|  | ||||||||
|  | ||||||||
| | ||||||||
| | ||||||||
 | kategória |  | ||||||||
|
| ||||||||||
 |  |
| | |
|
| ||
| |
|
||||||||||
Feltételes szélsöértékszámítás, Lagrange multiplikátorok - Elöadásvázlat
A következö, P-vel jelölt optimum feladattal (feltételes szélsöérték feladattal) foglalkozunk:
f(x)→ max(min)
xєS,
ahol S=, m<n.
Közgazdasági illusztrációként interpretáljuk a fenti feladatot a következöképpen: jelentse x egy gazdasági egység termelés vektorát, amelynek komponensei az egyes termékekböl termelendö mennyiségek. A termeléshez m-féle eröforrást használunk. Legyen gi(x) az x termeléshez tartozó fel nem használt mennyiség az i-edik eröforrásból, f(x) pedig a hozam. A feladat akkor így fogalmazható meg: keressük azt a termelést (miböl mennyit termeljünk), amely maximális hozamot ad, azzal a kikötéssel, hogy minden eröforrást el kell használni. (A késöbbiekben foglalkozunk majd olyan feladatokkal is, amelyek esetében az eröforrásokból nem szabad többet használni, mint amennyi rendelkezésre áll, de nem kötelezö teljes mértékben felhasználni öket.) Ezt a feladatot szokás klasszikus feltételes szélsöérték feladatnak is nevezni.
Jelölésbeli könnyebbséget jelent, ha a feltételi függvényeket egy u.n. vektor-vektor függvénybe foglaljuk és bevezetjük a g:Rn→Rm, g(x)' =(g1(x),.,gm(x)) jelölést.
Legyen λ=(λ1,.,λm) egy m-elemü vektor, a Lagrange multiplikátorok vektora, amelynek komponenseit az egyes eröforrásokat értékelö árakként (árnyékárak) interpretáljuk. Definiáljunk egy L: Rm+n→R függvényt, a Lagrange függvényt a következöképpen:
L(x,λ) = f(x)+ λ'g(x).
L(x,λ) a gazdasági tevékenység végeredményét jelenti: az x termelés hozamának és a megmaradt eröforrások λ árakon számolt értékének összege.
Elöször szükséges feltételeket adunk meg arra, hogy egy vektor a P feladatnak lokális szélsöérték helye legyen. Ehhez elöször feltesszük azt, hogy az f, g1,.,gm függvények folytonosan differenciálhatóak egy, az S halmazt tartalmazó nyílt halmazon. A feltételi függvények grádienseiböl építsünk fel egy mxn-es mátrixot:
g1'(x)
J(x)= .
gm'(x)
amelyet Jacobi-mátrixnak nevezünk.
Ekkor igaz a következö tétel( Lagrange tétele): Ha x0 a P feladat lokális szélsöérték helye és a J(x0) Jacobi mátrix sorai lineárisan függetlenek, akkor van olyan λ0 multiplikátor vektor, hogy (x0, λ0) stacionárius pontja a Lagrange függvénynek, vagyis
L'(x0, λ0)=f'(x0)+ λ0'J(x0)=0.
A P feladat megoldása és a hozzátartozó multiplikátor vektor ott kell legyen az
L'(x,λ)=0 egyenletrendszer megoldásai között. Abban a szerencsés esetben például, amikor tudjuk, hogy a P feladatnak van megoldása, a Lagrange-tétel feltételei teljesülnek és az egyenletrendszernek csak egy megoldása van, akkor biztosak lehetünk abban, hogy ez az egyetlen megoldás a P feladat megoldása. Az L'(x0, λ0)= 0 egyenletrendszer megoldása sokszor nagyon nehéz. Ha azonban ez lineáris egyenletrendszer, akkor nagyon hatékony módszerek (például az elemi bázistranszformáción alapuló módszer) vannak a megoldására. Sokszor a feladat specialitása teszi lehetövé az egyenletrendszer megoldását a nemlineáris esetben is.
Példa: Legyen h: Rn→R egy fogyasztó hasznossági függvénye, amellyel az x'=(x1,.,xn) fogyasztói kosarat értékeli. A pozitív árvektor p, a vásárlásra fordítható összeg b>0. A fogyasztó szeretné maximalizálni a fogyasztói kosár hasznosságát. Feltesszük, hogy h folytonosan differenciálható és hogy minden árucikknek pozitív a határhasznossága (másképpen: h gradiense pozitív). Ilyen feltételek mellett könnyü belátni, hogy a fogyasztó minden pénzét elkölti és így a következö feltételes szélsöérték feladatot kell megoldania:
h(x)→max
p'x =b.
A Jacobi mátrix most az egyetlen p' sorból álló mátrix, amelynek a rangja 1. A Lagrange függvény: L(x,λ)= h(x)+λ(b-p'x). A maximum szükséges feltétele:
h'(x)-λp=0.
p'x =b.
Ennek az egyenletrendszernek a megoldásához többet kellene tudni a h függvényröl, azonban azt a fontos kvalitatív eredményt így is meg tudjuk állapítani, hogy az optimális fogyasztói kosár esetén
hi'(x)/pi=λ (i=1,.,n),
vagyis a határhasznosságok és az árak aránya konstans.
A Lagrange függvény segítségével elégséges feltételt is tudunk adni arra, hogy egy x0єS pont globális optimális megoldása legyen az (1) feladatnak.
Tétel: Legyen (x0,λ0) a Lagrange függvény stacionárius pontja. Ha x0 rögzített λ0 mellett feltétel nélküli globális maximumpontja a Lagrange függvénynek, akkor x0 globális maximumpontja a P feladatnak.
Ha tehát van egy (x0,λ0) vektor, amely stacionárius pontja a Lagrange függvénynek, akkor nyilván g(x0)=0, tehát x0єS. Ha gi konkáv, ha λ0i>0, gi konvex, ha λ0i<0, és ha gi bármilyen, ha λ0i=0, akkor L(x,λ0) konkáv és tudjuk azt, hogy minden stacionárius pont globális feltétel nélküli maximum és így a fenti tétel értelmében x0 megoldása a P feladatnak.
A hasznossági függvény maximalizáló példánkban, ha a h hasznossági függvény konkáv, akkor a Lagrange függvény is konkáv (a h-hoz hozzáadott lineáris tag a konkávitást nem befolyásolja!) és így minden stacionárius pontja megoldása a feladatnak.
A Lagrange multiplikátorok "eröforrás értékelö" tulajdonságának megértéséhez bevezetünk egy kényelmes fogalmat.
A P feladatot Lagrange-regulárisnak hívjuk, ha
van optimális megoldása,
minden x0 optimális megoldáshoz tartozik egy λ0 Lagrange multiplikátor vektor ((x0,λ0) stacionárius pontja a Lagrange függvénynek),
minden x0 optimális megoldás feltétel nélkül maximalizálja a Lagrange függvényt fix λ0 mellett.
Parametrizáljuk a P feladatot úgy, hogy pl. az elsö eröforrásból rendelkezésre álló mennyiséget "kicsit", ε-al, megváltoztatjuk. Legyen a P(ε) feladat tehát a következö:
f(x)→max
g1(x)=ε,
g2(x)=0,
...
gm(x)=0.
A P(0) nyilván az eredeti feladat. Tegyük fel, hogy a P(ε) Lagrange reguláris minden elég kicsi ε-ra. Legyen x(ε) a P(ε) egy optimális megoldása, és z(ε)= f(x(ε)) az optimális célfüggvény érték. Jelöljük x0=x(0)-al a P optimális megoldását és λ0-al a hozzá tartozó Lagrange multiplikátor vektort. Ekkor
f(x(ε))+ λ0'g(x(ε)) ≤ f(x0)+ λ0'g(x0)
mivel x0 a Lagrange függvény feltétel nélküli maximumpontja. Mivel g(x0)=0 és g1(x(ε))=ε, gi(x(ε))=0 (i=2,.,m), ezért
f(x(ε))+ λ01ε≤ f(x0),
ahonnan
-(1/ε)(z(ε)- z(0))≤ λ01ha ε<0
-(1/ε)(z(ε)- z(0))≥λ01 ha ε>0.
Ha a z függvény differenciálható a 0 pontban, akkor a fentiekböl a
z'(0)= λ01
adódik, ami azt jelenti, hogy a 0 pont környezetében, az elsö eröforrás egységnyi változására jutó optimális hozamváltozás pontosan az elsö eröforráshoz tartozó Lagrange multiplikátor.
A hasznosság maximalizáló feladatban a λ multiplikátor a jövedelem (az elkölthetö pénz) határhaszna, vagyis az egységnyi jövedelemváltozásra jutó hasznosság változás.
Ha több eröforrás változásának hatására vagyunk kíváncsiak, akkor a z(ε1,.,εm) függvény az optimális hozamot adja meg, ha a rendelkezésre álló eröforrás mennyiségek változása (ε1,.,εm). A
dz= λ01dε1+.+ λ0mdεm
differenciál az optimális célfüggvény érték változásának lineáris közelítése a 0 pont környezetében, feltéve természetesen, hogy a z függvény a 0 pontban differenciálható.
Találat: 1918
