Halmazok

Definicio A H1 es a H2 halmazt egyenlonek nevezzuk ha elemeik megegyeznek es igy jeloljuk. H1=H2

Definicio Ha H1 halmaz minden eleme H2 halmaznak is eleme akkor H1 halmazt H2 halmaz reszhalmazanak nevezzuk.

Definicio Ures halmazon olyan halmazt ertunk amelynek egy eleme sincs.

Definicio A halmazt vegesnek tekintjuk ha elemeinek szama veges, kulomben vegtelen halmazrol beszelunk.

Definicio Az A es B halmazok egyesitesen (uniojan) azt a halmazt ertjuk amelyet azok es csakis azok azok az elemek alkotnak amelyek az A vagy a B halmazok legalabb eggyikenek elemei.

Definicio A es B halmazok kozos reszen (metszeten) azt a halmazt ertjuk amelyet azok es csakis azok az elemek alkotnak amelyek A nak is es B nek is elemei.

Definicio Az A es B halmazok kulombsegen azt a halmazt ertjuk amely azokat es csakis azokat az elemeket tartalmazza amelyek A nak elemei de B nek nem.

Definicio Egy A reszhalmaza B nek szamhalmaz felulrol korlatos ha letezik olyan K eleme R szam, hogy ha a eleme A akkor a <= K. Ekkor K t az A szamhalmaz egy felso korlatjanak nevezzuk.

Definicio Egy A reszhalmaza R nek legkissebb felso korlatjanak (felso hataranak) nevezzuk azt a H eleme R szamot amely felso korlat es barmely H' eleme R szamamelyre fennal hogy H'<H mar nem felso korlat.

Definicio Egy A eleme R szamhalmaz alulrol korlatos, ha letezik olyan k eleme R szam, amelyre k kisebb-egyenlo a ha ha a eleme A Ekkor k t az A halmaz also korlatjanak nevezzuk.

Definicio Egy A eleme R halmaz legnagyobb also korlatjanak (also hataranak) nevezzuk azt a h eleme R szamot ameky also korlat es amelyre igaz hogy barmely olyan h' eleme R szam melyre h'>h mar nem also korlat.

Definicio Intervallumnak az a<x<b a<=x<=b a<=x<b a<=x<b feltetelek valamelyiket kielegito x valos szamok halmazat nevezzuk. Reszletesebben azt a halmazt amelynek eleme az osszes olyan x valos szam amelyre teljesul az a<x<b feltetel nyilt intervallumnak jele (a,b) a<=x<=b feltetel zart intervallumnak jele [a,b] a<=x<b feltetel balrol zart jobbrol nyilt interv. Jele [a,b) a<x<=b feltetel jobbrol zart balrol nyilt intervallum jele (a,b]

Definicio legyen x₀ tetszoleges valos R pedig tetszoleges pozitiv szam. Ekkor az X₀ pont R sugaru kornyezeten azon x pontok halmazát ertjuk amelyeknek x₀ tol valo tavolsaga kisseb R nel azaz

Definicio Legyen A es B ket nem ures halmaz ekkor a fuggveny az A halmaz egyertelmu lekepzese B halmazra Az A halmaz a fuggveny ertelmezesi tartomanyanak, a B halmaz a fuggveny ertekkeszletenek nevezzuk. Ha az f fuggveny eseteben b( b eleme B) az a nak (a eleme A) a kepe akkor ezt b=f(a) szinbolummal jeloljuk.

Sorozat

Definicio Azokat a fuggvenyeket melyek minden n pozitiv egesz szamhoz egy valos szamot rendelnek hozza sorozatoknak (szamsorozatoknak) nevezzuk. An a sorozat n edik eleme amelyet szokas a sorozat altalanos elemenek is nevezni. Magat a sorozatot A1 A2 A3 vagy jeloli.

Megadása:

A sorozatot megadhatjuk

- formulával, képlettel: pl. a_n = 2ⁿ vagy 2ⁿ

- rekurziós formulával: pl. al = 0, an = 2a_n-1 + 1, ha n

~utasítással: pl. legyen an a 5 n-edik tizedesjegye!

Korlátosság:

Definicio Az sorozatot felulrol korlatosnak nevezzuk ha megadhato olyan K szam amelynel a sorozatnak nincs nagyobb eleme azaz a_n<=K n=1,2.

A sorozat alulrol korlatos ha megadhato olyan K szam amelynel a sorozatnak nincs kisseb eleme azaz K<=a_n n=1,2,.

A sorozatot korlatosnak mondjuk, ha alulrol is felulrol is korlatos azaz ha minden n re k<=a_n<=K Az ilyen k illetve K szamot also illetve felso korlatnak nevezzuk.

Suprémum, Infimum:

DEFINícIó. Felülről korlátos sorozat legkisebb felső korlátját a sorozat felső határának vagy szuprémumának; alulról korlátos sorozat legnagyobb alsó kor­látját a sorozat alsó határának vagy infimumának nevezzük.

Monotonítás:

Definicio Az sorozat novekvo ha a_n<=a_n+1

Szigoruan novekvo ha a_n<a_n+1

Csokkeno ha a_n>=a_n+1

Szigoruan csokkeno ha a_n>a_n+1

teljesul minden n re

A növekedő vagy csökkenő sor~zatokat (tágabb értelemben) monoton, a szigo­rüan növekedő vagy csökkenő sorozatokat szigorúan monoton sorozatoknak nevezzük.

Konvergencia:

Definicio A sorozat konvergens ha letezik olyan B szam hogy barmely ε>0 hoz megadhato olyan v kuszobszam (v termeszetesen fugg ε. tol) hogy ha n>v akkor a_n nek B tol valo elterese kisebb mint ε. Azaz |a_n-B| <ε

Definicio Az sorozat konvergens ha letezik olyan B szam hogy B barmely kornyezetebe a sorozatnak veges sok eleme kivetelevel minden eleme beletartozik. Azt hogy a B szam az sorozat hatarerteke vagy limesze a kovetkezokepp jeloljuk a_n > B vagy lim a_n = B.

Tetel Az sorozat konvergenciajara adott fenti ket definicio ekvivalens.

Bizonyitas Eloszor megmutatjuk hogy az egyes definiciobol kovetkezik a kettes Ugyanis ha tetszoleges ε>0 hoz megadhato v ugy hogy n>v eseten |An-B| <ε Akkor minden n>v re -ε<An-B<ε Azaz B-ε<a_n<B=ε Tehat a B ε sugaru szimmetrikus kornyezetebol legfeljebb v eleme esik ki a sorozatnak. Masodszor pedig megmutatjuk hogy a masodik definiciobol kovetkezik az elso Valasszuk a masodik definicioban szereplo kornyezetet sugaranak.az elso definicio ε jat Igy a masodik definicio szerin e kornyezetbol veges sok eleme marad ki a sorozatnak.Tekintsuk ezek kozul a maximalis indexut ekkor ennek az indexe megfelel v nek.

Definicio Az olyan sorozatot amelynek nincs hatarerteke divergensnek nevezzuk.

Tetel Konvergens sorozat-oknak csak egy hatarerteke van.

Bizonyitas A tetelt indirekt modon bizonyitjuk azaz feltesszuk hogy legalabb ket hatarerteke van a sorozatnak peldaul b₁ es b₂ (b₁ nem egyenlo b₂) |b₁-b₂|=q>0

Tekintsuk a b₁ es b₂ q/4 sugaru kornyezetet. Ezeknek a kornyezeteknek a sugar alkalmas valasztasa miatt nincs kozos resze A hatarertek masodik definicioja alapjan ha b₁ hatarerteke a sorozatnak akkor barmely q/4 sugaru kornyezetebe is a sorozatnak vegtelen sok eleme esik es ebbol csak veges sok marad ki Ez azt jelenti hogy a b₂ q/4 sugaru kornyezetebe csak veges sok eleme eshet a sorozatnak tehat b₂ nek van olyan kornyezete amelybol vegtelen sok eleme marad ki a sorozatnak igy b₂ nem hatarerteke a sorozatnak.

Tetel A konvergens sorozat korlatos

Bizonyitas Ha a_n>B akkor ε.=1 hez is van olyan v1 eleme Z+ hogy n>v1 re |a_n-B|<1 azaz    B-1<a_n<B+1. Ha vesszuk B+1 szamot es a sorozat nala nagyobb elemeit (ilyen csak veges sok lehet legfeljebb v1) es ezek kozul kivalasztjuk a legnagyobbikat akkor ez nyilvanvaloan felso korlatja lesza sorozatnak. Hasonloan adhatunk egy also korlatot is a sorozathoz.

Az allitas nem fordithato meg a korlatossagbol nem kovetkezik a konvergencia

Tetel Konvergens sorozat minden rezsorozata konver-gens es hatarerteke megegyezik az eredeti sorozat hatarertekevel.

Bizonyitas Az allitast a konvergencia masodik defini-cioja alapjan latjuk be Legyen az konvergens sorozat hatarerteke B szam. Ekkor B barmely kornyezetebe a sorozatnak vegtelen sok eleme esik ugy, ugy hogy csak veges eleme marad ki. Nyilvanvalo hogy ugyanebbol a kornyezetbol a reszsorozatnak sem maradhat ki tobb eleme mint az eredeti saorozatnak Ezek szerint a B tetszoleges kornyezetebe a reszsorozatnak minden eleme beleesik legfeljebb veges sok elem kivetelevel Ez pedig pontosan azt jelenti hogy a reszsorozat konvergens es hatarerteke a B szam.

Torlódási pont:

Definicio Az α szamot az sorozat torlodasi pontjanak nevezzuk ha α barmely kornyezete a sorozat vegtelen sok elemet tartalmazza.

Definicio Az sorozatnak az α szam a torlodasi pontja ha kivalaszthato az sorozatbol egy α hoz konvergalo reszsorozat.

Tetel (Bolzano-Weierstass) Korlatos sorozatnak mindig van legalabb egy torlodasi pontja.

Bizonyitas Tekintsuk az tetszoleges korlatos sorozatot. Legyen k illetve K a sorozat also illetve felso korlatja. Ekkor k<=a_n<=K minden n re azaz a sorozat minden eleme a [k,K] zart intervallumban van. Felezzuk meg a [k,K] intervallumot. A ket intervallum kozul legalabb az egyik a sorozat vegtelen sok elemet tartalmazza. A kapott ket intervallum kozul jeloljuk [a₁,b₁] gyel azt amelybe a sorozat vegtelen sok eleme esik. Felezzuk most ezt az inter-vallumot, majd ismet valasszuk azt a felet amely a sorozat vegtelen sok eelemet tartalmazza. Jeloljuk ezt [a₂,b₂] vel Ezt az eljarast folytatva olyan un. egymasba skatulyazott zart intervallumokbol allo intervallumsorozatot kapunk ahol minden intervallumban a sorozatnak vegtelen sok eleme van es az intervallumok hossza a felezes miatt tart a nullahoz. Az ilyen egymasba skatulyazott zart intervallumokbol allo inter-vallumok sorozatara igaz, hogy letezik egy es csakis egy α szam amely az intervallumsorozat mindegyik intervallumanak eleme. Ha ugyanis α n kivul α* is kozos elem lenne akkor az intervallumok egyike sem lehetne |α-α*|>0 nal rovidebb ez pedig ellentmondana annak, hogy az intervallumok hossza felezes miatt tart a nullahoz. Most mar csak azt kell megmutatnunk, hogy az α az sorozat torlodasi pontja. Valasszuk tetszolegesen a δ>0 szamot, es tekintsuk α nak ezen δ sugaru kornyezetet azaz az (α-δ,α+δ) intervallumot. Valasszunk ki az egymasba skatulyazott intervallumok kozul egy olyat melynek hossza δ nel kisebb. Ilyen letezik mert az intervallumok hossza tart a 0 hoz E kivalasztott intervallumot α nak a δ sugaru kornyezete nyilvanvaloan reszhalmazakent tartalmazza, ez pedig azt jelenti ez pedig azt jelenti hogy α nak δ sugaru kornyezete mikent az intervallum is az sorozat vegtelen sok elemet tartalmazza azaz α az sorozat torlodasi pontja.

Tetel Ha egy korlatos sorozatnak csak egy torlodasi pontja van akkor a sorozat konvergens.

Bizonyitas Legyen az olyan tetszoleges korlatos sorozat melynek egyetlen torlodasi pontja az α . Megmutatjuk, hogy α barmely kornye-zetebe az sorozat vegtelen sok eleme esik ugy, hogy csak veges sok marad ki a kornyeze-tebol. Ez pedig a konvergencia masodik definicioja szerint pontosan sorozat konvergens voltat jelenti. Adjunk meg tetszolegesen egy 0<δ majd hagyjuk el az sorozat azon elemeit amelyek α nak a δ sugaru kornyezetebe esnek. δ nak mas mas erteket valasztva tegyuk fel, hogy talalunk egy olyan δ* ot amelynel az sorozat vegtelen sok eleme marad ki α nak δ* sugaru kornyezetebol Ekkor a maradeksorozatnak a Bolzano Weierstass tetel szerint lenne egy torlodasi pontja, jeloljuk ezt α* gal Nyilvanvalo, hogy α nem lehet egyenlo α* gal ugyanis α nak δ* sugaru kornyezeteben a maradekso-rozatnak egyetlen eleme sem lehet Feltevesunk szerint azonban sorozatnak csak egy torlodasi pontja lehet. A ket torlodasi pont letezese abbol a feltevesbol kovetkezett hogy letezik olyan pozitiv δ* hogy α nak δ* sugaru kornyezetebol vegtelen sok eleme marad ki. Igy a feltetelezesunket elvetve igaz, hogy α barmely kornyezetebol az sorozatnak veges sok eleme marad ki tehat a sorozat konvergens.

Tetel Barmely korlatos es monoton sorozat konvergens Ha a sorozat csokkeno akkor az also korlathoz ha novekvo akkor a felso korlathoz konvergal.

Bizonyitas Legyen peldaul az korlatos sorozat novekvo. Ekkor a_n<=a_n+1 minden n re teljesul .A sorozat korlatos, igy van felso hatara, jeloljuk ezt H val Ekkor egyreszt a_n<=H minden n re masreszt tetszoleges pozitiv ε szamhoz megadhato a sorozatnak olyan a_n* eleme amely H-ε nal nagyobb amelyre tehat H-ε<a_n*<H. Mivel a sorozat novekedo a fenti egyenlotlenseg a sorozat minden a_n* ot koveto elemere igaz. Igy H barmely kornyezetebol a sorozatnak legfeljebb veges szamu eleme marad ki hiszen H-ε<a_n*<=a_n<=H teljesul minden n* nal nagyobb n re. Ez pedig azt jelenti, hogy az sorozat konvergens es hatarerteke H. Csokkeno sorozatra a bizonyitas hasonloan vegezheto el.

Konvergenciakritériumok:

1. A konvergencia szükséges feltétele a korlátosság. Ha a sorozat nem korlátos, akkor nem is konvergens. A korlátosság önmagában csak szűkséges feltétel! Ha a sorozat korlá­tos, akkor még nem biztos. hogy konvergens is.

2. Egy sorazat konvergenciájának elegendő feltétele, hogy a sorozat monoton és korlátos legyen.

3. Egy sorozat konvergenciájának szükséges és elegendö feltétele,hogy a sorozat korlátos legyen és csak egy torlódási ponttal rendelkezzék.

4. Cauchy féle kritérium: Ahhoz, hogy egy an sorozat konvergens legyen, szükséges és elegendő, hogy bármely e > 0~hoz megadható legyen olyan v (e~tól függő) küszöbszám, hogy

ha n, m > v; arkkor / an - am/ <e

Nevezetes sorozat határértékek:

Az an = a állandó elemü sorozat konvergens, és határértéke A = a. Ez az állítás a határérték bármely definiciója alapján nyilvánvaló.

Az an = 1/n sorozat konvergens és határértéke A = 0. Ennek helátásához az l. definíció szerint azt kell megmutatní, hogy bármely e > 0-hoz megadható olyan v (v természetesen függ e-tól!), hogy ha n> v, akkor / 1/n - 0/ < e. Mivel / 1/n - 0/=1/n, és 0<1/n<e, ha n> e, ezért ha v-t 1/e-nak választjuk, az megfelel.­

Tetel (Bernoulli egyenlotlenseg) Ha h>-1 valos szam akkor minden n termeszetes szamra: (1+h)ⁿ>=1+nh.

Bizonyitas nincs

Műveletek konvergens sorozatokkal:

Tetel Ha az es sorozatok konvergalnak A hoz illetve B hez akkor es az sorozatok is konvergensek megpedig igy hogy (a_n+b_n)>A+B illetve (a_n-b_n)>A-B.

Bizonyitas A ket allitast egyszerre bizonyitjuk Legyen tetszolegesen adott ε>0. Mivel es sorozatok konvergensek, igy letezik olyan v1 es v2, hogy minden n>v1 re |a_n-A|<ε/2 es minden n>v2 re |b_n-B|<ε/2 Legyen v=(v1,v2) ekkor minden n>v re

|(a_n±b_n)-(A±B)| =

= |(a_n-A)±(b_n-b)| ?

? |a_n-A|+|b_n-B| <

<ε/2+ε/2=ε

Tetel Ha az es sorozatok konvergalnak A hoz illetve B hez akkor az sorozat is konvergens megpedig ugy hogy >AB

Bizonyitas Legyen tetszolegesen adott ε tol fuggo v kuszobszam hogy ha n>v akkor

|a_nb_n-AB|<ε

Bovitsuk az egzenlotlenseg bal oldalat alkalmasan valasztott 0 erteku osszeggel

|a_nb_n-AB|=|a_nb_n-a_nB+a_nB-AB|=|a_n(b_n-B)+B(a_n-A)|?|a_n||b_n-B|+|B||a_n-A| (*)

Itt felhasznaltuk a haromszog egyenlotlenseget. Minthogy minden konvergens sorozatkorlatosa, igy talalhato olyan K hogy |a_n|<K minden n re. Mivel mindket sorozat konvergens egy tetszolegesen adott ε>0 hoz taιalhato olyan v1 illetve v2 hogy |a_n-A|<ε/2|B| ha n>v1 es |b_n-B|<ε/2k ha n>v2

Ezeket (*) ba helyettesitve

|a_nb_n-AB|?|a_n||b_n-B|+|B||a_n-A|<K(ε/2k)+|B|(ε/2|B|)=ε

Tetel Ha az es sorozatok konvergalnak A hoz illetrve B hez akkor sorozat is konvergens megpedig ugy hogy a_n/b_n>A/B

Termeszetesen elemei kozul B nem=0 miatt csak veges sok lehet 0 ilyen elemekre a_n/b_n nem ertelmezett.

Bizonyitas Legyen tetszolegesen adott ε>0. Megmutatjuk hogy letezik olyan ε tol fuggo v kuszonszam hogy ha n >v akkor |(a_n/b_n)-(A/B)|<ε. Bovitsuk az egyenlotlenseg bal oldalat alkalmasan valasztott 0 erteku osszeggel.

|(a_n/b_n)-(A/B)|=|(a_n/b_n)-(a_n/B)+(a_n/B)-(A/B)|=|a_n((1/b_n)-(1/B))+

+(1/B)(a_n-A)|=|(a_n/b_nB)(B-b_n)+(1/B)(a_n-A)|? ?(|a_n|/|b_n||B|)|b_n-B|+(1/|B|)|a_n-A| (*)

Itt felhasznaltuk a haromszog egyenlotlenseget Minden konvergens sorozat korlatos igy talalhato olyan K hogy |a_n|<K minden n re Tovabba mival B nem= 0 es b_n>B igy van olyan v* hogy n>v* ra |b_n|>|B|/2 Felhasznalva hogy mindket sorozat konvergens a teszolegesen adott ε>0 hoz talalhato olyan v1 illetve v2 hogy |a_n-A|<(|B|ε)/2 ha n > v1 es |b_n-B|<(B²)ε/2 ha n>v2. Ezeket (*) ba helyettesitve

|(a_n/b_n)-(A/B)|?(|a_n|/|b_n||B|)|b_n-B|+(1/|B|)|a_n-A|< <(2|a_n|/|B||B|)|b_n-B|+ +(1/|B|)|a_n-A|< (2k/B²)((B²)ε/4K)+(1/|B|)* *(|B|ε/2)=(ε/2)+(ε/2)=ε

ahol v=max(v*,v1,v2)

Tetel Ha a₀,a₁,.,a_k es b₀,b₁,.,b_k valos szamok b_k nem=0 es n>? akkor

(a_k*n^k)+(A_(k-1)*n^(k-1)+ .+a₁*n+a₀)/((b_k*n^k)+ .+b₀)>a_k/b_k

Termeszetesen mindazon n re ahol a nevezo 0 (ilyen legfeljebb k van) a hanyados nem ertelmezett.

Bizonyitas Osszuk el a szamlalot is a nevezot is n^k nal igy a szamlalo es a nevezo elso tagjainak kivetelevel minden tag 0 hoz tart Igy az elozo tetelek ismetelt alkalmazasaval kapjuk a tetel allitasat.

Definicio Azt mondjuk hogy az sorozat a +? hez tart ha minden K valos szamhoz letezik egy olyan v kuszobszam hogy n>v eseten a_n>K Ezt a tenyt lim_n>? a_n= +? vagy a_n>+? jeloljuk.

Végtelenbe tartó sorozatok:

Definicio Ha az sorozat olyan hogy lim_n>? (-a_n)= +? akkor azt mondjuk hogy az sorozat a -? ,hez tart es ezt a tenyt lim_n>? a_n= -? vagy a_n>-? jeloljuk.

Definicio Az (y-b)/B=f((x-a)/A) (A nem=0,B nem=0)

Grafikonhoz tartozo fuggvenytaz f fuggveny linearis transzfor-maltjanak nevezzuk.

Egyvaltozos valos fuggvenyek

Értelemezési tartomány, értékkészlet:

Az f függvény képezze le a valós számok egy A részhalmazát a valós számok egy B részhalmazára, ekkor az A halmazt az f függvény értelmezési tartományának, míg a B halmazt az f függvény értékkészletének nevezzük, amelyeket rendre Df-el és Rf-el fogunk jelölni.

Megadási módok:

1. Df = [0, ) és f(x) = x + 1.

2. Df = 0, l, 2, 3 x 0 1 2 3

f(x) 1 2 4 8

3. Df·= a valós számok halmaza                   1,ha x racionális, 0,ha x irracionális.

4. A mérési eredmények írásban történő rögzítése esetenként egy-egy grafikon meg­rajzolását jelenti. 9. ábra ket.

5. Tekintsük a sík (x; y) pontjait. Legyen az f függvény olyan, hogy D f = [- 1, 1], f nemnegatív értéket vesz fel és

x2+y2 = l.

a függvények ilyen megadását implicit megadási módnak nevezzük,

6. paraméteres egyenletrendszer az xy sík valamely görbéje egyenletének ún. pdramétes alakja.

Tetel Ha az xy derekszogu koordinata rendszert onmagaval parhuzamosan ugy toljuk el, hogy az uj koordinata rendszer O' kezdopontja az (a;b) koordinataju pontba kerul akkor a sik valamely P pontjanak az eredeti rendszerrre vonatkozo x;y koordinatai valamint az uj rendszerbeli x',y' koordinatai kozott a kovetkezo osszefugges all fenn: x'=x-a, y'=y-b.

Bizonyitas nincs.

Tetel Ha valamely xz derekszogu koordinata rendszer tengelyeit (es ezzel egyutt a reajtuk levo egysegeket) A illetve B szeresere nyujtjuk akkor a sik P pontjanak az uj koordinata rendszerre vonatkoztatott x',y' es a regi x,y koordinatai kozott az x'=x/A es y'=y/B osszefuggesek allnak fenn.

Bizonyitas Ha egy szakaszt A szor (B szer) akkora mertekegyseggel merunk mint az eredeti akkor a szakasz hosszanak a meroszama A ad (B ed) resze lesz. Ez nyilvanvalo ha A es B pozitiv szamok. Ha valamelyik negativ (lehet mindketto is) akkor ez az illeto tengelynek a masik tengelyre vonatkoztatott tukrozeset is jelenti.

Tetel Az (y-b)/B=f((x-a)/A) keplettel megadott fuggveny grafikonjat az xzy koordinata rendszerben ugy kaphatjuk meg, hogy az f fuggveny grafikonjat abrazoljuk az XY derekszogu koordinata rendszerben. Ennek a koordinata rendszernek a kezdopontja az xy rendszer O'(a;b) pontja, tengelyei parhuzamosak x illetve y tengellyel es a rajtuk levo egysegek az xy rendszer tengelyein levo egysegek A illetve B szeresei.

Bizonyitas Az xy koordinata rendszer parhuzamos eltolasaval az x'=x-a es y'=y-b osszefuggeseket hasznalva lathato hogy az x'y' rendszerben mar az egyszerubb y'/B=f(x'/A) fuggvenykapcsolatot nyerjuk. Ha most az x' tengelyt A szorosara az y' tengelyt B szeresere nyujtjuk akkor az igy keletkezett koordinata rendszerben mar csak az f fuggveny grafikonjat kell abrazolnunk hiszen a nyujtas miatt X=x'/A es Y=y'/B.

Korlátosság

Definicio Az f fuggvenyt felulrol korlatosnak nevezzuk ha van olyan K szam hogy minden x eleme D_f re f(x)?K alulrol korlatosnak mondjuk ha van olyan k szam hogy minden x eleme D_f re k?f(x) korlatos ha alulrol is felulrol is korlatos. Ekkor |f(x)|?max(|k|,|K|) azaz k?f(x)?K

Suprémum, infimum:

A legkisebb felső korlátot a függvényértékek felső határának (szuprémumának) a legnagyobb alsó korlátot a függvényértékek alsó határának (infimumának) nevezzük.

A legkissebb felso korlatot felso hatarnak a legnagyobb also korlatot also hatarnak nevezzuk.

Abszolút szélsőérték:

Ha van olyan hely az értelmezési tartományban, ahol f értéke a helyettesítési értékeinek a felső határával egyenlő illetve ahol f értéke a helyettesítési értékeinek az alsó ha egyenlő, akkor azt mondjuk, hogy f felveszi maximumát, illetve minimumát. A függvényértékek maximumát, illetve minimumát közös néven a függvény szélsőért nevezzük.

Helyi szélsőérték:

Definicio Az f fuggvenynek x₀ pontpan tagabb ertelemben vett helyi maskeppen lokalis maximuma (minimuma) ha megadhato x₀ nak olyan kornyezete hogy az ebbe eso x eleme D_f pontokra f(x)?f(x₀) (f(x)?f(x₀)).

Az f fuggvenynek x₀ ban szigoru ertelemben vett hely lokalis maximuma (minimu-ma) van ha megadhato x₀ nak olyan kornyezete hogy az ebbe eso x eleme D_ff de x nem= x₀ pontokra f(x) <f(x₀) (f(x)>f(x₀)).

Definicio Az f fuggvenyt tagabb ertelemben novekvonek (csok-kenonek) nevezzuk ha az ertelmezesi tartomany barmeny ket pontjara amelyekre x1<x2 az f(x1)?f(x2) (f(x1)?f(x2)) relacio ervenyesul szigoru ertelemben novekvo (csokkeno) f ha x1<x2 eseten f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)).

Konvex: Konkáv:

Definicio Az [a,b] intervallumon ertelmezett f fuggvenyt konvex-nek nevezzuk ha minden a?x1<x<x2?b eseten

f(x)?f(x1)+((f(x2)- f(x1))/

/(x2-x1))*(x-x1)

es konkavnak nevezzuk ha minden a?x1<x<x2?b eseten

f(x)?f(x1)+((f(x2)- f(x1))/

/(x2-x1))*(x-x1)

Inflexiós pont:

Definicio Egy f fuggvenynek x₀ ban inflexios pontja van ha x₀ nak van olyan jobb es bal oldali kornyezete hogy eggyikben a fuggveny szigoruan konvex a masikban szigoruan konkav vagy forditva.

Páros, páratlan:

Definicio Az f fuggvenyt amelynek ertelmezesi tarto-manya szimmetrikus az origora paros fuggvenynek nevezunk ha barmely x eleme D_f helyre f(-x)=f(x) es paratlan fuggveny-nek ha f(-x)=-f(x).

Periódikus:

Definicio Az f fuggveny periodikus ha letezik olyan p pozitiv valos szam amelyre teljesula kovetkezo ket feltetel

minden x eleme D_f bol kovetkezik hogy (x+p) eleme D_f

minden x eleme D_f re f(x+p)=f(x)

Ekkor p az f fuggveny periodusanak nevezzuk.

Folytonosság:

Definicio (HEINE) Az f fuggveny folytonos az x₀ eleme D_f pontban ha f az x₀ szimmetrikus kornyezeteben er-telmezve van es minden olyan (x_n eleme D_f) sorozatra ameny x₀ hoz tart az f(x_n) fuggvenyertekek sorozata az f(x₀) fuggvenyertekhez tart.

Definicio (CAUCHY) Az f fuggveny folytonos az x₀ pontban ha barmelky pozitiv ε hoz megadhato olyan pozitiv δ (δ az ε es x₀ fuggvenye) hogy (x₀-δ,x₀+δ) reszhalmaza D_f es ha |x-x₀|<δ akkor |f(x)-f(x₀)|<ε termeszetesen x₀,x eleme D_f

Féloldali folytonosság:

Definicio (HEINE) Az f fuggvenyt az x₀ ban balrol (illetve jobbrol) folytonosnak nevezzuk ha f az x₀ megfelelo felkornyezeteben ertelmezett es barmely olyan x₀ hoz konvergalo sorozat eseten amelynek elemeire x_n<x₀ (illetve x_n>x₀) f(x_n)>f(x₀) Termeszetesen x₀,xn eleme D_f.

Definicio (CAUCHY) Az f fuggvenyt az x₀ ban balrol (illetve jobbrol) folytonosnak nevezzuk ha f az x₀ megfelelo felkornyezeteben ertelmezett es bazmely ε>0 hoz megadhato olyan pozitiv δ (δ fuggvenye ε nak es x₀ nak ) hogy ha x<x₀ (illetve x>x₀) es x₀-x<δ (illetve x-x₀<δ) akkor |f (x)-f (x₀)|<ε Termeszetesen x₀,x eleme D_f.

Tetel Az f fuggveny egy x₀ pontban akkor es csak akkor folytonos ha x₀ ban balrol es jobbrol is folytonos.

Bizonyitas A tetel bozonyitasa mindket iranyban trivialis.

Definicio At f es g fuggvenyek osszegen kulombsegen szorzatan hanyadosan rendre azt az F,G,H,R fuggvenyt ertjuk amely azokban es csak azokban a pontoknan ertelmezett amelyekben f es g is ertelmezett (kiveve a G fuggvenyt amely g(x)=0 eseten termeszetesen nem ertelmezett) es egy ilyen pontban:F(x)=f(x)+g(x) G(x)=f(x)-g(x), H(x)=f(x)g(x), R(x)=f(x)/g(x)

Tetel Ha ket fuggvenyfolytonos az x₀ pontban akkor osszeguk kulombseguk es szorzatuk is folytonos az x₀ pontban. Hanyadosuk is folytonos ha a nevezoben levo fuggveny az x₀ pontban 0 tol kulombozo.

Bizonyitas A folytonossag HEINE fele definicioja es a sorozatokra vonatkozo hasonlo jellegu tetel alapjan egyszeruen belathato.

Definicio Legyen A az f fuggveny ertelmezesi tartomanyanak nem ures reszhalmaza Ekkor az f fuggveny A halmazra vonatkozo leszukitesen azt a g fuggvenyt ertjuk amelynek ertelmezesi tartomanya A es minden x eleme A ra g(x)=f(x).

Definicio Legyen f es g ket olyan adott fuggveny amelyekre Rg metszet D_f nem=0 Az f 0 g osszetett fuggvenyen ertjuk azt a fuggvenyt amelynek ertelmezesi tartomanya g ertelmezesi tartomanyanak azon resze ahol g olyan ertekeket vesz fel melyeken f ertelmezve van. Az f 0 g osszetett fuggveny hozzarendelesi torvenye a kovetkezo x₀ helyen az osszetett fuggveny erteke az f fuggvenynek a g(x₀) helyen felvett erteke Az f fuggvenyt kulso a g fuggvenyt belso fuggvenynek nevezzuk.

Tetel Az f 0 g osszetett fuggveny folytonos az x₀ helyen ha a g belso fuggveny folytonos x₀ ban es az f fuggveny folytonos g(x₀) ban.

Bizonyitas nincs.

Definicio Legyen az f fuggveny altal letesitett lekepezes kolcsonosen egyertelmu. Az f fuggveny inverzen ertjuk azt az f felulvonas fuggvenyt amelynek ertelmezesi tartomanya f ertekkeszlete, s a hozzarendeles torvenye a kovetkezo: egy x₀ ertekhez olyan f felulvonas(x₀) erteket rendel amely helyen az f fuggveny az x₀ erteket vette fel azaz f(f felulvonas(x₀))=x₀

Határérték:

Definicio (HEINE) Legyen az f fuggveny az x₀ pont valamely kornyezeteben ertelmezett, kiveve esetleg az x₀ pontot. Ekkor azt mondjuk hogy az f fuggveny x₀ beli hatarerteke az A szam ha barmely x_n>x₀ (x_n eleme D_f ,x_n nem= x₀) sorozatra megfelelo fuggvenyertekek sorozatra A hoz konvergal jeloles lim_x>x0f(x)=A.

Definico (CAUCHY) Legyen az f fuggveny az x₀ pont valamely kornyezeteben ertelmezett, kiveve esetleg az x₀ pontot. Ekkor azt mondjuk hogy az f fuggveny x₀ beli hatarerteke az A szam ha barmely ε>0 hoz letezik olyan olyan δ>0 (δ fuggvenye ε nak es x₀ nak) hogy ha |x-x₀|<δ (x nem=x₀) akkor |f(x)-A|<ε. Termeszetesen x eleme D_f.

Féloldali határérték:

Definicio (HEINE) Legyen az f fuggveny az x₀ pont valamely jobb illetve bal oldali felkornyezeteben ertelmezett kiveve esetleg az x₀ pontot. Ekkor azt mondjuk hogy az f fuggveny x₀ beli jobb illetve bal oldali hatarerteke az A szam ha barmely x_n>x₀ (x eleme D_f, x_n nem= x₀) es x₀<xn illetve x_n<x₀ sorozatra megfelelo fuggvenyertekek sorozatra A hoz konvergal.

Definicio (CAUCHY) Legyen az f fuggveny az x₀ pont valamely jobb illetve bal oldali felkornyezeteben ertelmezett kiveve esetleg az x₀ pontot. Ekkor azt mondjuk hogy az f fuggveny x₀ beli jobb illetve bal oldali hatarerteke az A szam ha barmely ε>0 hoz megadhato olyan δ>0 (δ fuggvenye az ε nak es az x₀ nak) hogy ha x₀<x<x₀+δ illetve x₀-δ<x<x₀ akkor |f(x)-A|<ε Termeszetesen x eleme D_f.

Tetel Az f fuggvenynek egy x₀ pontban akkor es csak akkor letezik hatarerteke ha ott letezik jobb es bal oldali hatarerteke es ezek egyenloek.

Bizonyitas A tetel bizonyitasa mindket iranyban trivialis.

Végtelen, mint határérték

Definicio (HEINE) Legyen az f fuggveny az x₀ pont valamely kornyezeteben ertelmezett kiveve esetleg az x₀ pontot Ekkor az f fuggvenynek az x₀ pontban +? (-?) a hatarerteke ha barmely x_n>x₀ (x_n eleme D_f x_n nem=x₀) sorozatra f(x_n)>+? (-?).

Definicio (CAUCHY) Legyen az f fuggveny az x₀ pont valamely kornyezeteben ertelmezett kiveve esetleg az x₀ pontot Ekkor az f fuggvenynek az x₀ pontban +? (-?) a hatarerteke ha barmely M szamhoz megadhato olyan δ>0 (δ fuggvenye M nek es x₀ nak) hogy ha |x-x₀|<δ (x nem= x₀) akkor f(x)>M (f(x)<M) Termeszetesen x eleme D_f.

Határérték végtelenben:

Definicio (HEINE) Az f fuggvenynek a plussz (mínusz) vegtelenben a hatarerteke A ha barmely (x_n eleme D_f) x_n>+? (x_n>-?) sorozat eseten f(x_n)>A.

Definicio (CAUCHY) Az f fuggvenynek a plussz (mínusz) vegtelenben a hatarerteke A ha barmely ε>0 hoz megadhato olyan x* (x* fuggvenye ε nak) hogy ha x>x* (x<x*) akkor |f(x)-A|<ε Termeszetesen x eleme D_f.

Definicio (HEINE) Az f fuggvenynek a plussz (mínusz) vegtelenben a hatarerteke +? illetve -? ha barmely x_n>+? (x_n>-?) sorozat eseten f(x_n)>? illetve f(x_n)>-? Termeszetesen.x_n eleme D_f

Definicio (CAUCHY) Az f fuggvenynek a plussz (mínusz) vegtelenben a hatarerteke +? illetve -? ha barmely M szamhoz van olyan x* szam (x* fuggvenye M nek) hogy ha x>x* (x<x*) akkor f(x)>M illetve f(x)<M Termeszetesen a x eleme D_f.

Műveletek folytonos függvényekkel:

DEFINÍCIÓ: Az f és g függvények összegén, különbségén, szorzaán, hányadosán rendre azt az F ,G, H, R függvényt értjük, amely azokban és csak azokban a pontokban értelmezett, amelyekben f és g is értelmezett. Ilyen pontban:F(x)=f(x)+g(x), G(x)=f(x)-g(x), H(x)=f(x)*g(x), R(x)=f(x)/g(x)

Leszűkítés:

A halmazra vonatkozó leszűkítésén azt a g függvényt értjük, amelynek értelmezési tartománya A, és minden x A-ra g(x)=f(x).

Inverz függvény:

Az f függvény inverz függvényén értjük azt az f' függvényt, amelyenk értelmezési tartománya az f értékkészlete, a hozzárendelési törvénye a következő: egy xo értékhez olyan f'(xo) értéket rendel, amely helyen az f függvény az xo értéket vette fel, azaz f(f'(xo))=xo.

Összetett függvény:

Az f g összetett függvényen értjük azt a függvényt, amelynek értelmezési tartománya g értelmezési tartományának azon része, ahol g olyan értékekeket vesz fel, melyeken f értelmezve van. Hozzárendelési törvénye: xo helyen az összetett függvény értéke az f függvénynek a g(xo) helyen felvett értéke. Az f függvényt külső, a g függvényt belső függvénynek nevezzük.

Zárt intervallumon folytonos függvény:

Definicio Az f fuggvenyt egy nyilt intervallumon folyton-osnak nevezzuk ha az intervallum minden pontjaban folytonos. Az f fuggvenyt egy zart intervallumon folyton-osnak nevezzuk ha az intervallum minden belso pontjaban folytonos a bal vegpontban jobbrol es a jobb vegpontban balrol folytonos.

Definicio Egy fuggvenyt folyto-nosnak mondunk ha ertelmezesi tartomanyanak minden pontja-ban folytonos.

Definicio Az f fuggvenyt valamely I intervallumon egyenletesen folytonosnak nevezzuk ha tetszolegesen ε>0 hoz megadhato olyan δ>0 (mely csak ε tol fugg igy a helytol fuggetlen) hogy minden olyan x1 x2 eleme I eseten amelyre |x1-x2|<δ, |f (x1)-f(x2)|<ε.

Tetel (BOLZANO TULAJ-DONSAG) Egy intervallumon folytonos fuggveny ezen intervallum barmely ket pontjaban felvett ertekei koze eso barmely erteket felvesz e ket hely kozott.

Bizonyitas nincs

Tetel Zart intervallumon folytonos fuggveny korlatos ezen az intervallumon.

Bizonyitas Az f fuggveny legyen az [a,b] intervallumon folytonos Tehat azt kell megmutatnunk hogy az f fuggveny [a,b] n felulrol is alulrol is korlatos. Eloszor a felulrol korlatossagot mutatjuk meg. A bizonyitast indirekt modon vegezzuk Tegyuk fel hogy f az [a,b] n felulrol nem korlatos igy barmely N pozitiv egesz szamhoz megadhato olyan x_n eleme [a,b] hely ahol N<f(x_n) Igy definialhatunk egy es egy sorozatot termeszetesen f(x_n)>?. Mivel [a,b] veges ezert korlatos kovetkezeskeppen letezik konvergens reszsorozata (Bolzano-Weierstrass tetel) Ezen konvergens reszsorozatot jeloljuk val hatarerteket pedig x₀ lal Nyilvanvalo hogy x₀ eleme [a,b]. Mivel az f folytonos az [a,b] n igy f(x_nk)>f(x₀) Mivel f(x_nk)>? igy barmely reszsorozata is ? hez tart ami f(x_nk)>f(x₀) eredmenyukkel ellentmondasban van melyre ugy jutottunk f felulrol nem korlatossagat teteleztuk fel. Igy feltetelezesunk elvetendo az f felulrol korlatos az [a,b] Az alulrol valo korlatossagot analog modon lathatjuk be.

Tetel (WEIERSTRASS) Zart intervallumon folytonos felveszi infimumat, szupre-mumat ezen az interval-lumon.

Bizonyitas nincs

Tetel Zart intervallumon folytonos fuggveny ezen az intervallumon egyenletesen folytonos.

Bizonyitas nincs.

Tetel Legyen az f fuggveny folytonos az [a,b] intervallumon ekkor az f felulvonas fuggveny letezes-ehez szukseges es elegseges hogy az f fuggveny szigoruan monoton legyen [a,b] n

Bizonyitas nincs.

Tetel Ha az f az [a,b] intervallumon szigoruan monoton folytonos fuggveny, inverze f felulvonas is folytonos az [ feluinterval-lumon ahol α=min ß=.

Bizonyitas nincs.

Tetel Az x>sin x es az x>cos x fuggvenyek mindenutt folyto-nosak.

Bizonyitas. Eloszor megmutatjuk hogy az x>sin x es az x>cos x az x=0 pontban folytonos. Adott ε>0 (tetszoleges) akkor definialjuk a δ>0 szamot a TKV 76.old. 40. abra szerint.

Ha |x-0|<δ akkor nyilvanvalo akkor nyilvanvalo hogy |sin x|<ε azaz |sin x-sin 0|<ε valamint |cos(x)-cos(0)|=|cos(x)-1|< <1-(1-ε²)^1/2=

=1-((1-ε)(1+ε))^1/2<

<1-((1-ε)(1-ε))^1/2=

1-|1-ε|=ε (mivel 0<ε<1), azaz |cos(x)-cos(0)|<ε Igy a Cauchy fele definicio szerint az x>sin(x) es az x>cos(x) fuggvenyek x=0 pontban folytonosak. A fuggvenyek tetszoleges x₀ helyen valo folytonossaga a jol ismert addicios tetelek es az x=0 helyen valo folytonossag felhasznalas-aval felhasznalasaval bizonyit-hato Ugyanis ha x_n>x₀ es hn>0 akkor x_n=x₀+h_n alakra irhato igy sin(x_n)=sin(x₀+h_n)= =sin(x₀)cos(h_n)+cos(x₀)sin(h_n)>sin(x₀)

cos(x_n)=cos(x₀+h_n)= cos(x)cos(h_n)-sin(x₀)sin(h_n)> >cos(x₀).

Igy a Heine fele folytonossagi definicio szerint mindket fuggveny folytonos teteszoleges x₀ helyen.

Tetel Az x>tg(x) fuggvenyt az ertekmezesi tartomany minden pontjaban folytonos.

Bizonyitas Allitasunk a hanyadosfuggveny folytonossagara vonatkozo tetelbol azonnal kovetkezik.

Tetel Az x>ctg fuggveny az ertelmezesi tartomany minden pontjaban folytonos.

Bizonyitas ua. mint tg(x).

Tetel Az exponencialis fuggveny mindenutt folytonos.

Bizonyitas Legyen a>1 Eloszor azt mutatjuk meg hogy az x>a^x fuggveny folytonos az x=0 ban azaz barmely x_n>0 ra a^xn>a⁰=1 Mivel x_n>0 ezert barmely ε>0 hoz igy ε=1/m hey is (ahol m tetszoleges pozitiv egesz szam) megadhato olyan n₀ hogy n>n₀ akkor |x_n-0|<1/m azaz -1/m<x_n<1/m Fuggvenyunk szigoruan monoton novekvo ugyanis a>1 ezert a^xn<a^(1/m) es           a^(-1/m)<1=a⁰ igy

0 ? |(a^xn)-1| <

< |(a^(1/m))-a^(-1/m)| mivel m tetszoleges pozitiv szam ezert ha m>? akkor a^(1/m)>1 es

a^(-1/m)>1 igy

|(a^(1/m))-(a^(-1/m))|>0 tehat a fenti egyenlotlenseget is figyelembe veve |(a^xn)-1|>0 ez utobbi pedig azt jelenti hogy a fuggveny az x=0 ban folytonos. Ezt kovetoen megmutatjuk hogy a fuggveny tetszoleges x₀ helyen is folytonos. Ha most tetszoleges x₀ hoz tarto sorozat akkor

a^xn-a^x0=a^x0(a^xn-x0-1)>0 hiszen x_n-x₀>0 es a fentiek miatt a fuggveny az x=0 helyen folytonos igy tetszoleges x₀ helyen is az. Ha 0<a<1 akkor felhasznalva az elobbi bizonyitast es a hanyadosfuggveny folytonos-sagara vonatkozo tetelt allitasunk konnyen belathato.

Függvények osztályozása:

I. Algebrai függvények

1. Racionális függvények

a) Racionális egész függvények

b) Racionális törtfüggvények

2. Irracionális függvények

II. Transzcendens függvények

Racionális egész függvények:

Képletében csak a négy alapművelet és az egész kitevős hatványozás fordul elő.

P_n(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+.+a₁x+a₀

Speciális esetei:

x c konstans függvény

x ax + b (a 0) lineáris függvény,

x xⁿ pozitív egész kitevőjű hatványfüggvény.

A zérushelyeket vagy szorzattá alakítással, vagy valamilyen közelítő eljárással határozzuk meg. Könnyen megmutatható, hogy bármely racionális függvény a x = a, k-szoros zérushelyének környezetében úgy viselkedik, mint az x b(x - a)^k függvény, ahol b konstans

Racionális törtfüggvények:

Racionális törtfüggvények azok a függvények, amelyek két polinom hányadosaként állnak elő. Általános alakjuk: x R(x), ahol

R(x)=P_n(x) = a_nxⁿ+.+a₁x+a₀

Q_m(x) b_mx^m+.+b₁x+b₀

Speciális esetei:

x x^-n negatív egész kitevős hatványfüggvény,

x ax + b linearis törtfüggvény.

cx+d

Tekintsük ezek után a függvény zérushelyeit.

Racionális törtfüggvény esetén

b = lim P_n-k(x)= konstans

x a Q_m(x)

Ciklometrikus

Trigonometrikus függvényeknek nevezzük azokat, melyek az x sin x és az x cos x függvényekből, valamint valós számokból véges sok összeadás, kivonás, szorzás, osztás útján jönnek létre. Inverzeiket szokás ciklometrikus függvényeknek nevezni.

Exponenciális és a logaritmusfüggvény

Az x a^x alakú függvényeket, ahol a > 0 és a 1, exponenciális függvényeknek nevezzük.

Értelmezési tartománya: a valós számok halmaza.

Hozzárendelési törvénye: egy x₀-hoz rendelt f (x₀) azt a valós számot jelenti amelyre:

f(x₀) = a^x0 = lim a^rn

ahol rn tetszőleges x₀-hoz konvergáló racionális számsorozat.

A függvény értékkészlete a pozitív számok halmaza.

Ha a > 1, akkor az x a^x szigorúan növekedő, ha 0 < a < 1 szigorúan csökkenő.

Az exponenciális függvények közül az x e^x függvény különösen fontos szerepet játszik.

Az x loga x függvény, ahol a > 0 és a 1. Értelmezési tartománya: a pozitív számok halmaza.

A logaritmusfüggvény az exponenciális függvény inverze. A függvény értékkészlete a valós számok halmaza. A függvény a > 1 esetén szigorúan növekedő, 0 < a < 1 esetén pedig sLigorúari csökkenő, továbbá mindenütt folytonos.

Differenciálás

Tetel ch²(x)-sh²(x)=1

ch(2x)=ch²(x)+sh²(x)

sh(2x)=2sh(x)ch(x)

Bizonyitas

ch²(x)+sh²(x)=

=((e^x+e^-x)/2)²-

-((e^x-e^-x)/2)²=

=((e^2x+2+e^-2x)-

-(e^2x-2+e^-2x))/4=1

(ch²(x))+sh²(x)=

=((e^x+e^-x)/2)²+

+((e^x-e^-x)/2)²=

=(e^2x+2+e^-2x+e^2x-2

+e^-2x)/4=(e^2x+e^-2x)/2

=ch(2x)

2sh(x)ch(x)=

2((e^x-e^-x)/2)*

*((e^x+e^-x)/2)=

=(e^2x-e^-2x)/2=sh(2x)

Differenciahányadosfüggvény:

Definicio Legyen f fuggveny az x₀ pont valamely kornyezeteben ertelmezve es legyen x olyan tetszoleges eleme ennek a kornyezetnek amelyre x nem=x₀ Ekkor az x>(f(x)-f(x₀))/(x-x₀) fuggvenyt az f fuggveny x₀ ponthoz tartozo differencial-hanyados (mas szoval kulomb-seghanyados) fuggvenyenek nevezzuk.

Definicio Ha letezik az f fuggveny x₀ pontbeli differencialhanyados fuggveny-enek hatarerteke az x₀ helyen es ez veges akkor az f fuggveny x₀ ban differencialhatonak mondjuk es az x₀ pontbeli differencialhanyadosan (deri-valtjan) e hatarerteket ertjuk. Az f fuggveny x₀ pontbeli differencialhanyadosat f'(x₀)-lal jeloljuk azaz

lim_x>x0 (f(x)-f(x₀))/(x-x₀)=

=f'(x₀).

Definicio (HEINE) Legyen az f fuggveny az x₀ valamely kornyezeteben ertelmezve. Ekkor azt mondjuk, hogy az f fuggveny az x₀ helyen differencialhato ha letezik olyan c szam hogy tetszoleges x_n>x₀ (x_n nem= x₀) sorozat eseten ahol az sorozat elemeit x₀ nak szoban forgo kornyezetebol valasztottuk

(f(x_n)-f(x₀))/(x_n-x₀)>c.

Definicio (CAUCHY) Legyen az f fuggveny az x₀ valamely kornyezeteben ertelmezve Ekkor azt mondjuk, hogy f fuggveny az x₀ helyen differencialhato, ha van olyan c* szam hogy barmely ε>0 hoz megadhato olyan δ>0 hogy ha x tetszoleges eleme x₀ szoban forgo kornyezetenek es |x-x₀|<δ (x nem= x₀) akkor |(f(x)-f(x₀))/(x-x₀)-c*|<ε.

Jobboldali-, baloldali differenciahányados:

Definicio Az f fuggveny az x₀ helyen jobbrol (illetve balrol) differencialhato ha f ertelmezett az x₀ megfelelo feloldali kornyezeteben es letezik az x₀ helyhez tartozo kulombseghanyados fuggveny-nek jobb oldali (illetve bal oldali) hatarerteke A jobb oldali (illetve bal oldali) differencialhanyados ezzel a jobb oldali (illetve bal oldali) hatarertekkel egyezik meg.

Tetel Az f'(x₀) akkor es csak akkor letezik ha f'+(x₀) es     f'-(x₀) leteznek es egyenloek, ekkor: f'+(x₀)=f'-(x₀)=f'(x₀).

Bizonyitas A tetel bizonyitasa azonnal adodik a derivaltra es feloldali derivaltakra adott definiciokbol.

Nyilt, zárt intervallumon:

Definicio Az f fuggveny differencialhato az (a,b) nyilt intervallumon ha az intervallum minden pontjaban differencial-hato. Az f fuggveny differencialhato az [a,b] zart intervallumon ha minden belso pontban, tovabba a ban jobbrol es b ben balrol differencialhato.

Tetel Ha f differencialhato az x₀ helyen akkor ott folytonos is.

Bizonyitas. Felhasznalva a derivalt Heine fele definiciojat barmely x_n>x₀ (xn nem= x₀) ra (f(x_n)-f(x₀))-(x_n-x₀)>c=f'(x₀) Nyilvan ekkor az (f(x_n)-f(x₀))-(x_n-x₀)=f'(x₀)+h(x_n) felirhato ahol x_n>x₀ ra f(x_n)-f(x₀)>0 azaz f(x_n)>f(x₀) tehat az f fuggveny folytonos az x₀ ban.

Folytonosság és differenciálhatóság:

1. A függvény xo-ban folytonos, de nem differenciálható, mert a különbségihányados-függvény féloldali határértékei bár léteznek, de különbözőek

2. A függvény xo-ban folytonos, de nem differenciálható, mert a különbségihányados-függvény féloldali határértékei közül legalább az egyik nem létezik

3. A függvény xo-ban folytonos és ott differenciálható is, mert a különbségihányados-függvényének határértéke létezik és.

Derivált függvény:

Definicio Legyen az f fuggveny x₀ valamely kornyezeteben ertelmezve. Ekkor azt mondjuk hogy az f fuggveny differencialhato x₀ ban ha letezik olyan c szam hogy minden olyan x re amely eleme e kornyezetnek az f(x)-f(x₀)=c(x-x₀)+h(x)(x-x₀) osszefugges ahol lim_x>x0 h(x)=0. Ekkor c=f'(x₀).

Definicio Azt a fuggvenyt amelkynek ertelmezesi tartoma-nya azon x pontok halmaza ahol x differencialhato es amelyeknek erteke egy ilyen x pontpan f'(x) az f fuggveny differencialhanyados fuggve-nyenek nevezzuk. Jelolese f' vagy df/dx

Definicio Az f fuggveny az I reszhalmaza D_f nek intervallumon folytonosan differencialhato ha f' folytonos az I intervallumon.

Definicio Ha az f fuggveny differencialhato az x₀ pontban akkor az f'(x₀)(x-x₀) linearis kifelyezest az f fuggveny x₀ pontbeli differencialjanak nevvezzuk Jelolese: df|_x=x0 roviden df

Differenciálási szabályok:

Tetel Ha f differencialhato x₀ pontban akkor cf is diferencialhato x₀ pontban ahol c tetszoleges konstans es (cf)'|_x=x0=cf'

Bizonyitas A differencialha-nyados ertelmezeset felhasznal-va lim_x>x0(cf(x)-cf(x₀))/(x-x₀)= =lim_x>x0(c[f(x)-f(x₀)])/(x-x₀)= c(lim_x>x0(f(x)-f(x₀))/(x-x₀))=cf'(x₀).

Tetel Ha f es g fuggvenyek differencialhatoak az x₀ pontban akkor az osszeguk es kulonbseguk is differencialha-to x₀ ban tovabba

(f±g)'|_x=x0=f'(x₀)±g'(x₀)

Bizonyitas A derivalt Heine fele ertelmezeset foggjuk felhasz-nalni a rovidebb irasmod miatt Ha x_n>x₀ (x_n eleme D_f es x_n eleme D_g) ahol x_n nem= x₀ akkor

([f(x_n)±g(x_n)]-[f(x₀)±g(x₀)])/ /(x_n-x₀)= (f(x_n)-f(x₀))/(x_n-x₀)± ±(g(x_n)-g(x₀))/(x_n-x₀).

A jobb oldal a feltetelek miatt konvergens igy a bal oldal is tehat. (f±g)'|_x=x0=f'(x₀)±g'(x₀).

Tetel Ha az f es g fuggvenyek differencialhatoak az x₀ pontban akkor a szorzatuk is differencialhato x₀ ban es

(f*g)'|_x=x0=

=f'(x₀)g(x₀)+f(x₀)g'(x₀)

Bizonyitas Ha x_n>x₀ (x_n eleme D_f es x_n eleme D_g) ahol x_n nem= x₀ akkor (f(x_n)g(x_n)-f(x₀)g(x₀))/(x_n-x₀)=

= (f(x_n)g(x_n)- f(x₀)g(x_n)+ f(x₀)g(x_n)-f(x₀)g(x₀))/(x_n-x₀)=

=g(x_n)(f(x_n)-f(x₀))/(x_n-x₀)+

+f(x₀) (g(x_n)-g(x₀))/(x_n-x₀);

felhasznalva hogy g folytonos x₀ ban (mivel itt differencialhato) a ket oldal hatarerteke letezik es megeggyezik azaz    

(f*g)'|_x=x0=

=f'(x₀)g(x₀)+f(x₀)g'(x₀).

Tetel Ha f es g fuggvenyek differencialhatoak az x₀ pontban es g(x₀) nem= ₀ akkor az f/g hanyadosfuggveny is differencialhato x₀ ban es

(f/g)'|_x=x0=

(f'(x₀)g(x₀)-f(x₀)g'(x₀))/

/(g(x₀))²

Bizonyitas Ha x_n>x₀ (x_n eleme D_f es D_g) ahol x_n nem=0 es g(x₀) nem=0 akkor felteheto hogy veges sok kivetelevel g(x_n) nem=0 (mivel g folytonos is x₀ ban) tehat irhato

((f(x_n)/g(x_n))-(f(x₀)/g(x₀)))/

/(x_n-x₀)=

=((f(x_n)/g(x_n))- (f(x₀)/g(x_n))+ (f(x₀)/g(x_n))- (f(x₀)/g(x₀)))/

/(x_n-x₀)=

=(1/g(x_n))(f(x_n)-f(x₀))/(x_n-x₀)+

+(f(x₀)/(x_n-x₀))(g(x₀)-g(x_n))/

/(g(x_n)g(x₀))=

(1/g(x_n))(f(x_n)-f(x₀))/(x_n-x₀)+

+(f(x₀)/(g(x_n)g(x₀)))(g(x_n)-g(x₀))/(g(x_n)g(x₀))>

>(1/g(x₀))f'(x₀)-((f(x₀)/(g(x₀))²))*(g'(x₀))=

=(f'(x₀)g(x₀)-f(x₀)g'(x₀))/

/(g(x₀))²

Tetel Ha g differencialhato x₀ ban es f differencialhato g(x₀) ban akkor az f0g osszetett fuggveny is differencialhato az x₀ pontban es

(f0g)'|_x=x0=f'(g(x₀))g'(x₀).

Bizonyitas Ha x_n>x₀ (x_n eleme D_g) ahol x nem= x₀ es g(x_n) nem=g(x₀) akkor

(f(g(x_n))-f(g(x₀)))/(x_n-x₀)=

= ((f(g(x_n))- f(g(x₀)))/(g(x_n)-g(x₀)))*( g(x_n)-g(x₀))/(x_n-x₀)>

> f'(g(x₀))g'(x₀), mivel x_n>x₀ g(x_n)>g(x₀).

Tetel Az f felulvonas (itt f_inv) fuggveny akkor differencial-hato az x₀ eleme D_f helyen ha f differencialhato az f_inv(x₀) eleme D_f helyen es f'(f_inv(x₀)) nem=0. Ez esetben f_inv'(x₀)=1/f'(f_inv'(x₀))

Bizonyitas Azt kell megmutatnunk, hogy barmely x_n>x₀ (x_n eleme D_f) ahol xn nem=x0 sorozatra igaz hogy (f_inv(x_n)- f_inv(x₀))/(x_n-x₀)>

>1/f'(f_inv(x₀)).

Az inverz fuggveny definicioja alapjan irhato hogy

(f_inv(x_n)- f_inv(x₀))/(xn-x0)=

= (f_inv(x_n)- f_inv(x₀))/

/(f(f_inv(x_n))-f(f_inv(x₀))).

De (f_inv(x_n)- f_inv(x₀))/

/(f(f_inv(x_n))-f(f_inv(x₀)))=

=1/((f(f_inv(x_n))-f(f_inv(x₀)))/

/(f_inv(x_n)- f_inv(x₀))).

Mivel f_inv(x_n)-f_inv(x₀) nem=0 azaz f_inv(x_n) nem= f_inv(x₀) Ugyanis xn nem= x₀ es ha megis lenne olyan x_n amelyre f_inv(x_n)= f_inv(x₀) akkor az f_inv altal letesitett lekepezes nem kolcsonose egyertelmu.igy nem letezne f' inverze ami dudvalevoen f Fegzelembe veve hogy f folytonos f_inv(x₀) helyen (mivel itt differencialhato) ezert f_inv is folytonos az x₀ helyen azaz barmely x_n>x₀ eseten f_inv(x_n)> f_inv(x₀) Ez utobbi valamint amiatt hogy f differencialhato f_inv(x₀) ban (f(f_inv(x_n))-f(f_inv(x₀)))/

/( f_inv(x_n)- f_inv(x₀))>f'(f_inv(x₀)).

Vegezetul mivel f'(f_inv(x₀)) nem=0 (f_inv(x_n)- f_inv(x₀))/(x_n-x₀)>1/f'(f_inv(x₀)) amit eppen bizolyitani akartunk

Tetel Konstans fuggveny differencialhanyadosa minden-utt 0.

Ha f(x)?c akkor

lim_x>x0(f(x)-f(x₀))/(x-x₀)=

= lim_x>x0(c-c) /(x-x₀)=0

Tetel Barmely x re (x)'=1

Bizonyitas A derivalt definicioja alapjan

lim_x>x0(f(x)-f(x₀))/(x-x₀)=

= lim_x>x01=1.

Tetel Ha n?2 termeszetes szam akkor barmely x re (xⁿ)'=nx^n-1.

Bizonyitas Tegyuk fel hogy az allitas n=k ra igaz. Ha ebbol a feltevesbol meg tudjuk allapitani hogy n=k+1 re is igaz az allitas akkor minden n?2 pozitiv egesz szamra igaz. Indukcios feltevesunk tehat (x^k)'=kx^k-1 .

(x^k+1)'=(xx^k)=(x)'x^k+x(x^k)'=1x^k+xkx^k-1=x^k+kx^k=(k+1)x^k.

Tetel Ha p es q egesz szamok de q nem=0 akkor barmely x>0 ra az x>x^p/q fuggveny dif-ferencialhato es (x^p/q)'= (p/q)x^(p/q)-1.

Bizonyitas Felhasznalva az inverz es osszetett fuggveny differencialasi szabajat.kapjuk.

(x^p/q)'=((x^p)^1/q)'=(1/q((x^p)^1/q)^q-1)*

*px^p-1=(p/q)x^(p/q)-1.

Tetel Barmely x re (sin(x))'= =cos(x).

Bizonyitas Esetunkben

f'(x)=lim_¦x>0(f(x+¦x)-f(x))/¦x=

lim_¦x>0(sin(x+¦x)-sin(x))/¦x=

lim_¦x>0(2cos((2x+¦x)/2)sin(¦x/2))/¦x= lim_¦x>0[cos((2x+¦x)/2)*

*(sin(¦x/2)/(¦x/2))]=cos(2x/2)**1=cos(x).

Tetel Barmely x re (cos(x))'=

-sin(x).

Bizonyitas (cos(x))'=[sin((π/2)-x)]'=(-1)cos((π/2)-x)=-cos((π/2)-x)=-sin(x)

Tetel (tg(x))'=1+tg²(x)=1/cos²(x)

(x nem=(2k+1)(π/2) ahol k eleme Z)

(ctg(x))'= -(1+ctg²(x))

(x nem=kπ ahol k eleme Z)

Bizonyitas Az elobbi tetelek valamint a hanyadosfuggvenyre vonatkozo differencialasi sza-baly alapjan kapjuk.

(tg(x))'=(sin(x)/cos(x))'=

=(cos(x)cos(x)-(-sin(x))sin(x))/

/cos²(x)=1+tg²(x)=1/cos²(x).

(ctg(x))'=(cos(x)/sin(x))'=

=(-sin(x)sinx-cos(x)cos(x))/

/sin²(x)=-(1+ctg²(x))=-1/sin²(x).

Tetel. (arcsin(x))'=1/(1-x²)^1/2 (|x|<1)

(arccos(x))'=-1/(1-x²)^1/2 (|x|<1)

(arctg(x))'=1/(1+x²)

(arcctg(x))'=-1/(1+x²)

Bizonyitas Az elobbi teteleket valamint az inverz fuggveny differencialasi szabalyat fogjuk felhasznalni.

(arcsin(x))'=1/cos(arcsin(x))=

1/(1-sin²(arcsin(x)))^1/2=

1/(1-x²)^1/2

(arccos(x))'=1/-sin(arccos(x))=

=-1/(1-sin²(arccos(x)))^1/2=

-1/(1-x²)^1/2

(arctg(x))'=1/(1+tg²(arctg(x)))=

=1/(1+x²)

(arcctg(x))'=

1/-(1+ctg²(arcctg(x)))=-1/(1+x²)

Tetel Ha ¦x>0 (¦x nem=0) akkor (nyilvan x>0 es x+¦x>0)

(ln(x+¦x)-ln(x))/¦x= (1/¦x)(1+(¦x/x))=

(1/x)(x/¦x)ln(1+1/(¦x/x))=

(1/x)ln(1+1/(x/¦x))^x/¦x

Tetszoleges de rogzitett x>0 eseten ha ¦x>0 akkor az |x/¦x|=x^* jelolest bevezetve |x^*|>? Ismert viszont hogy

lim_|x*|>?=(1+(1/x^*))^*=e

tovabba tudjuk hogy az x>ln(x) fuggveny folytonos az x₀=e helyen (mivel marmely x eleme D_f helyen folytonos) Igy irhatjuk

(1/x)ln(1+1/(x/¦x))^x/¦x=

(1/x)ln(1+1/x^*)^x*>(1/x)ln(e)=

(1/x)*1=1/x

Tetel (e^x)'=e^x

Bizonyitas Tudjuk hogy (ln(x))'=1/x es az x>e^x fuggveny az x>ln(x) inverze ezert (e^x)'=1/(1/e^x)=e^x

Tetel (sh(x))'=ch(x)

(ch(x))'=sh(x)

Bizonyitas (sh(x))'=((e^x-e^-x)/2)'=

=(e^x-e^-x(-1))/2=(e^x+e^-x)/2=ch(x)

(ch(x))'=((e^x+e^-x)/2)'=

=(e^x+e^-x(-1))/2=(e^x-e^-x)/2=sh(x)

Tetel (th(x))'=1-th²(x)=1/ch²(x)

(cth(x))'=1-cth²(x)=-1/sh²(x) (x nem=0)

Bizonyitas Felhasznaljuk az elobbi tetelt es a hanyadosfugg-veny differencialasi szabalyat.

(th(x))'=(sh(x)/ch(x))'=

=(ch(x)ch(x)-sh(x)sh(x))/ch²(x)=

=1-th²(x)=1/ch²(x)

(cth(x))'=(ch(x)/sh(x))'=

=(sh(x)sh(x)-ch(x)ch(x))/sh²(x)=

=1-cth²(x)=-1/sh²(x)

Tetel (arsh(x))'=1/(x²+1)^1/2

(arch(x))'=1/(x²-1)^1/2 (x>1)

(arth(x))'=1/(1-x²)       (|x|<1)

(arcth(x))'=1/(1-x²)      (|x|>1)

Bizonyitas

(arsh(x))'=1/ch(arsh(x))=

=1/(sh²(arsh(x))+1)^1/2=

=1/(x²+1)^1/2

(arch(x))'=1/sh(arch(x))=

=1/(ch²(arch(x))-1)^1/2=

=1/(x²-1)^1/2          (x>1)

(arth(x))'=1/(1-th²(arth(x)))=

1/(1-x²)            (|x|<1)

(arcth(x))'=1/(1-cth²(arcth(x)))=

1/(1-x²)            (|x|<1)

Tetel Ha α tetszoleges valos szam es x>0 akkor (x^α)'=αx^α-1.

Bizonyitas Legyen f(x)=x^α Alogaritmikus differencialas szabalya szerint:

ln(f(x))=α*ln(x)

(1/f(x))*f'(x)=α*(1/x)

f'(x)=f(x)*α*(1/x)

f'(x)=x^α*α*(1/x)=αx^α-1

azaz (x^α)'=αx^α-1

Tetel x=φ(t)

y=δ(t) t eleme D_φ=D_δ es φ invertalhato parameteres alakban adott f fuggveny differencialhato az x₀=φ(t₀) helyen ha letezik φ(t₀) es δ(t₀) es φ(t₀) nem= 0 Ekkor:

f'(x₀)=δ^.(t₀)/φ^.(t₀).

(A "." jel a szoban forgo fuggvenyek parameter -t-szerinti derivaltjait jelenti)

Bizpnyitas A derivalt Heine fele definiciojat alkalmazzuk: tetszoleges x_n=φ(t_n)>x₀= φ(t_n) ra (x_n nem= x₀)

(f(x_n)-f(x₀))/( x_n- x₀)=

=(f(φ(t_n))-f(φ(t₀)))/( x_n- x₀)=

=(δ(t_n)-δ(t₀))/(φ(t_n)- φ(t₀)).

Tudjuk azt hogy x_n>x₀ eseten t_n= φ_inv(t_n)> t₀= φ_inv(t₀) mivel φ folytons t₀ ban (ugyanis itt differencialhato) s emiatt φ_inv folytonos φ(t₀)=x₀ ban Tovabba φ invertalhatosaga miatt az is belathato hogy veges sok n kivetelevel t_n nem= t₀ Ezen feltetelek figyelembevetelevel.

(δ(t_n)-δ(t₀))/(φ(t_n)- φ(t₀))=

=[(δ(t_n)-δ(t₀))/(t_n-t₀)]/[(φ(t_n)- φ(t₀))/ (t_n-t₀)]> δ(t₀)/ φ(t₀)=f'(x₀)

Középértéktételek:

Tetel (Rollie tetele) Ha f folytonos [a,b]-n es differencialhato (a,b)-n tovabba f(a)=f(b) akkor letezik legalabb egy olyan τ eleme (a,b) ahol f'(τ)=0.

Bizonyitas Amint azt tudjuk ha f folytonos [a,b]-n akkor a Weierstrass tetel szerint felveszi a maximumat es minimumat. Legyen M=max_{x eleme [a,b]} f(x) es m= min_{x eleme [a,b]} f(x).

Ket eset lehetseges.

Ha M=m akkor f(x)=c tehat f'(τ)=0 ahol τ eleme [a,b] tetszoleges.

Ha M>m akkor a maximum es a minimum erteke kozul legalabb az egyik nem egyezik az f(a)=f(b) vel. Legyen pl. M nem= f(a)=f(b) Ekkor f a maximumat belso pontban veszi fel, legyen ez τ eleme (a,b) tehat f((_eleme (a,b) tehat _ntban veszi fel, f(x)-f(τ))/(x-τ)>f-((-_/(x-τ)>_b) tehat _ntban veszi ff(x)-f((_)-_x-τ)>_f'+(('+__xA feltetelunk szerint f a τ eleme (a,b) ban differencialhato exert a fentiek alapjan csak az f'-(τ)= f'+(τ)= f'(τ)=0 ertek lehetseges Ha M=f(a)=f(b) de m nem=f(a)=f(b) a bizonyitas analog modon tortenik.

TÉTEL (LAGRANGE-FÉLE KÖZÉPÉRTÉKTÉTEL). Ha f folytonos (a, b)-n és differenciálható (a, b)~n, akkor létezik legalább egy olyan x (a, b), ahol ,

f'(x)= f (b) - f (a)

b-a

Bizonyítás. A tétel állítása geometriailag azt jelenti, hogy van olyan x hely, amihez tartozó érintő meredeksége megegyezik az a és b helyekhez tartozó P1 és P2 pontokon átmenő szelő meredekségével.

Éppen ezért a bizonyítás felhasználjuk e szelő egyenletét, amely a két ponton átmenő egyenes egyenlete alaf a következő:

y = g(x) = f (b) - f (a) (x - a) + f(a).

b-a

Tekintsük a h = f - g függvényt. Erre a h függvényre teljesülnek a Rolle-tétel feltételei, ugyanis h folytonos [a, b]-n, mivel f is, és g is folytonos [a, b]-n;

h differenciálható (a, b) mivel f is és g is differenciálható (a, b)-n;

h(a) = f (a) - g(a) = f (a) - f (a) = 0,

h(b) = f (b) - g(b) = f (b) - f (b) = 0,

azaz h(a) = h(b) = 0.

h'(x) = f'(x) - g'(x) = f'(x) - f(b) - f (a) =0 ,

b-a

f'(x)= f(b) -f(a) ,

b-a

Szélsőértékre vonatkozó tételek:

TÉTEL. Ha az f függvény az (a, b) intervallumon (amely intervallum lehet véges is, végtelen is) differenciálható, akkor ezen az intervallumon való növekedésének (illetve csökkenésének) szükséges és elegendő feltétele, hogy bármely x (a, b)-re f'(x) 0 (illetve f'(x) 0) legyen.

Bizonyítás. Az állítást növekedő függvényre látjuk be.

Először a feltétel szükségességét mutatjuk meg. Azaz bebizonyitjuk, hogy ha az (a, b)-n differenciálható f függvény növekedő az (a, b)-n, akkor minden x (a, b)-re f'(x) 0. Az (a, b) intervallumnak lehetnek olyan részintervallumai, ahol az f függvény értéke állandó, így ezeken az intervallumokon f'(x) = 0. A többi részintervallumon az f szigorúan növekedő, igy ezek belső pontjaiban lokálisan növekédő, ezért e helyeken f'(x) 0. Tehát az (a, b) intervallumon mindenütt f'(x)

Másodszor a feltétel elegendőségét bizonyítjuk. Azaz megmutatjuk, hogy ha az (a, b) intervallum bármely x pontjában f'(x) 0, akkor f az (a, b)-n növekedő. Tekintsük az (a, b) egy tetszőleges [xl, x2] részintervallumát (xl < x2). Erre teljesül­nek a Lagrange-féle középértéktétel feltételei, így létezik olyan x (xl , x2 ), amelyre:

f'(x) = f(x2)-f(x1)

x2 - x1

De f'(x 0 és xl < x2 , ezért szükségképpen f (xl ) f (x2 ). Tehát f növekedő az (a, b) intervallumon.

TÉTEL. Ha f differenciálható az x valamely környezetében és f'(xo) = 0 akkor ahhoz, hogy a függvénynek az xo helyen lokális szélsőértéke legyen elegendő, hogy az f' függvény az xo helyen előjelet váltson.

Bizonyítás. Legyen f differenciálható az xo hely valamely környezetében és f'(xo) = 0, valamint tegyük fel, hogy f' az xo pontban előjelet vált. Azaz meg_ adható x~-nak olyan d sugarú környezete, amelyre

mindenx (xo - d, xo)          esetén:f'(x) > f'(xo) = 0,és

mindenx (xo, xo + d esetén:f'(x) < f'(xo) = 0,

vagy pedig,

mindenx (xo - d, xo)         esetén:f'(x) < f'(xo) = 0,és

mindenx (xo, xo + d esetén:. f'(x) > f'(xo) = 0.

Ez viszont azt jelenti, hogy f az (xo - d, xo) intervallumon szigorúan növekedő, az (xo, xo + d) intervallumon szigorúan csökkenő, azaz f -nek xo-ban lokális maximuma van; vagy pedig f az (xo - d, xo) intervallumon szigorúan csökkenő, az (xo, xo + d) intervallumon szigorúan növekedő, azaz f nek xo-ban lokális minimuma van.

Ha f az xo valamely környezetében differenciálható és f'(xo) = 0, akkor az f' függvény xo helyen való előjelváltása ekvivalens azzal, hogy f' az xo helyen lokálisan növekedő vagy pedig lokálisan csökkenő.

TÉTEL. Ha f az xo helyen kétszer differenciálható és f'(xo) = 0, akkor az xo helyen való lokális maximum (minimum) létezéséhez elegendő, hogy f"(xo) < 0 (illetT~e f"(xo) > 0) legyen.

Bizonyítás: Legyen f'(xo)=0 és f"(xo)<0. A feltételek azt jelentik, hogy az f' függvény az xo helyen lokálisan csökkenő, azaz létezik az xo-nak olyan d sugarú környezete, hogy

Minden x (xo - d, xo) esetén f'(x)>f'(xo)=0 és

Minden x (xo, xo+d) esetén f'(x)<f'(xo).

Ezek szerint f' xo - ban előjelet vált, azaz teljesülnek az előbbi tétel feltételei, így f-nak xo-ban lokális maximuma van.

TÉTEL. Ha az xo helyen n~szer differenciálható f függvény deriváltjaira f'(xo) = ... = f^(n-1)(xo) = 0, és fⁿ(xo) 0, akkor ahhoz, hogy az f függvénynek az xo helyen lokális szélsőértéke legyen szükséges és elegendő, hogy n páros szám legyen.

Konvex, konkáv tételek:

TÉTEL. Ha f differenciálható az [a, b] intervallumon, akkor ahhoz, hogy f ezen az intervallumon konvex (konkáv) legyen, szükséges és elegendő, hogy f' növekedő (csökkenő) legyen az [a, b]-n.

TÉTEL. Ahhoz, hogy az [a, b] intervallumon kétszer differenciálható f függvény konvex (illetve konkáv) legyen ezen az intervallumon, szükséges és elegendő, hogy f "(x) 0 (illetve f "(x) 0) teljesüljön tetszőleges x [a, b ]-re.

Inflexiós pont tételek:

TÉTEL. Ha az xo hely valamely környezetében kétszer differenciálható f függvénynek az xo helyen inflexiós pontja van, akkor szükségképpen f"(xo) = 0.

Bizonyítás. Legyen xo bal oldali környezetében f konvex, a jobb oldaliban pedig konkáv. Ekkor az előzőek alapján f' az xo hely előtt növekedő, utána pedig csökkenő, ezért f'-nek xo-ban lokális'maximuma van, így szükségképpen f "(xo) = 0.

TÉTEL. Ha f az xo hely valamely környezetében kétszer differenciálható és f "(xo) = 0, valamint az f" függvény az xo helven előjelet vált, akkor f-nek az xo helyen inflexiós pontja van.

Bizonyítás. Mivel f "(xo) = 0 és f " xo-ban előjelet vált, így létezik xo-nak olyan d sugarú környezete, amelyre

mindenx (xo - d, xo )       c5eténf "(x) < 0,és

mindenx (xo , xo + d eseténf "(x) > 0 ,

vagy pedig

mindenx (xo - d, xo )        eseténf "(x) > 0,és

mindenx (xo, xo + d eseténf"(x) < 0.

Ez azt jelenti, hogy az (xo - d, xo ) intervallumban f konkáv, az (xo, xo + d) interval­lumban konvex, vagy pedig fordítva.

TÉTEL. Ha f az xo helyen háromszor diff'erenciálható, valamint f"(xo) = 0 és f"'(xo) 0, akknr f-nek az xo~ban inflexiós pontja van.

Bizonyítás. Mivel f"'(xo) 0, ezért f" az xo helyen lokálisan növekedő vagy csökkenő, de f "(xo) = 0 is teljesül, ezért f-nek xo-ban az előző tétel alapján inflexiós pontja van.

TÉTEL. Ha az xo helyen n~szer differenciálható f függvény deríváltjaira f"(xo ) = f"'(xo) = ... = f^(n-1)(xo) = 0 és f⁽ⁿ⁾(xo) 0, akkor ahhoz, hogy az f függvénynek az xo helyen inflexiós pontja legyen szükséges és elegendő, hogy n páratlan szám legyen.         Bizor~yítás. Mivel ~y~ f"(xo) = f.."(xo ) = . . .

Függvénydiszkusszió:

1. Zérushelyek meghatározása.

2. Szimmetriatulajdonságok vizsgálata: párosság, páratlanság, periodicitás eldön­tése.

3. Folytonosság- és határérték-vizsgálatok.

4. Szélsőértékek meghatározása, monotonitás vizsgálata.

5. Inflexiós pontok meghatározása, alak (konvexitás, konkávitás) vizsgálata.

6. A függvény grafikonjának vázolása.

7. Értékkészlet.

Érintő és normális egyenletei:

Az f függvény xo helyen vett deriváltjának értéke az xo helyen a függvény görbéjéhez húzott érintő meredekségével egyenlő. Ezt felhasználva felírhat­juk az érintő és a normális - amely az érintőre merőleges - egyenletét.

A Po(xo; f (xo)) ponton átmenő m meredekségű (iránytangensű) egyenes egyenlete:

y = m(x - xo) +f(xo)

Az érintő esetén

m = tg a = f'(xo),

így egyenlete:

y = f'(xo) (x - xo) +.f(xo)~

A normális esetén

m = tg b = tg (a+ pi/2) = -1/ tg a =-1/ f'(xo) ,

a normális egyenlete:

y = -1/ f'(xo)* (x-xo)+f(xo)

Metszési szög:

DEFINícIó. Két a Po pontban egymást metszö síkgörbe hajlásszöge a két görbé­hez a metszéspontban húzott érintők által bezárt - derékszögnél nem nagyobb - ­szög.

Alap deriválási szabályok

Határozott integrál:

Intervallum n részes felosztása:

DEFINícló. Az [a, b] intervallum valamely n részes felosztásának (n pozitív egész) nevezünk minden n + 1 elemű Fn ponthalmazt (Fn = ( xo, xl, x2, ..., xn}), amelyre a = xo < xl < x2 < ... < xn = b.

Részintervallum:

Nyilvánvaló, hogy az Fn felosztás függ az osztópontok számától és azok elhelyezkedésétől. Az

[x_i-1, x_i] (i, = 1, 2, ..., n)

intervallumot az i-~-dik részintervallumnak nevezzük

Beosztás finomsága:

DEFINícló. Tekintsük az [a, b] intervallum valamely Fl, F2, ..., Fn, ... felosztá­sainak egy sorozatát, az ( Fn) sorozatot! Azt mondjuk, hogy az (Fn) felosztásso­rozat minden határon túl finomodik, ha valahányszor n oo, mindannyiszor d(Fn)

Riemann féle integrálközelítő összeg:

DEFINícIó. Az [a, b]-n értelmezett f függvénynek az [a, b] tetszőleges Fn felosztá­sához tartozó Riemann féle integrálközelítő összegén értjük a

A Riemann-féle integrálközelítő összeget szokás téglányösszegnek is nevezni.

Előző sorozatának konvergenciája:

DEFINícIó (RIEMaNN). Legyen f az [a, b] intervallumon értelmezett tetszőleges függvény. Az [a, b] intervallum minden határon túl finomodó felosztássorozata esetén a

közelítő összegeknek létezik véges I határértéke, ha tetszőleges e > 0-hoz meg­adható d > 0 (d természetesen függ e-tól) úgy, hogy ha d(Fn) < d, akkor mind­ezen Fn felosztáshoz tartozó bármely sn közelítő összegre

sn-I / < e teljesül.

Integrálhatóság:

DEFINícIó (RIEntANN). Azt mondjuk, hogy az [a, b]-n értelmezett f függvény ezen az intervallumon Riemann~szerint integrálható, ha a

határérték létezik és véges

Kiegészítések:

és

Integrálhatóság feltételei:

TÉTEL. Az f függvény [a, b] intervallumon Riemann~szerinti integrálhatóságának szükséges feltétele, hogy f az [a, b]~n korlátos legyen.

TÉTEL: Legyen f az [a, b] intervallumon értelmezett és korlátos függvény. Ekkor az f függvény [a, b] intervallumon való Riemann~szerinti integrálhatóságának szükséges és elégséges feltétele, hogy az [a, b] intervallum tetszőleges, minden határon túl finomodó felosztássorozatához tartozó megfelelő alsó és felső összegek sn} és Sn} sorozatai közös határértékhez konvergáljanak, azaz .

lim sn = lim Sn .

n ~ oo n -~ o0 d(Fn) ~ 0 d(F") ~ 0

Nyoillatékosan felhívjuk a figyelmet arra, ho~y d~ alsó és felső összegek sorozatai­nak a közös határértéke egyúttal az f függvény [a, b]-n vett Riemann-integrálja, azaz:

lim sn = llm Sn = .

n n

d(Fn) 0 d(Fn) 0 a

Határozott integrál tulajdonságai:

TÉTEL. Ha az f függvény az [a, b] intervallumon integrálható, és c tetszőleges valós szám, akkor a cf függvény is integrálható az [a, b] intervallumon, és

Bizonyítás. Az állítás azonnal adódik abból, hogy a cf függvényhez tartozó Riemann-féle közelítő összegek mindegyikéből a c konstans kiemelhető.

TÉTEL. Ha az f és g függvények is integrálhatók az [a, b] intervallumon, akkor az f + g függvény is integrálható az [a, h] intervallumon, és

Bizonyítás. Ha figyelembe vesszük, hogy az f + g függvény bármelyik Riemann-féle közelítő összege az f közelítő összegének és a g közelítő összegének összegeként áll elő, az állítás nyilvánvaló.

TÉTEL. Ha az f függvény integrálható egy [a, b] intervallumon, akkor ezen intervallum bármely részintervallumán is integrálható.

TÉTEL. Ha az f függvény integrálható az [a, b] intervallumon és a < c < b, akkor

TÉTEL. Ha az f függvény integrálható az [a, c] és a [c, b] intervallumokon, akkor integrálható [a, b] intervallumon is, és

TÉTEL. Ha az f függvény az [a, b] intervallumon integrálható és f(x) 0 minden x [a, b]-re, akkor

TÉTEL. Ha az f és a g függvények integrálhatók az [a, b] intervallumon és f (x) g(x) minden x [a, b]-re, akkor

TÉTEL. Ha az f függvény integrálható az [a, b] intervallumon, és

m=inf f(x / a x b , M=sup f(x / a x b , akkor

m(b - a) S f M(b - a).

Határozatlan integrál:

Primitív függvény:

DEFINícIó. Ha f valamely véges vagy végtelen I intervallumon értelmezve van és létezik olyan F függvény, amely ezen az intervallumon differenciálható és minden x I re

F'(x) = f(x),

akkor az F függvényt a f függvény I intervallumhoz tartozó primitív függvényének nevezzük.

Határozatlan integrál:

DEFINicIó. Az f függvény primitív függvényeinek halmazat az f függvény határozatlan integráljának nevezzük és az S f szimbólummal jelöljük.

Integrálási módszerek:

TÉTEL. Ha F az f primitív függvénye. akkor

TÉTEL. Minden a - 1 valós számra

TÉTEL.

TÉTEL. Ha az f primitív függvénye F, és g olyan függvény, amely valamely intervallumon differenciálható, továbbá ezen az intervallumon f g összetett függvény létezik, akkor

S f(g(x))g'(x) dx = F(g(x)) + C.

Alapintegrálok helyettesítése:

TÉTEL. Ha az f függvénynek létezik a primitív függvénye valamely [a, b] intervallumon, és a g függvény olyan, amelynek inverze értelmezett az [a, b]-n, és g differenciálható az [a b] intervallumon, ahol a = min (g'(a), g'(b)), /3 = max {g'(a), g'(b)), akkor létezik az (f g)g' függvény primitív függvénye az [a b]-n és

Parciális integrálás:

TÉTEL. Ha az u és v függvények valamely intervallumon differenciálhatók, továbbá az u'v szorzatfüggvénynek létezik a primitív függvénye ezen az intervallumon, akkor a szóban forgó intervallumon az uv' szorzatfüggvénynek is létezik a primitív függvénye és

f uv' = uv - f u'v

Racionális egész:

A racionális egész függvények mindenütt folytonosak, integrálásuk tagonként könnyen elvégezhető:

Racionális törtfüggvények integrálása

Ha a Pn és a Qm polinomoknak nincs közös gyöktényezője, valamint m 1 és n < m, akkor

Pn(x)

Qm (x)

egyértelműen előállítható úgynevezett parciális törtek összegeként:

Ezek szerint egy R racionális törtfüggvény integrálásához elegendő, ha a megfelelő parciális törtek konstansait ismerjük, és az

típusú integrálok kiszámítására módszerünk van.

Gyökös kifejezések integrálása:

Az

integrálok a gyök alatti kifejezés teljes négyzetté való alakításával és alkalmas konstans kiemelésével mindig visszavezethetők az

integrálok valamelyikére. Ezek a típusok pedig a következőképpen integrálhatók:

l. Esetén az x = sin t vagy az x = cos t helyettesítéssel (bármelyik megfelel) határozható meg az integrál.

2. meghatározásakor az x = sh t helyettesítés felel meg.

3. integrálnál x = ch t helyettesítés vezet eredményre.

Trigonometrikus függvények integrálása

Integrálfüggvény:

DEFINícló. Legyen f integrálható [a, b]-n. Értelmezzük az F függvényt a követ­kezőképpen:

Df = [a, b] és F(x) = f f(t) dt.

Ekkor az F függvényt f integrálfüggvényének nevezzük.

Newton-Leibniz formula:

TÉTEL (NEWTON-LEIBNIz-FoRMuLA). Legyen f integrálható függvény az [a, b] intervallumon. Ha f függvénynek létezik az F primitív függvénye [a, b]~n, akkor

b

f f = F(b) - F(a).

Improprius integrál:

DEFINicIó. Tegyük fel, hogy az f függvény az xl < x2 < . .. < xn pontok kivételével az [a, b] intervallum minden pontjában értelmezve van és korlátos. Legyen j egy olyan függvény, amely [a, b]-n értelmezett és az xi (i = l, 2, ..., n) pontok kivételével minden x [a, b)-re j(x) = f (x).

Ha a j függvény integrálható [a, b)-n, akkor az

Integrált, az f' függvény improprius integráljának tekintjük az [a, b]-n, azaz

Alap integrálok