|  | ||||||||
|  | ||||||||
| | ||||||||
| | ||||||||
 | kategória |  | ||||||||
|
| ||||||||||
 |  |
| | |
|
| ||
| |
|
||||||||||
Differenciálegyenletek megoldása
1. Állandó együtthatós és normál elsörendü, lineáris, homogén d.e.
a*y'+b*y = 0 és f(x)*y'+q(x)*y = 0
1. y'=dy/dx behelyettesítés
2. Változók szétválasztása
3. Integrálás dy és dx szerint
4. Megoldás
2. Elsörendü, lineáris, inhomogén d.e.
a(x)*y'+b(x)*y = f(x)
1. Az a(x)*Y'+b(x)*Y = 0 homogén, szétválasztható változójú d.e. általános megoldását meghatározzuk. [yh(x)]
2. Az inhomogén egyenlet partikuláris megoldása konstansvariálással.
y0(x) = c(x)*yh(x)
3. y0(x)-t behelyettesítjük az eredeti inhomogén egyenletbe és elvégezzük a müveleteket.
4. c(x)-et integrálással meghatározzuk.
5. c(x)-et visszahelyettesítjük y0(x)-ba.
6. Az inhomogén egyenlet általános megoldása: y = y0 + yh
3. Hiányos másodrendü d.e.
1. y és y' hiányzik
y'' = f(x) - y meghatározása kétszeres integrálással történik
2. y hiányzik
y'' = f(x;y')
Helyettesítés: y' = p(x)
A végén a p-re kapott általános megoldást integrálni kell.
3. y' hiányzik
y'' = f(x;y)
Karakterisztikus egyenlet felírása hiányos másodfokú egyenletként:
y'' = k2; y = 1
4. x hiányzik
y'' = f(y';y)
Helyettesítés:
y' = p(y) -> p'(y) = dp/dy -> y'' = p'(y)*y' -> y'' = (dp/dy)*y' = (dp/dy)*p(y)
Elöször csak y'' helyére helyettesítsünk, majd amikor p-re kaptunk megoldást, akkor helyettesítsük be p helyére y'-t.
4. Állandó együtthatós másodrendü, lineáris, homogén d.e.
a*y''+b*y'+c*y = 0
1. Karakterisztikus egyenlet felírása: a*k2+b*k+c = 0
y'' = k2
y' = k
y = 1
2. Megoldása:
D = b2 - 4a*c
|
D > 0 |
2 különbözö valós gyök: k1, k2 |
y = c1*ek1x + c2*ek2x |
|
D = 0 |
1 valós gyök: k |
y = c1*ekx + c2*x*ekx |
|
D < 0 |
2 komplex gyök: k1,2 (egymás konjugáltjai) k1,2 = a bi |
y1 = eax*sin(bx); y2 = eax*cos(bx) y = eax*(c1*sin(bx) + c2*cos(bx)) |
5. Állandó együtthatós másodrendü, lineáris, inhomogén d.e.
a*y''+b*y'+c*y = f(x) [zavarótag]
1. Homogén rész megoldása
a*Y''+b*Y'+c*Y = 0
Megoldás: yh (ld. 4. pont)
2. Inhomogén egyenlet megoldása
a) Konstansvariálással (mindig alkalmazható)
1. y0 = c1(x)*yh1 + c2(x)*yh2
y0' és y0'' meghatározása
2. Visszahelyettesítünk az inhomogén egyenletbe
3. Feltétel szabása: a derivált tagok összege zérus, azaz
c'1(x)*yh1(x) + c'2(x)*yh2(x) = 0
4. Az inhomogén egyenletböl és a feltételböl kialakult egyenletrendszer megoldása
5. c1(x), c2(x) meghatározása
6. Visszahelyettesítés y0-ba
b) Próbafüggvénnyel (csak állandó együtthatós d.e. esetén alkalmazható)
1. y0 szerkezetét hasonlónak tételezzük fel, mint f(x), a zavarótag szerkezetét
[Ha a homogén egyenlet egyik megoldása tartalmazza a zavarótagot, rezonancia lép fel. Ebben az esetben az y0-t úgy kell keresni, hogy x-szel kell szorozni a próbafüggvényt mindaddig, míg meg nem szünik a rezonancia.]
|
f(x) |
Példa |
y0(x) |
|
Elsöfokú: |
2x-2 |
Ax + B |
|
Másodfokú: |
x2+2x |
Ax2 + Bx + C |
|
Harmadfokú: |
x3+3 |
Ax3 + Bx2 + Cx + D |
|
Negyedfokú: |
4x4+x2 |
Ax4+ Bx3 + Cx2 + Dx +E |
|
Exponenciális: A*ekx |
8*e3x |
B*ekx |
|
Trigonometrikus: |
3*sin(x) 5sin(3x) + cos(3x) sin(5x) + cos(2x) |
A*sin(x) + B*cos(x) A*sin(kx) + B*cos(kx) A*sin(5x) + B*cos(5x) + C*sin(2x) + D*cos(2x) |
2. Meghatározzuk y0'-t és y0''-t, és y0-al együtt behelyettesítjük az inhomogén egyenletbe
3. Meghatározzuk az együtthatókat és felírjuk y0-t
3. Általános megoldás (a homogén egyenlet általános megoldása + az inhomogén egyenlet partikuláris megoldása): y = y0 + yh
Találat: 2217
