Végtelen szamsorozatok és sorok, azok tulajdonsagai. A konvergencia fogalma. Nevezetes hatarértékek

Végtelen számsorozatok és sorok, azok tulajdonságai.
A konvergencia fogalma. Nevezetes határértékek

I. Végtelen számsorozatok és sorok, azok tulajdonságai.

Legyen A véges vagy végtelen számhalmaz, N legyen természetes számokból álló halmaz. Ha N egyértelműen leképezhető az 353e41d A halmazra, azaz N minden eleméhez hozzárendeljük valamely , akkor az A halmaz elemei számsorozatot alkotnak. a hozzárendelt elem. A sorozat szokásos jelölése: , pedig a sorozat elemeit jelöljük. Ha N véges, a sorozatot végesnek, ellenesetben a sorozatot végtelennek nevezzük.

Monoton sorozatok:
monoton növekvő, ha
monoton csökkenő, ha
szigorúan monoton növekvő, ha
szigorúan monoton csökkenő, ha

Egy sorozat korlátos, ha    
egy sorozat felülről korlátos, ha
egy sorozat alulról korlátos, ha
a felső korlátok közül a legkisebb: felső határ,
az alsó korlátok közül a legnagyobb: alsó határ.
Megjegyzés: korlátos sorozat nem feltétlenül monoton, monoton sorozat nem feltétlenül korlátos

Tekintsük most az
(ahol szám)
végtelen tagú összeget, más szóval végtelen numerikus sort.
Jelöljük:





ezzel kölcsönösen egyértelműen megfeleltettük egymásnak az
végtelen numerikus sort és az végtelen számsorozatot. Ezért a számsorozatokra érvényes tulajdonságok érvényesek lesznek numerikus sorokra is, hiszen a tulajdonságokat mindig át tudjuk fogalmazni numerikus sorokra a fenti megfeleltetés alapján.

Egy sorozat torlódási helye (pontja) olyan szám, amelynek környezetében a számsorozatnak végtelen sok eleme található

IV. A konvergencia fogalma. Nevezetes határértékek

Ha a végtelen számsorozatnak csak egy torlódási helye (pontja) van, akkor azt a sorozat határértékének nevezzük,
jele: és egy ilyen sorozatot konvergensnek nevezünk.

Egy sorozatnak azt a tulajdonságát, hogy konvergens az alábbi két, egymással egyenértékű definícióval adjuk meg

Def: Az sorozat konvergens, ha létezik olyan A szám, hogy bármely -hoz megadható olyan küszöbszám, hogy , mihelyst .

Def: Az sorozat konvergens, ha létezik olyan A szám, hogy A bármely környezetébe a sorozatnak véges sok eleme kivételével minden eleme beletartozik.

Néhány fontos tétel:
monoton növekvő (csökkenő) felülről (alulról) korlátos sorozat konvergens;

ha

,

akkor

,

,

;

ha



akkor

Néhány nevezetes határérték:

,

,
,
,
,

Példák:

Legyen adott az sorozat a következő módon: ha .
Ekkor: , , stb. azaz a sorozat minden tagja pozitív.

Monotonitás vizsgálata:

Ez utóbbi kifejezés minden értékre negatív, hiszen számlálójában csupa negatív szám áll, nevezője pedig két pozitív szám szorzata. Azt kaptuk tehát, hogy minden értékre , azaz minden értékre . Ez pedig azt jelenti, hogy a vizsgált sorozat szigorúan monoton csökkenő. Viszont láttuk, hogy a sorozat minden tagja pozitív, tehát monoton csökkenő, alulról korlátos sorozattal állunk szemben, ami a korábban elhangzott tétel szerint a sorozat konvergens voltát jelenti. Vizsgáljuk meg a határértéket:





Azt a tényt, hogy a sorozat nullához tart, sejteni lehet néhány első tagjának megvizsgálásával is (a nevező gyorsabban nő, mint a számláló), és be lehet látni a definíció alapján is:







Ez a tört pozitív, ha számlálója pozitív, azaz:

Ez pedig igaz, ha n nagyobb, mint

egész része. Lássuk most mennyi lesz a küszöbindex, ha , azaz a sorozatnak hány db. tagja marad határértéke sugarú környezetén kívül. Ekkor:



azaz



Ez utóbbi teljesül, ha n nagyobb, mint



Tehát a sorozat küszöbindexe 50, azaz az


de



A sorozat első 50 db. tagja marad határértéke sugarú környezetén kívül.