Megoldasi módszerek

Megoldási módszerek

A feladatok megoldási módszerei típusonként különböznek. Mégis vannak a megoldás útjaiban közös részek, bizonyos módszerbeli hasonlóságok. A végsõ cél minden esetben az ún. "mûködési összefüggés", amely a rendszer irányításához (illetve tervezéséhez, fejlesztéséhez) feltétlenül szükséges. Valamennyi esetben szükség van az egyértelmûségi feltételek rögzítésére, a jól megszervezett kísérletekre, és a kapott megoldás értékelésére.

A feladatmegoldások egyik, de nem egyetlen módja a kísérlet. Valójában - miként arra még rámutatunk - a matematikai és a kísérleti módszerek együttesével tudunk c 727b15h sak összetett feladatokat megoldani.

Általánosságban a feladatmegoldások lehetséges típusa: az analitikus, a numerikus és a kísérleti módszer.

Analitikus módszer

A feladatmegoldás legkevésbé költséges módja az analitikus módszer. Alkalmazásának feltétele "mindössze" az, hogy ismerjük a rendszer matematikai modelljét, és létezzen ennek zárt formában elõállított megoldása az adott egyértelmûségi feltételek mellett. A matematikailag egzakt megoldás annyira lesz adekvát a rendszer viselkedésével, amennyire adekvát volt a felírt matematikai modell.

Feladattípusok megoldási folyamata

Ezek szerint magától értetõdõnek látszik, hogy az analitikus megoldást tekintsük az "optimális" módszernek. A legtöbb rendszer azonban annyira bonyolult, hogy a felírt matematikai modell közvetlenül nem integrálható, vagy csak olyan egyszerûsítésekkel, amelyek - miatt megfelelõ kísérleti tapasztalatok nélkül - a megoldást már nem tekinthetjük megbízhatónak. Ennek ellenére feltétlenül szükséges ismernünk matematikai modellünk lehetséges integráljait, mivel ezek adják az egyéb megoldási módszerek alkalmazásának alapját. Csak az elõzetes matematikai elemzés adhat támpontot ahhoz, hogy (a kísérleti megoldás során) milyen empirikus függvénytípust keressünk a függõ és független változók közötti kapcsolatra.

A megoldási módszerek folyamatábrája direkt feladattípus esetén

Összefoglalva az analitikus megoldás legfontosabb lépései (tevékenységei):

a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása,
a matematikai modell megalkotása,
a matematikai modell transzformációja (ill. egyszerûsítése) megoldásra alkalmas formára,
a megoldás egymás utáni lépéseinek (algoritmusának) rögzítése,
a matematikai modell megoldását jelentõ összefüggések meghatározása,
a megoldás ellenõrzése.

Numerikus módszer

Ezek olyan eljárások, amelyek során a rendszer matematikai modelljét numerikus számításokkal oldjuk meg. A módszer lényege, hogy a differenciálást vagy az integrálást algebrai összefüggésekkel helyettesítjük, és az ezekkel végzett mûveletek eredményeképpen kapjuk a megoldást. Ehhez az szükséges, hogy a folytonos változók terét a diszkrét változók terére képezzük le. (Így pl. differenciálhányadosok helyett differenciahányadosokkal, integrál helyett lépcsõs görbe alatti területtel számolunk.)

A numerikus megoldás megbízhatósága természetesen függ a matematikai modell megbízhatóságától. A számítási eredmény pontossága pedig attól függ, hogy milyen sûrû osztást vettünk fel. Minél kisebb intervallumokkal dolgozunk, annál több függvényértékkel számolunk, és ezzel csökkenthetjük a diszkretizálásból eredõ hibát. Ugyanakkor azonban növeljük a számítások mennyiségét, amivel megnõ a számítások ideje és költsége is.

Lényeges változást csak a számítógépek elterjedése hozott, különösen azóta, amióta a RAM a személyi számítógépeknél megabyte, a professzionális számítógépeknél gigabyte nagyságrendû, és másodpercenként több millió mûveletet képesek elvégezni.

Összefoglalva a numerikus megoldás legfontosabb lépései (tevékenységei):

a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása,
a matematikai modell megalkotása,
a matematikai modell átalakítása numerikus megoldásra alkalmas formára (diszkretizálás),
a megoldás egymás utáni lépéseinek (algoritmusának) rögzítése, a blokkséma összeállítása,
a számítási modell megoldását adó program megírása, és annak futtatása,
a megoldás ellenõrzése.

Kísérleti megoldás

Ezek olyan eljárások, amelyek során mérésekkel kapunk információt a rendszer viselkedésérõl. Ne feledjük azonban, hogy a mérés önmagában még nem kísérlet. (A kísérlet - mindig! - elõzetes elméleti megfontolás után kialakított elgondolás, hipotézis mérésekkel való ellenõrzése.)

A kísérlet is megoldási módszer. Feladata: a rendszer bemenõ jellemzõi, állapota és kimenõ jellemzõi közötti kapcsolat, vagy e kapcsolat egyes paramétereinek meghatározása. Ilyen értelemben funkciója megegyezik az analitikus és a numerikus módszerek funkciójával. Van azonban egy lényeges sajátossága a kísérleti megoldásnak. Az analitikus és a numerikus megoldások eredménye pontszerû: a független változó meghatározott értékeihez a függõ változó meghatározott értékeit egyértelmûen rendeli hozzá. Ezzel szemben a kísérleti megoldás eredménye (a kísérletek során elkerülhetetlenül bekövetkezõ hibák, a sztochasztikus hatások miatt) foltszerû: a független változó meghatározott értékeihez a független változó valamilyen sávját rendeli. Ezt szem elõtt kell tartani mind a kísérletek elõkészítése, mind a mérési adatok értékelése során.

A kísérleti tevékenység fõbb területei:

megfigyelés,
kutatás-fejlesztés,
rutinvizsgálatok és
bemutatás-szemléltetés.

Az egyszerû megfigyelésnél az ember a tõle függetlenül végbemenõ folyamatokat regisztrálja. (Szigorúan véve ez nem is tekinthetõ kísérletnek.)

A modellezés célja

A modellezés nyomai fellelhetõk már az ókorban is. Amennyire a régészeti leletekbõl meg tudjuk ítélni, a kezdeti modellek elsõsorban szemléltetési vagy kultikus célokat szolgáltak. Ilyennek tekinthetjük a barlangrajzokat, egyes használati eszközök (pl. szekerek) kicsinyített mását, sírokban talált szobrokat stb. Valószínûleg ismeretszerzési szerepe is lehetett egyes geometriai, csillagászati modelleknek.

Az újkori történelemben tulajdonképpen Galileitõl számíthatjuk az elméletileg is megalapozott modellezés kialakulását. Századunkig azonban a modellezést elsõsorban hidrodinamikai, egyszerûbb hõvezetési és mechanikai feladatok megoldásánál használták fel. Mindaddig, amíg a hasonlósági módszert matematikailag szabatos formában nem dolgozták ki, az összetett, bonyolult feladatok megoldására a modellezést nem lehetett használni.

A hasonlósági módszer alapján kialakított modellezés lehetõvé teszi nemcsak a méretarányok változtatását, de az eredetitõl eltérõ munkaközeg felhasználását, sõt egyik jelenségcsoport helyettesítését egy másikkal. Így pl. lehetséges a gázáramlás tanulmányozása vízmodellen, diffúziós folyamat vizsgálata hõmérsékleti inhomogenitás hatására fellépõ energiaárammal, bonyolult aerodinamikai vagy mechanikai rezgési feladatok megoldása elektromos hálómodellen, és í. t.