad.

1.3.2. A jármü menetábrái az indulástól a megállásig

A jármü menetábrái a jármü sebességének, a jármüre ható eröknek, valamint ezen erök teljesítményének változását szemléltetik az idö függvényében. Az indulástól a megállásig eltelt idö három jól elválasztható részre oszlik: indítási idö, az egyenletes sebességü haladási idö, és a megállás , vagy fékezés ideje, . A teljes menetidö alapjában véve ezen idök összege:

Elöször vizsgáljuk meg a sebességet egy önkényesen felvett esetben, melynél a jármü egyenletesen (v. közel egyenletesen ) növekvö sebességgel éri el üzemi egyenletes sebességét majd az egyenletes üzem után sebessége egyenletesen (vagy szakaszonként egyenletesen) csökken a teljes megállásig (1.43. ábra). Az indítás ideje alatt tehát a sebesség egyenletesen nö azaz:

.

ami nem más , mint a gyorsulás, tehát ezen a szakaszon az ábra egy ferde egyenest mutat, melynek meredekségét éppen a gyorsulás határozza meg:

,

A következö szakaszon a sebesség állandó, tehát vízszintes egyenes következik a menetábrában:

azaz gyorsulás nincs.

A megállás vagy fékezés ebben az esetben két részre oszlik:

-- t_f1 ideig szabad - kifutás,

-- t_f2 ideig müködik a fékberendezés.

A szabadkifutás jellemzöje, hogy a jármüre csak egyetlen erö , a gördülési ellenállás hat és ez az erö lassítja a jármüvet:

(N),

Mivel a G súly helyébe írhatjuk, hogy:

  (N),

így:

(N),

azaz a szabadkifutás lassulása éppen a gördülési ellenállási tényezö g-szerese.

Ez általában igen kis érték, tehát ilyen módon a jármü csak igen hosszú idö alatt lenne megállítható, arról nem is beszélve, hogy a meghatározott helyen történö megállás alig lehetséges. Éppen ezért szükséges a fékberendezés , melynek segítségével a jármü viszonylag rövid idö alatt megállítható. Ennek következtében a idö alatt már nemcsak a gördülési ellenállás, hanem azon kívül még egy fékerö is hat, tehát a lassulása nagyobb , mint a szabadkifutás során. Ezt mutatja az egyenes meredekebb esése.

Az ábrából megállapítható, hogy:

,

a szabadkifutás lassulása, valamint:

a fékezés megállás lassulása.

Mint láttuk, a meglehetösen egyszerü sebesség-idö menetábrából egyúttal a gyorsulások is kiolvashatóak, ami egyáltalán nem meglepö, ha visszaemlékezünk a jegyzet elején a kinematikai összefoglalóban leírtakra, miszerint a gyorsulás a sebességnek az idö szerinti deriváltja, a derivált pedig geometriailag mint a görbéhez húzható érintö iránytangense szemlélhetö:

.

Emlékezzünk azonban arra is, hogy a sebesség viszont az útnak idö szerinti deriváltja:

.

ebböl pedig rögtön következik, hogy:

.

Mivel az integrál értéke geometriailag a görbének az integrálás határai által kijelölt szakasza alatti területe, így tehát sebesség-idö menetábránkból meghatározhatók az egyes szakaszokon megtett utak, mindössze a megfelelö területeket kell kiszámítani:

                           

Természetesen a teljes mozgási idö alatt megtett út:

Most kövessük nyomon a jármüre ható erök változását.

Az erök két részre oszlanak:

- gördülési ellenállás

- a vontatóerö és a fékszerkezet fékereje A gördülési ellenállásról tudjuk, hogy a sebesség változásától nem függ, értéke pedig:

.

Tehát az 1.44. ábra szerinti képet mutatja, bármilyen szakaszokból álló mozgásra. Egyetlen feltétel állandósága.

Az indítási szakaszon a vontatóerö szükségképpen nagyobb a gördülési ellenállásnál:

hiszen csak így lehetséges, hogy a kocsi gyorsul. A gyorsítóerö pedig:

ugyanis a gyorsulás állandóságát már korábban is feltételeztük. Az egyenletes sebességü üzem alatt

hiszen gyorsulás nincsen.

A t_f1 ideig szabadkifutás történik, s mint mondottuk, ilyenkor a jármüre csak a gördülö ellenállás hat, azaz:

A fékszerkezet müködtetésekor egy negatív, tehát mozgást akadályozó erö jelentkezik (F_f), azonban vegyük figyelembe, hogy ez az erö F_g-vel azonos irányú , tehát az összes lassító

erö:

,

és ez a lassító erö hozza létre az a f₂ lassulást:

(N),

Az elmondottakat az 1.44. ábrán szemléltetjük.

Mint az elözöekben elmondottakból kitünik, feltétlenül szükséges egyidejüleg vizsgálni a gördülö ellenállást, a vontatóeröt és a fékeröt ahhoz, hogy helyes következményeket vonhassunk le a jármü mozgására vonatkozólag ezt teszi lehetövé ha az erökre felrajzolt két ábrát egyetlen koordinátarendszerben rajzoljuk fel (1.44.c ábra).

Az erök ábrájának felrajzolása azért fontos a számunkra , hogy egyszerüen megszerkeszthessük a bennünket legjobban érdeklö menetábrát, melyben a teljesítmények változását ábrázoljuk az idö függvényében. Az ábra megrajzolását a következö összefüggés alapján.

(W)

mely minden idöpillanatban igaz.

Ilyen módon elöször a gördülési ellenállás. teljesítményének alakulását rajzoltuk fel 1.45.a ábrában. Mint látható ez az ábra alakra hasonlít a sebesség-idö menetábrához, ami nem meglepö, hiszen F_g = áll. így a sebességgel alkotott szorzataként kapott teljesítmény a sebességhez hasonló módon változik.

Teljesen hasonló elvek alapján megszerkeszthetö a motor vonóerejének és a fékezöerö

teljesítményének változása. A metszékenkénti szorzással felrajzolt ábrát mutatja az 1.45.b ábra. Természetesen a gördülési ellenállás teljesítménye negatív ( F_g és v mindenkor ellentétesek egymással), tehát a gördülési ellenállás által elfogyasztott teljesítményröl beszéltünk. A vontatóerö teljesítménye, mivel F_v és v egymással azonos irányúak, mindig pozitív. A fékerö teljesítménye a gördülési ellenállás teljesítményéhez hasonlóan (azonos okokból) negatív. Már láthatjuk , hogy itt is elengedhetetlenül fontos a két teljesítményábra együttes vizsgálata, aminek elvégzéséhez a két ábrát közös koordináta rendszerben rajzoljuk meg (1.45.c ábra).

További vizsgálataink elvégzéséhez vegyük alaposan szemügyre a

(N),

összefüggésünket. Mivel a v sebesség mindenkor az út idö szerinti deriváltja, tehát:

,

ahonnan:             ,

tehát:

. (J),

ami azt jelenti, hogy a felrajzolt teljesítmény-idö diagram görbéje alatti terület az adott szakaszon elvégzett munkát szemlélteti.

Az 1.45.a és az 1.45.b ábrának ennek megfelelöen a gördülési ellenállás munkáját jelzö területet - ,a vonóerö munkáját mutató területet, a fékerö munkáját mutató területe negatív jellel jelöltük meg.

A közös koordináta rendszerben felrajzolt két diagramot szemlélve az tapasztaljuk, hogy az indítási szakaszon munkaterület jelentkezik, a megállási szakaszon negatív munkaterület van.

A ferdén vonalkázott terület azt mutatja, hogy a vonóerö munkájának egy része fedezi a gördülési ellenállás munkáját. Ha mindezeket alaposan megfontoljuk, észrevehetjük, hogy a mostani eredményeink korábbi megállapításainkkal teljes összhangban vannak. Nyilvánvaló ugyanis, hogy az indulási és egyenletes sebességü haladás szakaszának gördülési ellenállása miatt keletkezö súrlódási hönek megfelelö mechanikai munkát el kell végezni. Az indulási szakaszon jelentkezö munka egyetlen dologra fordítódhat , a mozgási energia növelésére. Ez azt jelenti, hogy a terület a mozgási energiával egyenlö, s ez , mint tudjuk nem más, mint a gyorsítóerö munkája:

Az egyenlet helyessége könnyen belátható, ha és értékeket helyettesítjük be.

Az egyenletes sebességü üzem során tehát a gördülési ellenállás munkája és a vonóerö munkája éppen egyenlö. Ebböl persze az is következik , hogy ezen a szakaszon a jármü összes mozgási energiája változatlan, egészen a fékezés szakasz megkezdéséig. mivel a teljes megálláskor a mozgási energia zérussá válik, így ez azt jelenti, hogy az ezen a szakaszon elvégzett munkák összege - az 1.45.c ábrán negatívval megjelölt szakasz - egyenlö a jármü mozgási energiájával, tehát következésképpen a -al megjelölt területtel.

Az említett negatívval megjelölt területtel szemléltetett munka súrlódási hövé alakul, részben a kerekek és az út között (t tengely feletti terület), részben pedig a fékszerkezetben (t tengely alatti terület).

Felhívjuk a figyelmet befejezésül a teljesítmény-idö menetábrában látható kiugróteljesítmény csúcsokra. A fékezés területén jelentkezö teljesítménycsúcs nagysága a jármü vontatóerejét nem terheli, nagysága attól függ, milyen nagy fékeröt alkalmazunk az adott sebességröl történö megállásra. Az indítási szakasz befejeztekor jelentkezö teljesítménycsúcs, mely az üzemi teljesítmény többszörösére is adódhat, a meghajtó erögép szempontjából igen kedvezötlen. Nem beszélve arról , hogy a meghajtógépet erre a maximális teljesítményre kell tervezni.

Feltétlenül szükséges tehát ennek a teljesítménycsúcsnak a letompítása. Ennek egyik lehetséges módja az indítási idö megnövelése. Külön magyarázat nélkül is érthetö , hogy így kisebb teljesítménycsúcs adódik. Természetesen ez a módszer nem alkalmas mindenhol, sok esetben éppen azért nem, mert meghatározott idö alatt kell elérni az üzemi sebességet.

A gyakorlatban nem is nagyon használják az egyfokozatú indítást, hanem inkább a többfokozatú, szakaszonként áll., de egyre kisebb gyorsulással indítanak. A többfokozatú indítás következménye a kiugró teljesítménycsúcs szintén letompul , ami azt jelenti, hogy kisebb telj. lehet a jármüvet hajtó motor. Mindezek mellett a gyorsítási idö sem növekszik meg mértéktelenül. Ezzel itt nem foglalkozunk részletesebben, még arra kívánjuk felhívni a figyelmet, hogy az indítási mód a meghajtómotornak a függvénye. Másként kell indítani villamosmotorral meghajtott jármüvet, másként egy belsöégésü motorral meghajtottat, és másként egy göz- v. gázturbina indításút.

1.3.3. A forgó tömeg mozgási energiája, a gyorsító nyomaték munkája

A gépek többsége a mechanikai munkát forgó mozgás során szolgáltatja, viszi át és használja fel. Fontos tehát megvizsgálnunk, hogy a forgó mozgást végzö gépelem mozgási energiája hogyan számítható. A forgó tömeg hatását és szerepét egy R sugarú gyürün tanulmányozhatjuk a legegyszerübben (1.46. ábra).

A gyürü szélességi mérete (x) az R sugár mellett legyen elhanyagolhatóan kicsi. Így a v kerületi sebesség az w szögsebességgel forgó gyürü minden tömegpontjára azonos:

v = R w (m/s),

Tehát a gyürü mozgási energiája - az egyenes vonalú mozgást végzö test mozgási energiájához hasonlóan- ahová a v sebesség helyébe Rw-t helyettesítve:

(N),

A két összefüggés összehasonlítása során arra a következtetésre juthatunk , hogy a v sebesség szerepét az w szögsebesség vette át, és az m tömeg helyébe az mR szorzat lépett. Ezt az mR szorzat lépett be. Ezt az mR szorzatot a forgó tömeg másodrendü vagy tehetetlenségi nyomatékának nevezzük, így a vizsgált gyürüre a tehetetlenségi nyomaték:

(kgm),

Ezzel a forgó gyürü mozgási energiája:

(J),

azaz a szögsebesség négyzetével arányos és annál nagyobb, minél nagyobb a Q tehetetlenségi nyomaték.

Ahhoz, hogy eredményünket ne csak egy vékony, nagy átméröjü gyürüre alkalmazhassuk, fel kell oldanunk ezt a kikötést. Az említett kikötés elhagyása esetén az w szögsebesség tekintetében nem kell semmiféle változtatást sem végeznünk, hiszen a szögsebesség bármilyen alakú, formájú forgó mozgást végzö test minden pontjára jellemzö érték és azonos. Más a helyzet a tehetetlenségi nyomaték esetében. Egy meghatározott méretü, véges kiterjedésü test (pl: egy korong ) esetében nem mondhatjuk, hogy a tömege a forgásközépponttól R távolságban van, hiszen a tömege kiterjedésén belül egyenletesen oszlik el. Ennek következtében minden dm tömegelemére ki kell számítani az: szorzatot, ami az illetö tömegelem elemi tehetetlenségi nyomatéka, és ezeket kell összegezni a teljes tömegre, hogy a test tehetetlenségi nyomatékát kapjuk:

     (kgm),

Mindez persze nem változtat a

         (J),

összefüggésen, csak arra hívja fel a figyelmet hogy a tehetetlenségi nyomaték meghatározásánál körültekintöen kell eljárni.

A tehetetlenségi nyomaték meghatározása tehát mindenkor egy integrálási müvelet végeredményeként kapható. A forgó mozgást végzö gépelemek oly sokfélék, alakjuk sokszor olyan bonyolult, hogy ez az integrálás egyáltalán nem, vagy csak jelentös elhanyagolások mellett végezhetö el. Éppen ezért a leggyakrabban elöforduló gépelemek tehetetlenségi nyomatékait a gépészeti v. müszaki zsebkönyvekben megtalálhatóak.

A tehetetlenségi nyomatékkal kapcsolatban érdemes megjegyezni: egyáltalán nem lehet megmondani, hogy pl. a korong tehetetlenségi nyomatéka . A meghatározáshoz hozzá tartozik, hogy a közepén átmenö, síkjára meröleges tengelyre vonatkoztatva. Minden más tengelyre más a tehetetlenségi nyomaték értéke. Ez egyenesen következik a tehetetlenségi nyomaték definiáló egyenletéböl:

amiben benne van , hogy ugyanazon tömegelem tehetetlenségi nyomatéka a forgástengely elhelyezkedésétöl függöen más és más. Így tehát:

értéke is függ a tengely elhelyezkedésétöl.

A tehetetlenségi nyomatékkal kapcsolatban két fontos törvényt jegyezzünk meg, melyeket itt bizonyítás nélkül közlünk:

1. Egy test tehetetlenségi nyomatékai közül a súlyponton átmenö tengelyre számított     tehetetlenségi nyomaték a legkisebb.( Ált. ezt tartalmazzák a táblázatok).

2. Ha ismerjük a súlypontra számított tehetetlenségi nyomatékot, bármely más-- azzal párhuzamos -- tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték megkapható úgy , hogy a súlyponti tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékhoz hozzáadjuk a test tömegének és a két tengely távolsága négyzetének szorzatát:

,

ahol - a súlyponti tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték,

m- a test tömege,

t - a két tengely távolsága.(Ez a Steiner-tétel.)

Ezek után vizsgáljuk meg a bevezetöben említett gyürü felgyorsításának folyamatát (1.46. ábra).

A gyürüre valamelyik kerületi erö hat, aminek a hatására állandó kerületi gyorsulás jön létre. Tehát Newton 2. törvénye alapján:

(N),

hiszen a gyürüminden pontjának kerületi gyorsulása azonos

Az 1.1.2.2. fejezetben leírtak szerint:

(),

ahol e a szöggyorsulás.

Ezzel a helyettesítéssel:

    (N),

Ha az egyenlet mindkét oldalát kettövel megszorozzuk, a bal oldalon az F_k R szorzat a gyürüre ható nyomatékot jelenti, ami a gyorsuló mozgást létrehozza:

(mN),

Az mR² szorzat már az elözöekböl ismerös, a gyürü tehetetlenségi nyomatéka tehát:

         (mN),

azaz a gyorsító nyomaték a tehetetlenségi nyomaték és a szöggyorsulás szorzata. Ha most a tehetetlenségi nyomatékot teljesen általánosan fogjuk fel, azaz:

(kgm),

akkor az összefüggésünk is teljesen általánossá válik.

Érdemes felfigyelni a most felirt összefüggés és Newton 2. törvénye közötti analógiára. Erö helyett nyomaték , tömeg helyett tehetetlenségi nyomaték, gyorsulás helyett szöggyorsulás írandó, tehát a felirt összefüggés nem más mint Newton 2. törvénye forgó mozgás esetére.

A felirt összefüggés alkalmas a tehetetlenségi nyomaték kísérleti úton történö meghatározására. Adott nyomatékkal gyorsítunk egy forgó gépelemet, mérjük ill. számítjuk a létrejött szöggyorsulást az

összefüggésnek megfelelöen. Ezek ismeretében az ismeretlen tehetetlenségi nyomaték meghatározható.

Vizsgáljuk meg most azt , hogy mennyi munkát kellett végeznünk a gyürü felgyorsításához. A már jól ismert definiáló egyenletböl kiindulva , az elemi munka esetünkben:

ds helyébe az elemi ívhosszat írva, ami mentén F_k a munkát végzi:

így az elemi munka:                   (N),

A nyomatékról tudjuk, hogy:                             (mN),

tehát behelyettesítve:                             (J),

Összefüggésünk tovább egyszerüsíthetö, ha felhasználjuk, hogy:

és .

Ezekkel a lehetséges egyszerüsítések után:

(J),

Az összefüggés már egyszerüen integrálható, hiszen a tehetetlenségi nyomaték a szögsebességtöl független, s így az integrálás jele elé kiemelhetö, aminek az eredménye így:

.

Tehát a gyürü (vagy általánosítva, valamely Q tehetetlenségü forgó gépelem) felgyorsításához szükséges munka egyenlö a forgó gépelem mozgási energiájával.

Ha alaposabban belegondolunk levezetésünk eredményébe, megállapíthatjuk hogy az cseppet sem meglepö, söt elöre várható volt. Hiszen mi másra fordítható a gyorsítás során végzett munka, mint a mozgási energia növelésére.

1.3.4. Több tömegü rendszer mozgási energiája

A gépek és a jármüvek mozgási energiájának szabatosabb meghatározása szükségessé teszi a haladó és forgó mozgás együttes vizsgálatát A munkaképességek összegezhetöségének elve (szuperpozíció) rendkívül egyszerüvé teszi az eljárást. Vizsgáljunk meg egy mozgócsigát, mely emelkedése közben forog. Ha emelkedési sebessége v, szögsebessége w, úgy teljes mozgási energiája.

Összefüggésünk egyszerübben kezelhetövé válik, ha bevezetjük a redukált tömeg fogalmát, a következö definiáló egyenlet szerint:

(kgm)

ami azt jelenti, hogy a gépelem tehetetlenségi nyomatéka (az aktuális-tengelyre) egyenlö egy tömegü R sugáron elhelyezkedö tömeg-pont tehetetlenségi nyomatékával. Mivel biztosak lehetünk afelöl, hogy a redukált tömeg kifejezhetö a tényleges tömeg valahány szorosaként, írható

= l × m     (kg)

ahol l pozitív szám. Az összes mozgási energia ezzel a helyettesítéssel

(J)

mert R = v a kerületi sebesség.

Ez azt jelenti, hogy pl. a jármü forgó gépelemei nemcsak tömegükkel járulnak hozzá a jármü mozgási energiájához, hanem ezen felül forgó mozgásuk energiájával megnövelik azt. Gondolatmenetünk általánosítható bármely összetett szerkezetre, melynek egyes elemei csak haladó, vagy haladó és forgó mozgást végeznek. A gépelemek közé iktatott áttételek miatt persze már nem beszélhetünk egyetlen sebességröl, de írható

Természetesen minél bonyolultabb gépröl van szó, annál munkaigényesebb a feladat megoldása, így az esetek többségében meg kell elégednünk a láthatóan nagy tehetetlenségi nyomatékú, vagy nagy szögsebességü gépelemek hatásának vizsgálatával, a többit pedig többé kevésbé elhanyagolhatónak tekintjük.

Még annyit kívánunk itt megjegyezni, hogy adott esetben az áttételek figyelembevételével - a gép valamennyi tömege egyetlen redukált tömeggel is helyettesíthetö. A módszer alkalmazását az 1.47. ábra kapcsán tekinthetjük át röviden. Az emelkedö teher mozgási energiája.

(J)

A mozgócsiga tömegét tekintsük elhanyagolhatóan kicsinek.

A forgódob mozgási energiája:

(J)

A motor tengelyének mozgási energiája

(J)

Az egyéb gépelemek hatásától eltekintünk! Az összes mozgási energia:

Korábbi ismereteink szerint a dob kerületi sebessége:

(

Tehát helyébe

     (

írható.

Mivel:

    (

a fenti összefüggéssel egybevetve

     (

Az eredményeket behelyettesítve és az összefüggést rendezve

Ha          és

akkor a mozgási energia

     (J)

A zárójelben lévö három tag összege nem más, mint a forgó tömegeknek a teher súlypontjába redukált értéke, hiszen csak a teher emelkedési sebessége szerepel a mozgási energia összefüggésében.

Így                     (J)

ahol

     (kg)

Ezt a végsö redukciót az áttételek négyzetével kell elvégezni.

1.3.5. A munkasebesség egyenlötlensége, a lendítökerék

A gép járásának egyenletességét a hajtóerö és az ellenállás egyensúlya biztosítja. Ez korábbi megállapításaink teljes általánosításának felel meg. Forgó mozgást végzö gép egyenletes üzeme (a szögsebesség) állandósága csak úgy biztosítható, ha a hajtó nyomaték (M_h) és az ellenállás nyomatéka (M_f) (súrlódás és a terhelés együttes hatása) egyensúlyt tart. Ha ez az egyensúly valamilyen okból felborul, úgy a gépelem gyorsulni, ill. lassulni fog, ugyanis:

M_h - M_f = M

gyorsító vagy lassító nyomaték keletkezik . Ez a nyomaték - mint már tudjuk - valamilyen szöggyorsulást idéz elö,

   

ahol Q a forgó gépelem tehetetlenségi nyomatéka. A szöggyorsulás hatására a szögsebesség változni fog. A gép járása sohasem tökéletesen egyenletes. Ez ugyanis azt jelentené, hogy a teljes üzemidö alatt - leszámítva az indulás és leállítás szakaszát - a hajtóerö és az ellenállások egyensúlyban vannak. A valóságban a gép járása egyenlötlen, ütemesen ingadozik. Ez két okból adódik:

- vagy a hajtógép (erögép) alapvetöen egyenlötlen járású és a terhelés idöben állandó (pl. dugattyús motorok)

- vagy a terhelés ingadozik ütemesen, és az erögép egyenletes járású (pl. villanymotor).

Az eredmény mindkét esetben a gép egyenlötlen járása. Az egyenlötlen járás miatt a szögsebesség valamely maximális és minimális érték között ingadozik. Hogy a gép járása mennyire egyenlötlen, annak jellemzéseként az egyenlötlenségi fokot használjuk, mely megmutatja, hogy a szögsebesség ingadozásának nagysága hogyan viszonylik a közepes értékhez képest.

ahol a közepes szögsebességen

(

értjük.

Ezen egyenlötlenségi fok még megengedhetö értékét szokták elöírni adott gép esetén. Természetesen esete válogatja, hogy milyen fokú egyenlötlenség viselhetö még el. Igen egyenletes járásúnak kell pl. egy szövögépnek vagy fonógépnek, ugyanakkor még nagyfokú egyenlötlenség is elviselhetö pl. egy örlögépben. A gép járásának egyenletessé tétele azon felismerésen alapszik, hogy minél nagyobbak a gyorsítandó tömegek, adott munkafelesleg esetén annál kisebb gyorsulásokat eredményez, így a sebességingadozás is csökken.

Nincs tehát más feladatunk, mint a nem kellöen egyenletes járású gép alkalmas tengelyére egy megfelelö nagy tömegü, helyesebben nagy tehetetlenségi nyomatékú kereket elhelyezni. Ezt a kereket vagy korongot lendítökeréknek nevezzük. Szerepe, hogy a jelentkezö hajtóerö-felesleget elraktározza, miközben szögsebessége és mozgási energiája csökken.

A lendítökerék szögsebessége és között ingadozik, az általa elraktározott mozgási energia maximálisan.

(J)

Az egyenlet átalakítása után

     (J)

Tudjuk, hogy     

valamint                       

ezekkel   (J)

Ebben az összefüggésben a lendítökerék tehetetlenségi nyomatéka, a kívánatos közepes szögsebesség, pedig az adott gépre megengedett egyenlötlenségi fok. Ha W értékét, tehát az elraktározandó munka (energia) mennyiségét meg tudjuk határozni, úgy a lendítökerék értéke számítható.

A W értékét oly módon határozhatjuk meg, hogy megvizsgáljuk a gép üzemét lendítökerék nélkül. Ekkor azt tapasztaljuk, hogy a munkafeleslegek és munkahiányok jelentkeznek. Nyilvánvaló, hogy a lendítökeréknek - éppen feladata miatt - a legnagyobb jelentkezö különbségei (abszolút értékben) kell elraktároznia.

Tehát:

A lendítökerekek tömegének legnagyobb részét a kerületen helyezik el, így célszerüen kisméretü kerék esetén is nagy tehetetlenségi nyomatékhoz jutunk. Ebböl következöen azonban nem jelent túlságosan nagy hibát, ha feltesszük, hogy

(

ahol m a kerék koszorújának tömege, R pedig a kerék sugara. Ezzel a közelítéssel a lendítökerék méretezésére alkalmas összefüggés:

(J)

Innen pedig célszerüen már csak a lendítökerék koszorújában elhelyezendö tömeg határolandó meg.

Az említett elhanyagolással a helyzeten biztosan nem rontottunk, ugyanis az elkészülö lendítökerék tehetetlenségi nyomatéka biztosan nagyobb lesz, mint az általunk feltételezett - miáltal a gép járása még egyenletesebb lesz.