Megoldasi módszerek

Megoldási módszerek

A feladatok megoldási módszerei típusonként különböznek. Mégis vannak a megoldás útjaiban közös részek, bizonyos módszerbeli hasonlóságok. A végső cél minden esetben az ún. "működési összefüggés", amely a rendszer irányításához (illetve tervezéséhez, fejlesztéséhez) feltétlenül szükséges. Valamennyi esetben szükség van az egyértelműségi feltételek rögzítésére, a jól megszervezett kísérletekre, és a kapott megoldás értékelésére.

A feladatmegoldások egyik, de nem egyetlen módja a kísérlet. Valójában - miként arra még rámutatunk - a matematikai és a kísérleti módszerek együttesével tudunk c 727b15h sak összetett feladatokat megoldani.

Általánosságban a feladatmegoldások lehetséges típusa: az analitikus, a numerikus és a kísérleti módszer.

Analitikus módszer

A feladatmegoldás legkevésbé költséges módja az analitikus módszer. Alkalmazásának feltétele "mindössze" az, hogy ismerjük a rendszer matematikai modelljét, és létezzen ennek zárt formában előállított megoldása az adott egyértelműségi feltételek mellett. A matematikailag egzakt megoldás annyira lesz adekvát a rendszer viselkedésével, amennyire adekvát volt a felírt matematikai modell.

Feladattípusok megoldási folyamata

Ezek szerint magától értetődőnek látszik, hogy az analitikus megoldást tekintsük az "optimális" módszernek. A legtöbb rendszer azonban annyira bonyolult, hogy a felírt matematikai modell közvetlenül nem integrálható, vagy csak olyan egyszerűsítésekkel, amelyek - miatt megfelelő kísérleti tapasztalatok nélkül - a megoldást már nem tekinthetjük megbízhatónak. Ennek ellenére feltétlenül szükséges ismernünk matematikai modellünk lehetséges integráljait, mivel ezek adják az egyéb megoldási módszerek alkalmazásának alapját. Csak az előzetes matematikai elemzés adhat támpontot ahhoz, hogy (a kísérleti megoldás során) milyen empirikus függvénytípust keressünk a függő és független változók közötti kapcsolatra.

A megoldási módszerek folyamatábrája direkt feladattípus esetén

Összefoglalva az analitikus megoldás legfontosabb lépései (tevékenységei):

a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása,
a matematikai modell megalkotása,
a matematikai modell transzformációja (ill. egyszerűsítése) megoldásra alkalmas formára,
a megoldás egymás utáni lépéseinek (algoritmusának) rögzítése,
a matematikai modell megoldását jelentő összefüggések meghatározása,
a megoldás ellenőrzése.

Numerikus módszer

Ezek olyan eljárások, amelyek során a rendszer matematikai modelljét numerikus számításokkal oldjuk meg. A módszer lényege, hogy a differenciálást vagy az integrálást algebrai összefüggésekkel helyettesítjük, és az ezekkel végzett műveletek eredményeképpen kapjuk a megoldást. Ehhez az szükséges, hogy a folytonos változók terét a diszkrét változók terére képezzük le. (Így pl. differenciálhányadosok helyett differenciahányadosokkal, integrál helyett lépcsős görbe alatti területtel számolunk.)

A numerikus megoldás megbízhatósága természetesen függ a matematikai modell megbízhatóságától. A számítási eredmény pontossága pedig attól függ, hogy milyen sűrű osztást vettünk fel. Minél kisebb intervallumokkal dolgozunk, annál több függvényértékkel számolunk, és ezzel csökkenthetjük a diszkretizálásból eredő hibát. Ugyanakkor azonban növeljük a számítások mennyiségét, amivel megnő a számítások ideje és költsége is.

Lényeges változást csak a számítógépek elterjedése hozott, különösen azóta, amióta a RAM a személyi számítógépeknél megabyte, a professzionális számítógépeknél gigabyte nagyságrendű, és másodpercenként több millió műveletet képesek elvégezni.

Összefoglalva a numerikus megoldás legfontosabb lépései (tevékenységei):

a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása,
a matematikai modell megalkotása,
a matematikai modell átalakítása numerikus megoldásra alkalmas formára (diszkretizálás),
a megoldás egymás utáni lépéseinek (algoritmusának) rögzítése, a blokkséma összeállítása,
a számítási modell megoldását adó program megírása, és annak futtatása,
a megoldás ellenőrzése.

Kísérleti megoldás

Ezek olyan eljárások, amelyek során mérésekkel kapunk információt a rendszer viselkedéséről. Ne feledjük azonban, hogy a mérés önmagában még nem kísérlet. (A kísérlet - mindig! - előzetes elméleti megfontolás után kialakított elgondolás, hipotézis mérésekkel való ellenőrzése.)

A kísérlet is megoldási módszer. Feladata: a rendszer bemenő jellemzői, állapota és kimenő jellemzői közötti kapcsolat, vagy e kapcsolat egyes paramétereinek meghatározása. Ilyen értelemben funkciója megegyezik az analitikus és a numerikus módszerek funkciójával. Van azonban egy lényeges sajátossága a kísérleti megoldásnak. Az analitikus és a numerikus megoldások eredménye pontszerű: a független változó meghatározott értékeihez a függő változó meghatározott értékeit egyértelműen rendeli hozzá. Ezzel szemben a kísérleti megoldás eredménye (a kísérletek során elkerülhetetlenül bekövetkező hibák, a sztochasztikus hatások miatt) foltszerű: a független változó meghatározott értékeihez a független változó valamilyen sávját rendeli. Ezt szem előtt kell tartani mind a kísérletek előkészítése, mind a mérési adatok értékelése során.

A kísérleti tevékenység főbb területei:

megfigyelés,
kutatás-fejlesztés,
rutinvizsgálatok és
bemutatás-szemléltetés.

Az egyszerű megfigyelésnél az ember a tőle függetlenül végbemenő folyamatokat regisztrálja. (Szigorúan véve ez nem is tekinthető kísérletnek.)

A modellezés célja

A modellezés nyomai fellelhetők már az ókorban is. Amennyire a régészeti leletekből meg tudjuk ítélni, a kezdeti modellek elsősorban szemléltetési vagy kultikus célokat szolgáltak. Ilyennek tekinthetjük a barlangrajzokat, egyes használati eszközök (pl. szekerek) kicsinyített mását, sírokban talált szobrokat stb. Valószínűleg ismeretszerzési szerepe is lehetett egyes geometriai, csillagászati modelleknek.

Az újkori történelemben tulajdonképpen Galileitől számíthatjuk az elméletileg is megalapozott modellezés kialakulását. Századunkig azonban a modellezést elsősorban hidrodinamikai, egyszerűbb hővezetési és mechanikai feladatok megoldásánál használták fel. Mindaddig, amíg a hasonlósági módszert matematikailag szabatos formában nem dolgozták ki, az összetett, bonyolult feladatok megoldására a modellezést nem lehetett használni.

A hasonlósági módszer alapján kialakított modellezés lehetővé teszi nemcsak a méretarányok változtatását, de az eredetitől eltérő munkaközeg felhasználását, sőt egyik jelenségcsoport helyettesítését egy másikkal. Így pl. lehetséges a gázáramlás tanulmányozása vízmodellen, diffúziós folyamat vizsgálata hőmérsékleti inhomogenitás hatására fellépő energiaárammal, bonyolult aerodinamikai vagy mechanikai rezgési feladatok megoldása elektromos hálómodellen, és í. t.