Hatvanyozas

Hatványozás

Definíciók: aⁿ egy n tényezős szorzat, melynek minden tényezője a. a valós, n pozitív egész.

a,b valós, n,m pozitív egész szám:

Azonosságok

aⁿ∙a^m=a^n+m (azonos alapú hatványok szorzata az alap a kitevők összegére emelve)

aⁿ:a^m=a^n-m n>m (azonos alapú hatványok hányadosa az alap a kitevők különbségére emelve)

(aⁿ)^m=a^n∙m (hatvány hatványa az alap a kitevők szorzatára emelve)

aⁿ∙bⁿ=(a∙b)ⁿ (azonos kitevőjű hatványok szorzata az alapok szorzata a kitevőre emelve)

aⁿ:bⁿ=(a:b)ⁿ (azonos kitevőjű hatványok hányadosa az alapok hányadosa a kitevőre emelve)

Kibővítjük a hatvány 222j95c fogalmat, vagyis bővítjük a kitevő értelmezési tartományát. Ezt a permanencia-elvvel összhangban tesszük, vagyis úgy, hogy a korábban fennálló azonosságok ne sérüljenek.

Definíció: a⁰=1, 0-nak nem értelmezzük a nulladik hatványát. Az azonosságok ezzel megmaradnak.

A második azonosságot bővítve: a⁰:a^m=a^0-m. Ezzel a szemlélettel kiterjesztjük a negatív kitevőkre is a hatványfogalmat:

Definíció a^-n=1/aⁿ, ha n természetes szám.

A hatványfogalmat tovább bővítjük, a kitevőket értelmezve a racionális számok halmazán is. Racionális számok azok a számok, amelyek felírhatóak két egész szám hányadosaként.

Definíció: a^p/q az a szám, amit ha a q-adik hatványon veszünk, a^p-t kapjuk (elég p,q pozitív egészekre vizsgálni, lévén, hogy értjük a negatív kitevő fogalmát). Az egyértelműség végett szükséges, hogy p és q relatív prímek legyenek. Abban az esetben, ha q páros, az alap csak pozitív szám lehet. (A törtkitevő ekvivalens a gyökvonással, ld. később). Azonosságok is megmaradnak.

Mivel az irracionális számok tetszőlegesen közelíthetőek racionális számokkal, és az exponenciális függvények szigorúan monotonak, ezért az irracionális kitevőt is értelmezzük.

A hatványfogalom ismeretében minden valós számra értelmezzük a hatványfüggvényt:

f(x)=xⁿ (n valós szám).

Képe leginkább a kitevő paritásától függ. A páros kitevőjű hatványfüggvények párosak, míg a páratlan kitevőjű függvények páratlanok.

Transzformálhatóak, összeadással (és kivonással) eltolhatjuk őket az x, illetve az y tengely mentén, szorzással (és osztással) pedig a két tengely mentén alkalmazhatunk merőleges affinitást.

Gyökfogalom

"Melyik az a szám, amelyiknek a négyzete a?"

Definíció: √a (négyzetgyök a) az a nemnegatív valós szám, amelynek a négyzete nemnegatív valós a.

Műveleti azonosságok

√a∙√b=√(a∙b), ha a≥0 és b

√a/√b=√(a/b), ha b≠0

(√a)ⁿ=√(aⁿ), ha n egész szám

A definíció következménye, hogy √(a²)=|a|. Általában igaz, hogy:

a²ⁿ)=aⁿ, ha n páros

a²ⁿ)=|aⁿ| ha n páratlan

A permanencia-elv mellett bővítjük a gyökfogalmat.

Definíció: ⁿ√a (n-edik gyök a)-nak nevezzük azt a számot, amit ha az n-edik hatványra emelünk, a-t kapjuk. n 1-nél nagyobb pozitív egész. Ha n páros. Akkor a nemnegatív valós, egyéb esetben a valós szám.

Azonosságok

ⁿ√a∙ⁿ√b=ⁿ√(a∙b), a≥0, b≥0

ⁿ√a/ⁿ√b=ⁿ√(a/b), a≥,, b>0

ⁿ√(a^k)=(ⁿ√a)^k, k egész, a≥0

ⁿ√(a^k)=^n∙l√(a^k∙l), a valós szám

ⁿ√(^k√a)=^n∙k√a; ha n∙k páros, akkor a≥0, egyébként a valós szám

Definícióból következik, hogy az a szám, amit ha az n-edik hatványra emelünk, akkor a-t kapjuk, ⁿ√a. Ugyanakkor a törthatvány definíciójából következik, hogy a^1/n az a szám, amit ha az n-edik hatványra emelünk, a-t kapjuk.

Tehát levonhatjuk a következtetést, hogy az n-edik gyök fogalma ekvivalens az 1/n-edik hatványéval (ⁿ√a≡a^1/n). Általában igaz, hogy a^{p/q q}√a)^p.

A gyökfüggvények ábrázolhatóak. Az f(x)=ⁿ√x függvények (n>1 egész) páros n-re csak a nemnegatív számokon értelmezettek, szigorúan monoton nőnek. Páratlan gyökkitevő esetén az összes valós szám része az értelmezési tartománynak, ezek a függvények páratlanok, szigorúan monoton nőnek és 0-ban inflexiós pontjuk van. Főleg a páratlan kitevőjű gyökfügvényeknél szembeötlő, hogy a gyök- és hatványfüggvények egymás inverzei, vagyis a függő és a független változók felcserélésével egymásba vihetők, tehát az azonos kitevőjű hatvány- és gyökfüggvény képe egymás, az y=x egyenesre vonatkozó tükörképe (természetesen páros kitevő esetén a gyökfüggvény a hatványfüggvénynek csak a pozitív x-ekhez tartozó szárának tükörképe).

Logaritmus

Vegyük az a^b=c kifejezést!

Mi a teendő, ha adott a és b mellett c ismeretlen? x=a^b, vagyis elvégzünk egy hatványozást.

Mi van akkor, ha b és c adott? x^b=c à x=^b√c, tehát gyökvonást alkalmazunk.

De mit lehet kezdeni egy a^x=c alakú kifejezéssel?

Ha arra vagyok kiváncsi, hogy egy adott szám egy másik adott számnak hanyadik hatványa, akkor az hatványalap kitevőjét, vagyis a logaritmusát keresem.

Definíció: ha a^x=b, akkor x=log_ab ("a alapú logaritmus b"). a alapú logaritmus b jelenti azt a kitevőt, amelyre a-t emelve b-t kapunk (a^log_a^b=b). a>0, a≠1, b>0, log_ab valós szám.

Megállapodás szerint a 10-alapú logaritmust log₁₀b helyett lg(b)-nek jelöljük, és az e-alapú logaritmust log_eb helyett ln(b)-nek, ritkábban log(b)-nek jelöljük. e az a_n=(1+1/n)ⁿ sorozat határértéke, irracionális szám, értéke kb. 2,718.

Azonosságok

log_a(x∙y)=log_ax+log_ay, a>0, a≠1, x>0, y>0

log_a(x/y)=log_ax-log_ay, a>0, a≠1, x>0, y>0

log_a(xⁿ)=n∙log_ax, a>0, a≠1, x>0, y>0, n valós szám

(új alapra áttérés): log_ab=log_cb/log_ca, a>0, a≠1, x>0, y>0, c>0, c≠1

A logaritmusfüggvény ábrázolható.

f(x)=log_ax: értelmezési tartománya a pozitív számok halmaza, értékkészlete a valósak. Zérushelye van x=1-ben. Az f(x)=1 értékhez tartozó x érték megadja az alapot. Képe az alap nagyságától függ. Ha a>1, akkor a függvény szigorúan monoton nő és konkáv, 0⁺ban vett határértéke mínusz végtelen. Ha 0<a<1, akkor a függvény szigorúan monoton csökken, konvex, 0⁺-ban vett határértéke plusz végtelen.

A logaritmusfüggvény az exponenciális függvény inverze. log_ax deriváltja 1/(x∙ln a).

Gyakorlati alkalmazása: főképp a fizikában és a biológiában. Előbbi tudomány terén számos esetben megjelenik a logaritmikus növekedés vagy csökkenés, például radioaktív bomlás esetén, és sok, a természetben fellelhető folyamat folyik exponenciálisan vagy logaritmikusan.

Trigonometria

Két síkidom akkor hasonló, ha hasonlósági transzformációkkal átvihetőek egymásba.

Két háromszög akkor hasonló, ha:

oldalaik egyenlőek (ekkor egybevágóak is), vagy ha

két oldaluk és a hosszabbikkal szemközti szögük egyenlő, vagy ha

egy oldaluk, és a rajta fekvő két szögük egyenlő, vagy ha

szögeik egyenlőek.

Két derékszögű háromszög hasonló, ha egyenlő az egyik hegyesszögük. Hasonló háromszögek oldalainak aránya páronként egyenlőek. Hasonló derékszögű háromszögek esetén ez az arány kizárólag a szögek függvénye ("szögfüggvények").

Definíció: derékszögű háromszögben a hegyesszöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosát a szög szinuszának (sin) nevezzük (reciproka a szekáns). A szög melletti befogó és az átfogó hányadosát a szög koszinuszának (cos) nevezzük (reciproka a koszekáns). A szöggel szemközti befogó és a szög melletti befogó hányadosát a szög tangensének (tg) nevezzük, reciproka a kotangens (ctg).

Azonosságok

hegyesszög szinusza a pótszög (90º-ra kiegészító szög) koszinusza

hegyesszög koszinusza a pótszög szinusza

hegyesszög tangense a pótszög kotangense

hegyesszög tangense a szög szinuszának és koszinuszának hányadosa

hegyesszög szinusza négyzetének és koszinusza négyzetének az összege 1 ("a trigonometria Pithagorasz-tétele")

A szögfüggvényeket kiterjesztjük a hegyesszögnél nagyob szögekre. Ezt a permanencia-elv megtartásával tesszük, vagyis új definíciók mellett az azonosságok változatlanok.

Definíció: Adott i,j bázisvektorrendszer (i-ből +90º-os elforgatással megkapjuk j-t). Legyen e egységvektor irányszöge (|e|=1; i-ből +α fokos elforgatással megkapjuk e-t)! Bontsuk fel e-t i,j bázisvektorrendszerben összetevőire! Ezt megtehetjük a vektorfelbontási tétel értelmében, ami kimondja, hogy síkban minden vektor egyértelműen felbontható két, nem párhuzamos vektorral párhuzamos összetevőkre. Így felbontva e=e₁i+e₂j, ahol e₁ és e₂ valós számok. Az α szög koszinuszaként definiáljuk e₁-et, és az α szög szinuszaként definiáljuk e₂-t.

A 90º-nál nagyobb szögek szögfüggvényeit visszavezetjük a hegyesszögekére:

második síknegyed (90º< <180º):                 cosα=-cos(180º-α);

sinα=sin(180º-α)

harmadik síknegyed (180º< <270º):              cosα=-cos( -180º

sinα=-sin(α-180º

negyedik síknegyed (270º< <360º):              cosα=cos(360º-α);

sinα=-sin(360º-α)

Forgásszögek (360º< ) szögfüggvényeit visszavezetjük a 360º-nál kisebb szögek szögfüggvényeire. Ebben az esetben α=α₁+k∙360º, k pozitív egész szám, és 0º< <360º. Ekkor cosα=cosα₁, és sinα=sinα₁. Általában kimondható, hogy:

cosα=cos +k∙360º);

sinα=sin +k∙360º), ahol k egész szám (tehát a szögfüggvények periodikusak).

Negatív szög szögfüggvényei: cos(-α)=cos ; sin(-α)=-sinα

Definíció: egy szög tangensén a szög szinuszának és koszinuszának hányadosát értjük. Egy szög kotangensén a szög koszinuszának és szinuszának hányadosát értjük.

Mindezek mellett megmaradnak az azonosságok.

Minden szög megadható fokok helyett radiánban is. Egy radián egy körben a sugár hosszúságú ívhosszhoz tartozó szög nagysága. Az abszcisszára radiánban felmérve a szögeket ábrázolhatjuk a szögfüggvényeket. Mindegyikük periodikus.

Az f(x)=sin(x) függvény páratlan, 2π-s periódusa van, egész számú többszöröseiben zérushelye van, ezek inflexiós pontok is. Értelmezési tartománya a valós számok halmaza, értékkészlete a [-1;1] intervallum.

Az f(x)=cos(x) függvény páros, 2π-s periódusa van, π/2+kπ (k egész szám) helyeken zérushelye van, ezek inflexiós pontok is. Értelmezési tartománya a valós számok halmaza, értékkészlete a [-1;1] intervallum.

Az f(x)=tg(x) függvény páratlan, π-s periódusa van, egész számú többszöröseiben zérushelye, míg /2+k (k egész szám) helyeken másodfajú szakadása van, ott nem értelmezett (cos( /2+k )=0). Egy perióduson belül szigorúan monoton nő.

A szögfüggvények transzformálhatóak.

Független változó transzformációjáról beszélünk, ha az argumentumot változtatjuk. Ha a független változóhoz hozzáadunk, vagy kivonunk belőle (f(x)=sin(x±a)), azzal a függvény képét megfelelően az x tengely mentén balra, vagy jobbra toljuk el. Ha konstanssal szorozzuk a független változót, akkor az abszcissza mentén affinitást alkalmazunk a függvény képére (pl. f(x)=sin(2x) képe a sin(x) függvény kétszeresére "összenyomott" képe).

Függvényérték transzformációjáról beszélünk, ha az argumentumon kívül végzünk műveleteket. f(x)=sin(x)±a az ordinátatengely mentén pozitív, illetve negatív irányba tolja el a függvény képét. f(x)=B∙sin(x) x tengelyhez való affinitást jelöl, 1-nél nagyobb szorzó "nyújtást" okoz.

A transzformációkkal a szinusz- és koszinusz-függvények egymásba vihetők:

- sin(x+π/2)=cos(x)

- cos(x-π/2)=sin(x)

- cos( x)=sin(x)

sin(x) deriváltja cos(x), cos(x) deriváltja -sin(x), tg(x) deriváltja 1/cos²(x).

Szögfüggvényekhez kapcsolódó tételek:

trigonometrikus területképlet: T=a∙b∙sin /2 hegyesszögekre, illetve T=a∙b∙sin(180º-γ)/2 tompaszögekre, ahol γ a háromszög a és b oldala által közbezárt szög.

koszinusz-tétel: c²=a²+b²-2a∙b∙cos , illetve tompaszögre c²=a²+b²+2a∙b∙cos(180º- ), ahol a háromszög a és b oldala által közbezárt szög. ( =90º esetén 2ab∙cos à c²=a²+b², ld. még Pithagorasz-tétel)

szinusz-tétel: szokásos jelöléssel a/sinα=b/sinβ=c/sinγ=2∙R_köréírt. Tompaszög esetén a/sin(180º-α)=b/sinβ. Adott a,b,α esetén, β-t keresve: ha a≥b, akkor egy megoldást kapunk, ha a<b, akkor vagy két, vagy nulla megoldás van.

Addíciós tétel: cos( )=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ; sin( )=sinα∙cos +cosα∙sin ; tg(α+ )=(tgα+tg )/(1-tgα∙tg

Szögfüggvények gyakorlati használata: a fizikában, egyrészt harmonikus rezgőmozgásoknál, másrészt váltóárammal és egymással szöget bezáró erőkkel kapcsolatos problémák megoldására.