Számrendszerek

Az adatokat a számítógépes környezetben digitális, ezen belül bináris kódokkal ábrázoljuk. A bináris kód két jelet használ. Ezek a jelek a gépen természetesen valamilyen fizikai mennyiség, pl. a feszült­ség két, meghatározott értékeké 939d31j nt jelennek meg, például 0 V és 5 V, de a továbbiakban a 0 és az 1 jeleket fogjuk használni a kódoláshoz. Néha kellemetlen lehet, hogy a bináris kódok hosszúak. Rövidítésükre a 16-os számrendszer jeleit használhatjuk a következőképpen:

Számrendszer:  2 16 10

Kódok: 0000 0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

16 10

8 8

9 9

A 10

B 11

C 12

D 13

E 14

F 15

A helyértékes számrendszerek kódolási szabályai szerint egy 'B' alapú számrendszernek B db jele van amelyek egy-egy [0;B-1] intervallumba eső számot kódolnak. Ha a jelek halmaza , ahol aⁱ⁾ az i szám kódjele, akkor a jelhalmazból alkotott a_na_n-1...a₁a₀  jelsorozat az

a_n* Bⁿ+a_n-1*B^n-1 +... +a₂*B²+a₁*B¹+a₀*B⁰  

szám kódja.

Ha egy 10-es számrendszerben kódolt szám 2-es számrendszerbeli alakját keressük, akkor a kódot úgy kapjuk meg, hogy a számot osztjuk maradékosan 2-vel, a maradékot leírjuk, és a kapott hánya­dost osztjuk tovább 2-vel addig amíg az 0 nem lesz. Ekkor a maradékok visszafelé történő összeol­vasásával kapjuk a kódot.

pl.: A 123 kódja: 123 ₂ = 123|2

61|1

30|1

5|0

7|1

3|1

1|1

0|1

----------

Tehát a kód:1111011_2. A fenti algoritmus minden más, nem kettes számrendszerre való átalakításkor is hasonlóan működik.

Visszaalakítás:

Az 1111011₂ szám értéke a számrendszertől természetesen független, így

1*2⁶+1*2⁵+1*2⁴+1*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰=64+32+16+8+0+2+1=123₁₀

A fenti átalakítási szabályok természetesen más alapú számrendszerekre is alkalmazhatók.

Egyszerűbb a számrendszerek (számkódok) közöti átalakítás, ha az alapok egymás egész hatványai. például a 2-es és a tizenhatos(hexadecimális) kódok közötti átalakítás:

111|0110|1110|1000|1011₂₌ 76E8B₁₆.

Ilyenkor jobbról-balranégyes csoportokat képezünk a kettes alakból, ameddig lehet, majd a leg­bal­ol­dalibb csoportot is kiegészítjük vezető nullákkal, ha az négynél kevesebb bitet tartalmazna. Ezután minden négyes bitcsoportot egy-egy tizenhatos jellel helyettesítve magkapjuk a hexadecimális kódot.

A visszaalakítás ugyanilyen egyszerű:

A032B₁₆=1010|0000|0011|0010|1011₂.

Tehát jobbról-balra a tizenhatos kód minden egyes jelét a neki megfelelő kettes kóddal kell helyettesí­teni.

Ha pedig például a kettes és a nyolcas kódrendszerek között kellene az átalakítást elvégezni, akkor a négyes bitsorozatok helyett hármasakat kellene használni, a módszer egyébként ugyanaz.

A fenti algoritmusok egész számokra működnek. Egy kissé más módszerrel lehet a nullánál kisebb helyértékes számkódok közötti konverziót elvégezni. Bizonyítás nélkül :

2*0,35= 0,70 | 0

2*0,70= 1,40 | 1

2*0,40= 0,80 | 0

2*0,80= 1,60 | 1

2*0,60= 1,20 | 1

2*0,20= 0,40 | 0

2*0,40= 0,80 | 0

így a kód kettes számrendszerben: 0,35₁₀=0,010110...₂.

Kettesről tizesre:

A kettes alakban az utolsó nény bit végtelenül ismétlődik. Az algoritmusok matematikai ismeretek birto­kában könnyen bizonyíthatóan jól működnek más számrendszerek esetében is.