Matematika A1 vizsga elméleti kérdések

Matematika A1 vizsga elméleti kérdések

Definíciók

1. Peano-axiómák

A természetes számok halmazát (N) a Peano-axiómák segítségével definiáljuk.

1. r az N-nek N-re történõ bijektív leképezése

2. A 0 nem eleme az r értékkészletének ()

3. ha és és esetén , akkor

A rákövetk 121j97b ezés-függvény :

; 

2. Komplex számok n-edik gyökének meghatározása, áttérés algebrai alakról trigonometrikus alakra.

Komplex számok n-edik gyökének meghatározása trigonometrikus alakban célszerû. Az algebrai alak: , a trigonometrikus alak: .

Az áttérést algebrai alakról trigonometrikus alakra a Moivre-formulák segítségével végezzük:

; ;

Komplex szám n-edik gyökének meghatározása:

, ahol ;

A gyökök a komplex számsíkon egy origó középpontú, sugarú körbe írt szabályos n-oldalú sokszög csúcsaiban helyezkednek el.

3. Valós számsorozat definíciója, legalább 3 nevezetes sorozat felsorolása és rövid jellemzésük.

Valós számsorozaton olyan függvényt értünk, melynek értelmezési tartománya a nemnegatív valós számok halmaza (N⁺), értékkészlete pedig a valós számok halmaza (R ).

- megadása lehet explicit (pl. ) vagy rekurzív (pl. )

Nevezetes sorozatok:

()

• Ha q>1, a sorozat szigorúan monoton nõ és divergens,
• Ha q=1, a sorozat korlátos, konvergens:
• Ha q<1, a sorozat szigorúan monoton csökken, korlátos, konvergens:

Bizonyítás: Bernoulli-egyenlõtlenség segítségével

()

A sorozat korlátos és konvergens:

Bizonyítás: rendõr-elvvel

(  A sorozat korlátos , szigorúan monoton növekvõ és konvergens:

4. Valós számsorozat határértéke (minden típusának megadása)

Egy valós számsorozat konvergens, ha esetén küszöbszám, melyre esetén . Ilyenkor az a valós számot a sorozat határértékének nevezzük.
Jelölése: vagy .

Ha egy sorozatnak létezik véges határértéke, akkor konvergensnek, ha nem létezik, akkor divergensnek mondjuk.

Egy valós számsorozat végtelenhez divergál, ha esetén küszöbszám, melyre esetén . Jelölése: vagy .

Egy valós számsorozat a mínusz végtelenhez divergál, ha esetén küszöbszám, melyre esetén . Jelölése: vagy .

5. Függvény fogalma, értelmezési tartománya, értékkészlete

Ha A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük B halmaz pontosan egy elemét, akkor ezt a leképezést függvénynek nevezzük. Jelölése:

Az értelmezési tartomány azon elemek halmaza, melyekhez a függvény hozzárendel egy-egy elemet a B halmazból. Jele:

Az értékkészlet azon B-beli elemek halmaza, melyeket f ténylegesen hozzárendel A valamelyik eleméhez. Jele:

6. Egyváltozós valós-valós függvények határértéke

Cauchy-féle definíció:

Legyen az egyváltozós valós-valós f függvény () értelmezve az x₀ pont valamely környezetében. Az f függvény határértéke x₀ helyen létezik és értéke A akkor és csak akkor, ha esetén úgy, hogy ha akkor

Heine-féle definíció:

Legyen az egyváltozós valós-valós f függvény () értelmezve az x₀ pont valamely környezetében. Az f függvény határértéke x₀ helyen létezik és értéke A akkor és csak akkor, ha valós számsorozatra, ahol és , teljesül, hogy

7. Egyváltozós valós-valós függvény folytonossága

Legyen az egyváltozós valós-valós f függvény () értelmezve az x₀ pont valamely környezetében. Az f függvényt x₀ helyen folytonosnak nevezzük, ha esetén úgy, hogy ha , akkor

8. Egyváltozós valós-valós függvény differenciálszámítása

Egy egyváltozós valós-valós függvény differenciálható (deriválható) az x₀ pontban és differenciál-hányadosa (deriváltja) A akkor és csak akkor, ha a határérték létezik és véges.

A definíció lineárisan megfogalmazva:

Legyen az egyváltozós valós-valós f függvény () értelmezve az x₀ pont valamely környezetében. A függvény deriválható az x₀ pontban akkor és csak akkor, ha és függvény úgy, hogy és ha , akkor . Ilyenkor az A számot az f függvény x₀ helyen vett differenciálhányadosának nevezzük.

9. Egyváltozós valós-valós függvény monotonitása, konvexitása

Az egyváltozós valós-valós f függvényt () az x₀ helyen

a)      monoton növekvõnek

b)      szigorú monoton növekvõnek

c)      monoton csökkenõnek

d)      szigorú monoton csökkenõnek

nevezzük, ha x₀ egy sugarú környezetére () igaz, hogy számokra

a)

b)

c)

d)

Legyen az egyváltozós valós-valós f függvény () x₀ helyen deriválható, és x₀ sugarú környezetében értelmezhetõ (). A függvényt x₀ helyen

a)      konvexnek

b)      konkávnak

mondjuk, ha esetén

a)

b)

10. Lokális szélsõérték és inflexiós pont definíciója

Az egyváltozós valós-valós f függvénynek () x₀ helyen

a)      lokális minimuma

b)      lokális maximuma

van, ha x₀-nak létezik egy olyan környezete, amelyre esetén

a)

b)

Ha egy egyváltozós valós-valós f függvénynek () egy adott pontban létezik érintõje, és ebben a pontban a függvény se nem lokálisan konvex, se nem lokálisan konkáv, akkor ezt a pontot a függvény inflexiós pontjának nevezzük.

11. Riemann szerinti integrálhatóság fogalma

Legyen az f egyváltozós valós-valós függvény () korlátos az intervallumon. Az f függvény Riemann szerint integrálható az intervallumon, ha az intervallum minden lehetséges felosztásához tartozó alsó illetve felsõ integrálközelítõ összegeinek ( és ) szuprémuma illetve infinuma megegyezik, vagyis ha .

;   

Az alsó integrálközelítõ összeg: , ahol m_i az f függvény minimuma felosztás i-edik részintervallumán.

A felsõ integrálközelítõ összeg: , ahol M_i az f függvény maximuma felosztás i-edik részintervallumán.

12. Határozott integrál, primitív függvény

Ha egy egyváltozós valós-valós f függvény () Riemann-integrálható az intervallumon, akkor az alsó és felsõ integrálközelítõ összegeinek közös felsõ- illetve alsó korlátját (az számot, lsd elõzõ pont) az f függvény intervallumon vett határozott integráljának nevezzük. Jelölése:

Egy egyváltozós valós-valós f függvény () primitív függvényének nevezzük azt az F függvényt (), amely az értelmezési tartomány minden pontjában differenciálható, és esetén

13. Improprius integrálok fõ típusainak definíciói

Legyen adott egy egyváltozós valós-valós f függvény (), melyre minden esetén (). Ekkor az kifejezést az f függvény improprius integráljának nevezzük, feltéve, ha a jobb oldalon álló határérték létezik és véges.

Hasonlóan értelmezzük az improprius integrált is.

Legyen adott egy egyváltozós valós-valós f függvény (), melyre minden esetén (). Ekkor az kifejezést az f függvény improprius integráljának nevezzük, feltéve, ha a jobb oldalon álló határérték létezik és véges.

Hasonlóan értelmezzük az  improprius integrált is.

Tételek

1.Bernoulli-egyenlõtlenség és legalább egy alkalmazása

Bernoulli-egyenlõtlenség: ;   (

Alkalmazási példa:

1. () sorozat végtelenbe divergálásának bizonyítása. . A jobboldali kifejezés (Bernoulli-egyenlõtlenség segítségével adódik) monoton növekvõ számtani sorozat, ami végtelenbe divergál, tehát az eredeti sorozat is. ()

korlátosságának bizonyítása

2. Bolzano és Weierstrass tételei

Weierstrass-tétel: Legyen az f () függvény folytonos az intervallumon (), ekkor létezik olyan úgy, hogy esetén

Bolzano-tétel:  Legyen az f függvény folytonos az intervallumon (), ekkor a függvény felveszi az és közötti összes értéket.

3. Inverz függvény differenciálási szabálya

Legyen az f () függvény deriválható az pontban és invertálható az a pont környezetében. Tegyük fel, hogy . Ekkor ebben a környezetben az inverz függvény ( differenciálható, és (, )

Más alakban:

4. Az összetett függvény differenciálási szabálya

Adottak f és g () függvények (). Legyen f függvény deriválható az pontban, g pedig deriválható az x₀ pontban. Ekkor az összetett függvény is deriválható az x₀ pontban (láncszabály):

Más alakban:

5. Rolle tétele és egy példa az alkalmazására

Rolle-féle középértéktétel: Legyen az f  () függvény differenciálható az intervallumon, és . Ekkor úgy, hogy

Geometriai jelentése: Az intervallumon létezik olyan pont, ahol a függvény érintõje párhuzamos az x tengellyel.

Alkalmazási példa: a Cauchy-féle középértéktétel bizonyítása

6. Lagrange-féle középértéktétel

Legyen az f  () függvény differenciálható az intervallumon. Ekkor úgy, hogy

Geometriai jelentése: Ha és , akkor az intervallumon létezik olyan pont, ahol a függvény érintõje párhuzamos az AB húrral.

7. Cauchy-féle középértéktétel

Legyenek az f és g () függvények deriválhatók az intervallumon és tegyük fel, hogy ; esetén. Ekkor úgy, hogy

8. Lokális szélsõérték létezésének elégséges feltétele

Legyen az f  () függvény differenciálható az intervallumon és a helyen . Ha esetén és esetén , akkor az f függvénynek helyen lokális maximuma van.

Ha a tételben a két relációjelet megfordítjuk, a lokális minimum létezésének elégséges feltételét kapjuk.

9. Lokális konvexitás elégséges feltétele

Legyen az f  () függvény legalább kétszer differenciálható az x₀ pontban és annak egy környezetében. Ekkor ha , akkor az f függvény x₀ pontban konvex, ha pedig , akkor konkáv.

10. Az inflexiós pont létezésének elégséges feltétele

Legyen az f  () függvény legalább kétszer differenciálható az x₀ pontban és annak egy környezetében, továbbá . Ekkor ha az x₀ helyen elõjelet vált, akkor az f függvénynek x₀ helyen inflexiós pontja van.

11. Bernoulli-L'Hospital szabály

Legyenek az f és g () függvények differenciálhatók az x₀ pont egy környezetében, továbbá valamint . Ekkor , amennyiben ez utóbbi határérték létezik és véges, vagy .

Megjegyzések:

1. A tétel esetben is érvényes
2. A tételben x₀ helyett is állhat

12. Newton-Leibniz szabály

Legyen az f  () függvény integrálható, az F () függvény pedig folytonos az intervallumon és differenciálható az intervallumon, továbbá esetén . Ekkor

13. Helyettesítéses és parciális integrálás elve

Helyettesítéses integrálás:

Legyen az () függvény differenciálható a K intervallumon, továbbá létezik az f(x) () függvénynek a intervallumon primitív függvénye: (. Ekkor függvénynek is létezik primitív függvénye:

Parciális integrálás:

Legyenek f és g () differenciálható függvények H halmazon, valamint -nak létezik itt primitív függvénye. Ekkor

Határozott integrállal: Legyenek és függvények integrálhatók intervallumon. Ekkor

14. Ívhossz, forgástest térfogat, forgástest palást, szektorterület kiszámítása

Ívhossz kiszámítása: Legyen az f függvény () folytonos és integrálható az intervallumon. Legyen és . Ekkor az AB ív hossza: ;

Paraméteresen adott függvény esetén ():

Forgástest térfogatának kiszámítása: Legyen az f függvény () folytonos és integrálható az intervallumon. Forgassuk meg a függvény görbéjét az x tengely körül. Az így kapott forgástest térfogata:

Forgástest palástterületének kiszámítása: Legyen az f függvény () folytonos és integrálható az intervallumon. Forgassuk meg a függvény görbéjét az x tengely körül. Az így kapott forgástest palástjának területe: ;

Paraméteresen adott függvény esetén:

Szektorterület kiszámítása: Legyen az r polárkoordinátákkal megadott függvény () folytonos és integrálható az intervallumon. Legyen és , O pedig az origó. Ekkor ABO szektor területe: