Az optimális méretezés műszaki alkalmazásai

Bevezetés

Az anyag-, energia-, gyártási és üzemeltetési költségek növekedése szükségessé, a numerikus módszerek fejlődése pedig lehetővé tette az optimális méretezési módszerek széleskörű elterjedését a műszaki gyakorlatban. E módszerek segítségével elérhető, hogy a különböző konstrukciók, rendszerek, stb. ne csak kielégítsék a velük szemben támasztott követelményeket, hanem lehetőséget nyújtsa 636e46g nak a költségek csökkentésére is. Az optimális méretezés elterjedésének kezdeti szakaszában a szerkezet tö­megét ill. térfogatát igyekeztek csökkenteni, majd később a problémákat a költségek irányából közelí­tették meg. A tömeg csökkentésére vonatkozóan a természetben sajátos példákat találunk. Nevezetesen a fák ágai az elágazási helyeken a legvastagabbak, mivel a hajlító nyomaték és a nyíróerő értéke ott a legnagyobb. Hasonlóképpen a jégcsap keresztmetszete a teljes húzóerőt felvevő keresztmetszetben a legnagyobb. Az említett példák az alak optimálására vonatkoznak, de a természetben ezeken kívül is számos egyéb optimumra törekvést figyelhetünk meg.

Az optimális méretezési módszerek eredményes műszaki alkalmazásához ismerni kell a matemati­kai módszereket és tisztában kell lenni a feladat műszaki tartalmával. Ennek megfelelően először röviden áttekintjük a matematikai alapokat, majd különböző műszaki alkalmazásokkal ismerkedünk meg.

Az optimális méretezés matematikai alapjai

Az optimálás általános megfogalmazása

Az optimálás érdekében először meg kell választani azokat a paramétereket, geometriai mé­reteket, stb., melyeket ismeretleneknek tekintünk. Ezen ismeretlenek alkotják a változók halmazát és összességüket a következőképpen jelöljük: x= x₁, x₂,.,x_n ^T, ahol n az ismeretlenek száma. Ezt kö­vetően meg kell fogalmazni a célfüggvényt, f(x)-et, ami lehet a szerkezet tömege, térfogata, költsége (beleértve az anyag-, gyártási-, üzemeltetési-, stb. költségeket). A célfüggvényhez kapcsolódóan meg kell fogalmazni azokat a feltételeket, melyeket az adott szerkezetnek, rendszernek üzemelés során ki kell elégítenie. A korlátozási feltételek lehetnek egyenlőtlenségek (g_j(x)), ill. egyenlőségek (h_j(x)). A korlátozások vonatkozhatnak a maximális feszültségekre, alakváltozásokra, felületi hőmérsékletre, stb. A fentiekben vázolt feladat matematikailag úgy fogalmazható meg, hogy meg kell határozni a többváltozós függvény minimumát úgy, hogy a kapott megoldás elégítse ki a megfogalmazott korlá­tozási feltételeket:

A fentebbi függvények lineárisak, nemlineárisak ill. speciális típusúak lehetnek. Előfordul, hogy hiányoznak az egyenlőségi ill. az egyenlőtlenségi korlátozások, vagy mindkettő. A változók száma tetszőleges lehet. Ennek megfelelően különböző optimálási feladatokkal állunk szemben, me­lyek megoldása sokszor nehézségekbe ütközik. A matematikai optimálási módszerek lényegében az (1) alatt megfogalmazott feladat megoldásához kapcsolódnak.

1. ábra. Kétváltozós optimálási feladat

Az (1)-es probléma megoldása két változó (két ismeretlen) és három egyenlőtlenségi korlátozás esetén nagyon szemléletesen ábrázolható (1. ábra). A két ismeretlen (x₁, x₂) koordinátarendszerében ábrázolni lehet a g₁(x), g₂(x), g₃(x) egyenlőtlenségi korlátozási feltételeket. A korlátozási feltételek meghatározzák az ún. megengedett tartományt, melynek minden pontja kielégíti a feltételeket. A meg­engedett tartomány pontjai közül meg kell keresni azt (azokat), melyek egyúttal a célfüggvény mini­mumát adják. Ha a célfüggvénynek különböző C₁, C₂, C₃ értékeket adunk, akkor azt tapasztaljuk, hogy önmagával párhuzamosan tolódik el. Ahol a célfüggvény érinti a megengedett tartományt, ott leolvas­hatjuk az optimális értékeket (x_1min, x_2min). Ezen értékeket a célfüggvénybe helyettesítve megkapjuk annak minimumát. Bonyolult függvények esetén azonban nemcsak egy, hanem több helyi (lokális) mi­nimum lehet (2. ábra). A műszaki problémák megoldása során azonban az a cél, hogy a helyi minimu­mok közül megkeressük azt, amelyik a célfüggvénybe helyettesítés után a legkisebb értéket adja. A lo­kális minimumok közül ezt az értéket nevezzük globális minimumnak. Az ábrán látható, hogy a függ­vénynek az x₁ és x₃ értéknél helyi (lokális) minimuma van. A kettő közül azonban a globális minimum x₁-nél van. Hasonlóképpen az x₂ és x₄ értéknél a függvénynek helyi maximuma van. A globális maxi­mum azonban az x₂-nél jelentkezik. Konvex megengedett tartomány esetén a lokális minimum egyúttal globális is. Konvex a tartomány, ha tetszőleges két pontját összekötő egyenes minden pontja a tartomá­nyon belül helyezkedik el. A következő részben röviden áttekintjük az optimálási módszerek történeti fejlődését és csoportosítását.

2. ábra. A függvény szélsőérték-helyei

A matematikai optimálási módszerek fejlődése és csoportosítása

Az optimálási módszereket különböző szempontok alapján lehet csoportosítani . Emiatt a szakirodalomban többféle megközelítéssel találkozunk. Az alábbiakban a történeti sorrendet szem előtt tartva röviden áttekintjük a módszerek fejlődését.

2.2.1. A differenciálszámításon alapuló módszerek

E módszert Newton (1643-1727) és Leibnitz (1646-1716) alapozta meg. Ők egymástól függet­lenül egyidejűleg dolgozták ki a differenciálszámítás alapjait. Ezáltal lehetőség nyílt a korlátozások nélküli egy- ill. többváltozós függvények szélsőértékének

Könnyen belátható, hogy a V(x) függvény maximumának helye megegyezik az f(x)=-V(x) függvény minimumának helyével. A szélsőérték (minimum) létezésének szükséges feltétele, hogy az f(x) függvény deriváltja legyen zérus:

f'(x)=-12x²+2028x-62370=0.

A másodfokú egyenlet megoldása révén két értéket kapunk: x₁=40,423 mm; x₂=128,577 mm. Az eredményekből látható, hogy gyakorlatilag csak az x₁ méretű kivágás valósítható meg. (A függvény deriváltjának vizsgálatával ellenőrizhető, hogy valóban létezik szélsőérték). Az x₁ értéknek a V(x) függvénybe helyettesítése után megkapjuk a doboz maximális térfogatát V_max=1128495,1 mm³.

2.2.2. A variációszámításon alapuló módszerek

A variációszámítás alapjait Bernoulli (1654-1705), Euler (1707-1783), Lagrange (1736-1813), Hamilton (1805-1865), Weierstrass (1815-1897) fektette le. A variációszámítás módszere előnyösen alkalmazható statikai, dinamikai, rezgéstani, stb. problémák megoldásakor . Legegyszerűbb mate­matikai megfogalmazása az, hogy meg kell határozni azt az u(x) függvényt, amelyik minimálja az A funkcionált:

ahol u' és u" az u(x) függvény első ill. második deriváltja.

2.2.3. Lineáris programozás

A lineáris programozás egy alapvető matematikai programozási módszer. Jellemzője, hogy az (1) alatti megfogalmazásban mind a célfüggvény, mind a korlátozások a változók lineáris függvényei. A lineáris optimálás elterjedését jelentősen meggyorsította a digitális számítógépek elterjedése és hoz­záférhetősége. A lineáris programozás szimplex módszerét Dantzig dolgozta ki 1947-ben . A mód­szert eredményesen alkalmazták gazdasági feladatok megoldására, de segítségével sok műszaki prob­léma megoldása is lehetővé vált. Számos képlékeny méretezési problémát fogalmaztak meg lineáris optimálási feladatként és így méreteztek rácsos tartókat, keretszerkezeteket, stb.

2.2.4. Nemlineáris programozás

Amennyiben az (1) alatt megfogalmazott feladatban a függvények valamelyike nem lineáris, akkor nemlineáris optimálási feladattal állunk szemben. A mérnöki problémák tekintélyes része nemli­neáris, emiatt e módszer különös jelentőséggel bír. A megoldási módszer Lagrange nevéhez fűződik, aki az (1)-ben megfogalmazott feladat megoldását dolgozta ki egyenlőségi korlátozások esetén. Lé­nyege, hogy a célfüggvényhez hozzáadta az egyenlőségi korlátozási feltételeket (m=0) és így kapott egy L(x, lj) függvényt:

ahol l_j - az ún. Lagrange szorzók.

A Lagrange függvény minimumát ezután deriválással lehet meghatározni. A módszer korai in­dulása ellenére viszonylag keveset fejlődött a XX. század közepéig. A nagysebességű és nagykapaci­tású számítógépek azonban ösztönözték és lehetővé tették az újabb módszerek kutatását és az optimálás széleskörű elterjedését. 1951-ben Kuhn és Tucker az (1) alatti probléma megoldására egyenlőtlenségi korlátozások esetén megoldási módszert dolgozott ki, ami a 60-as évektől optimalitási kritériumok né­ven terjedt el . Lényege, hogy meg kell határozni az f(x) célfüggvény minimumát

g_j(x)£ j=1,., m,

korlátozások esetén. Az egyenlőtlenségi korlátozásokat nem negatív kiegészítő változók hozzáadásával

G_j(x,y_j)=g_j(x)+ j=1,., m

egyenlőségekké alakítjuk át, ahol a kiegészítő változók ismeretlenek. Ezután a problémát a Lagrange-féle multiplikátoros módszerrel lehet megoldani. A Lagrange függvény

L(x,y_j,l_j)=f(x)+(x,y_j).              (2)

A lokális minimum szükséges feltétele:

        i=1,., n; (3)

                 j=1,., m; (4)

,                      j=1,., m. (5)

Aktív feltétel esetén g_j=0 így y_j=0, l_j£0. Ha a feltétel nem aktív, akkor g_j<0, y_j¹0 és l_j=0. Aktív feltétel esetén tehát a (4) és (5) helyett a

l_j³0 és l_jg_j=0

feltételeket használjuk. A

i=1,., n;

l_j³ l_jg_j=0

feltételek az ún. Kuhn-Tucker féle optimalitási kritériumok. Konvex megengedett tartomány esetén a Kuhn-Tucker feltételek a globális minimum szükséges és elégséges feltételeit adják.

A modern szerkezetoptimálás terén az első átfogó munka Schmit nevéhez fűződik , aki a matematikai programozási módszert nemlineáris egyenlőtlenségi korlátozások esetén rugalmas szerke­zetek méretezésére alkalmazta bonyolult terhelési feltételek mellett. Ki kell emelni még azt is, hogy ez a tárgyalásmód új tervezési filozófiát honosított meg a mérnöki gyakorlatban és hozzájárult ahhoz, hogy a végeselemes analízis és a nemlineáris programozás meghonosodjon az automatizált optimális méretezésben. A nemlineáris optimálás erőteljes fejlődésnek indult amikor Caroll tanulmánya alapján Fiacco és McCormick kifejlesztette a szekvenciális feltétel nélküli minimálás módszerét (a SUMT-módszert). Lényege, hogy az (1) alatti feltételes szélsőérték feladatot egy P(x,r_k) függvény so­rozatos feltétel nélküli szélsőérték feladataira alakítja át.

ahol az r_k paraméter kezdő értékétől (r₁-től), illetve csökkenésének mértékétől függ a konvergencia se­bessége. Az r_k értéke a számítás során monoton csökken

r₁>r₂.> r_k+1=r_k/c; c>

ahol c állandó.

Kimutatható, hogy r_k 0 esetén a feltétel nélküli függvényminimumok sorozata az eredeti f(x) függvény feltételes szélsőértékéhez tart:

A következőkben egy számpéldát mutatunk, ami segíti a módszer lényegének megértését.

Számpélda:

Keressük az

f(x)=x₂-x₁

célfüggvény minimumát

£g₁(x)=x₁
0£g₂(x)=x₂-0,25

feltételek esetén. Előállítjuk a korlátozások nélküli függvényt logaritmikus büntető tag alkalmazásával:

1. táblázat. A célfüggvény és a változók értékei az r_k paraméter függvényében

A táblázat adatainak megfelelően a 4. ábra a célfüggvényt, a korlátozási feltételeket, valamint a fel­tétel nélküli optimumokat mutatja. Látható, hogy a feltétel nélküli optimumok trajektóriája a feltételes szél­sőérték-feladat megoldásához tart, miközben a korlátozás nélküli P(x,r_k) függvény és az f(x) függvény érté­kei fokozatosan közelednek egymáshoz.

A nemlineáris optimálás terén napjainkban is számos publikáció jelenik meg és az optimum megkeresésére sok algoritmust dolgoztak ki.

Ha az (1) alatt megfogalmazott függvényekben polinomok szerepelnek, akkor ezt a szakiroda­lom geometriai programozásnak nevezi és a módszer a nemlineáris optimálási feladatok meghatározott körének megoldására alkalmas

A kvadratikus programozási feladat legtöbbször jól kezelhető nemlineáris optimálási prob­léma, mivel a célfüggvény konvex és a korlátozási feltételek lineárisak. Az ilyen feladatokat a line­áris optimálás szimplex módszerének megfelelő módosításával lehet megoldani.

Az utóbbi években a több célfüggvényes optimálást egyre elterjedtebben alkalmazzák szerkezetop­timálási problémák megoldásakor . A módszer kidolgozása Pareto nevéhez fűződik, aki ezt 1896-ban ismertette. Matematikai megfogalmazása a következő:

minF(x)=,

ahol f_i(x) - az i-edik célfüggvény; g_j(x) ill. h_j(x) - az egyenlőtlenségi ill. egyenlőségi korlátozási feltételek. A fentebbi függvények némelyike vagy mindegyike nemlineáris lehet. A probléma meg­oldására számos módszer létezik, de közülük legismertebb az ún. goal módszer.

A szétválasztásos (szeparábilis) programozás lényege, hogy az f(x) célfüggvény és a g_j (x) korlátozási feltételek az x_i változók szerint szétválaszthatók. Az ilyen problémák megoldására ismertet algoritmust az irodalom.

2.2.5. Egész számú (integer) programozás

Az egész számú optimálás az utóbbi időben gyors fejlődésnek indult, mivel vannak olyan opti­málási feladatok, ahol a változók csak meghatározott egész számú értékeket vehetnek fel. Ha a válto­zók csak egész számok lehetnek, akkor egész számú (integer) programozással állunk szemben. Ha csak a változók némelyike vesz fel egész értéket, akkor vegyes-egész számú programozásról van szó, ha vi­szont a változók csak 0 és 1 értéket vehetnek fel, akkor ezt "nulla-egy" programozási feladatnak nevez­zük.

2.2.6. Dinamikus programozás

A dinamikus programozás olyan matematikai módszer, amelyik jól használható többlépcsős döntési problémák megoldásakor.

2.2.7. Véletlenszerű (sztochasztikus) programozás

A véletlenszerű vagy valószínűségi programozás olyan problémákkal foglalkozik, melyeknél az optimálási paraméterek némelyikét vagy mindegyikét valószínűségi függvényekkel lehet leírni.

Újabb eredmények az optimálás terén

Az optimálási problémák megoldásához különböző kereső algoritmusokat dolgoztak ki és napja­inkban ezeket fejlesztik tovább ill. újabb algoritmusok is születnek. Az automatizált szerkezetoptimálás te­rén óriási előrelépést jelentett a véges elemes módszer és az optimálási módszer összekapcsolása

2.3.1. A véges elemes módszeren alapuló optimálás

Az optimáló módszerek többségénél a korlátozási feltételeket függvények formájában kell meg­fogalmazni, ami bonyolult szerkezetek esetén nem lehetséges. Ilyen esetekben az optimáló módszere­ket csak úgy lehet alkalmazni, ha a korlátozási feltételek aktuális értékét (pl. feszültségeket, alakválto­zásokat, stb.) valamilyen numerikus módszerrel előzőleg meghatározzák. Ez az igény vezetett el a vé­ges elemes módszer és az optimálás összekapcsolásához.

2.3.2. Az evolúciós szerkezetoptimálás

Az optimálás terén az ún. evolúciós algoritmusok erőteljes térhódítása figyelhető meg . A mód­szert gyakorlati problémák megoldására az 50-es években és a 60-as évek elején kezdték alkalmazni. A munkák alapján egymástól függetlenül három iskola fejlődött ki:

evolúciós programozás,

evolúciós stratégiák és

genetikai algoritmusok.

Valamennyi módszer az evolúciós folyamat alapelveit alkalmazza. A 90-es évek kezdetétől a három módszer egymásba folyt és összeolvadt. Azóta a különböző iskolák algoritmusainak megjelölé­sére az evolúciós algoritmusok megnevezés terjedt el. Az evolúciós algoritmusok és a véges elemes módszer összekapcsolását használja az ún. evolúciós szerkezetoptimálás.

A matematikai optimálási módszereket fel lehet osztani analitikus és numerikus módszerekre. Az analitikus módszereknél a célfüggvény, valamint a korlátozási feltételek függvények alakjában megfogalmazhatók, a szélsőérték meghatározása pedig a differenciál- ill. variációszámítás módszerei­vel történik. A numerikus módszerek matematikai programozási technikákat használnak és segítségük­kel olyan problémák is megoldhatók, melyek analitikusan nem kezelhetők.

A következő részben áttekintjük a költségmegtakarítás érdekében figyelembe veendő szem­pontokat, valamint az optimálási problémák megfogalmazását.

Az optimálási problémák megfogalmazása

A költségtakarékos tervezés néhány szempontja

Minden egyes műszaki probléma megoldásakor fontos, hogy milyen költségekkel valósít­ható meg. Rendszeres és alapos költségelemzéssel fel lehet tárni a költségeket befolyásoló ténye­zőket. Ez azért fontos, mert a konstrukciók költségeinek legnagyobb részét a tervezés folyamán a konstruktőr automatikusan lerögzíti . Ez a lerögzített hányad különböző te­rü­leteken végzett elemzések alapján eléri a 70% -ot (VDI-Richtlinie 2235). Az 5. ábra szemléletesen mu­tatja az adott munka­fá­zisban lerögzített (fekete oszlop) és a keletkezett költségeket (fehér oszlop). A gyártási költségeket értékelemzéssel csök­ken­teni lehet, ugyanakkor el­mondható, hogy az érték­elemzést a gyártmányok többségénél nem végzik el.

a szükségesnél nem finomabb felületek ill. tűrések alkalmazása;

szabványos anyagok és félkész-termékek használata;

a darabszámnak megfelelő gyártástechnológia megválasztása;

a szükségesnél nem drágább szerszámok és berendezések használata, stb.

A felsoroltakon túlmenően számos egyéb költségcsökkentési szabály létezik, melyeket terve­zéskor célszerű összegyűjteni és figyelembe venni. Az egyszerűbb költségcsökkentési lehetőségek mellett léteznek olyan módszerek is, melyek segítségével matematikai alapon vizsgálhatók a költségek. Ezeket az eljárásokat költségbecslési módszereknek nevezzük.

A konstrukciók költségbecslése vagy más néven a költségek korai felismerésének módszere a nyolcvanas években indult erőteljes fejlődésnek . A kutatók különböző indíttatásból és különböző módon közelítették meg a problémát. A tervezési változatok megítélése szempontjából a költségek korai felismerése kiemelkedő jelentőségű, mivel ily módon a konstruktőr tevékenységével jelentős mértékben befolyásolni tudja a költségek alakulását. A költségek (anyag- és gyártási) számítá­sára különböző módszereket dolgoztak ki, melyek közül a legfontosabbak:

relatív költségekkel való számítás

számítás regressziós egyenletekkel

hasonlósági összefüggésekkel való számítás és

gyártástechnológiai műveletek műveleti elemként való számítása

A fenti módszerek közül az anyagköltségek, a félkész termékek és a vásárolt termékek számításánál elsősorban a relatív költségekkel való kezelésmód terjedt el, míg a gyártástechnológiai költségek célszerűen műveleti elemként kezelve számíthatók. A relatív költségeknél az árakat ill. a költségeket valamilyen mennyiségre (méret, anyag, stb.) vonatkoztatják. Ennek előnye, hogy az adatok sokkal hosszabb ideig helytállóak összehasonlítva az abszolút költségekkel. Anyagokra, félkész termékekre és késztermékekre relatív költség katalógusokat dolgoztak ki. A félkész termékek (csövek, négyszög-szelvények, különböző profilok) közelítőleg azonos fajlagos árral rendelkeznek hengerléssel való gyártás esetén. Azonos tömeg esetén viszont lényegesen drágábbak a húzott és a zárt profilok

A regressziós egyenletekkel való költségszámítás alapos előkészítő munkát és nagy időráfordítást igényel, amihez legtöbbször számítógépre van szükség. A -as irodalom ismerteti a kézi formázású, szürkeöntvényből készült darabok regressziós egyenletét.

ti tényező). A tartó anyagának jobb kihasználása érdekében megkívánjuk, hogy a szélső szálban a maximális feszültség éppen az anyag megengedett feszültségével (s_m) legyen egyenlő. Ezt az ese­tet tekintjük kiindulási állapotnak. Amennyiben a keresztmetszet területét változatlannak tekintjük, de az alakját változtatjuk az 5. ábra szerint, akkor a ke-resztmetszeti tényező növekszik és ezáltal nő a teherbírás (2. táblázat).

2. táblázat. A tartó teherbírásának növekedése a keresztmetszet alakjának változtatásakor

A fentebbi példa mutatja, hogy a mechanikai ismeretekre alapozva el lehet érni az anyag jobb ki­használását és ezáltal gazdaságosabb szerkezetet kapunk. Ha e gondolatmenetet tovább folytatjuk, akkor eljutunk az egyenszilárdságú tartókhoz , melyeket különböző terhelések esetén bizonyos értelemben "optimális" alakúra tervezhetünk.

A következő fejezetrészben áttekintjük, hogy a műszaki optimálási problémát miként lehet ál­talánosan megfogalmazni.

A célfüggvény és a korlátozási feltételek felépítése

3.2.1. Az optimálási probléma változói

Minden optimálási feladat megfogalmazásakor el kell dönteni, hogy milyen értékeket tekintünk változóknak (ismeretleneknek). Szerkezetek tervezésekor általában a geometriai méretek lehetnek vál­tozók. Például egy tartó méretezésekor legtöbb esetben a keresztmetszet méretei szerepelhetnek isme­retlenként. Bizonyos esetekben változók lehetnek az anyagjellemzők is.

Technológiai folyamatok, rendszerek optimális méretezésekor ismeretlen lehet a nyomás, a hő­mérséklet, az idő, stb. Az optimális méretezés kezdeti szakaszában arra törekedtek, hogy a problémát minél több változóval írják le. A gyakorlati tapasztalatok azonban azt mutatták, hogy nem szükséges sok változót használni, hanem azokat kell ismeretlenként kezelni, melyekre a probléma leginkább érzé­keny. A szakirodalomban közölt publikációkból látható, hogy viszonylag kevés változó esetén is je­lentős súly- ill. költségmegtakarítás érhető el

3.2.2. A célfüggvény felépítése

Az optimálás kezdeti szakaszában a szerkezet tömegét vagy térfogatát tekintették célfüggvénynek és ennek minimumát keresték. A gyakorlati eredmények azonban azt mutatták, hogy a minimális tömegű, térfogatú szerkezetek nem a legkisebb költségűek. Az optimális méretezés fejlődésével párhuzamosan a költségfüggvény került előtérbe. Először az anyagköltség szerepelt célfüggvényként, majd később a gyár­tási-, üzemeltetési- és egyéb költségeket is beépítették. Elmondható, hogy minél körültekintőbben fogal­mazzuk meg a célfüggvényt, a modell annál jobban leírja a valóságot.

Szerkezetoptimálási feladatoknál gyakran a feszültségszintet igyekeztek minimálni és ezt te­kintették célfüggvénynek. Ebben az esetben is elmondható, hogy költség szempontjából nem biztos, hogy optimális a szerkezet. A szakirodalomban a célfüggvényre vonatkozóan számos egyéb példát ta­lálunk (pl. alakoptimálás), ez amiatt van, hogy gyakran a célfüggvényt a megoldandó feladatokhoz kell igazítani. Vannak olyan feladatok, ahol több célfüggvényt is választhatunk (2.2. fejezet) így eljutunk a több-célfüggvényes optimáláshoz.

3.2.3. A korlátozási feltételek megfogalmazása

A szerkezetektől, rendszerektől, stb. megkívánjuk, hogy elégítsenek ki bizonyos követelmé­nyeket. E követelményeket az optimálás során korlátozási feltételként fogalmazzuk meg. A korlá­tozások a feladattól függően nagyon különbözőek lehetnek, de vannak olyanok, melyek a műszaki problémák megoldásakor gyakran előfordulnak. Ilyenek lehetnek a feszültség- ill. alakváltozás korlátozások, melyek lényege a szerkezetben ébredő feszültségek ill. a létrejött alakváltozások ne haladják meg a megengedett vagy előírt értéket. A gyártástechnológiából szintén adódhatnak kor­látozások, amit ki kell elégíteni. Szerszámgépeknél, rezgésre hajlamos szerkezeteknél fontos, hogy ne jöjjenek létre káros rezgések emiatt rezgéscsillapítás-korlátozást szokás előírni. Ez különösen a rétegezett (szendvics) szerkezeteknél fordul elő. Különböző rendszereknél, folyamatoknál szükség van a megengedett hőmérséklet, nyomás, hőveszteség, stb. korlátozására, ami szintén korlátozási feltételeket eredményez. A geometriai méreteknek sok esetben egy bizonyos tartományon belül kell elhelyezkedniük, ezért e feltételeket geometriai korlátozásoknak nevezzük.

Az általános áttekintés után az optimális méretezésre különböző szakirodalmi ill. saját eredmé­nyeket mutatunk be. A bemutatott példákon az optimálás lényegét mutatjuk be, a részletekre nem té­rünk ki, hanem mindig megadjuk, hogy hol található meg a probléma részletes tárgyalása.

Az optimális méretezés alkalmazásai

A szerkezetoptimálás folyamata

A szerkezetoptimálást az ún. szerkezetszintézist a alapján három fő szakaszra bonthatjuk.

1. A mérnöki-tervezői előkészítő fázis (analízis):

az anyagok, a szerkezettípus, a gyártástechnológia megválasztása;

a korlátozási (méretezési) feltételek megfogalmazása a kutatási eredmények és előírások alap­ján;

a célfüggvény felépítése.

2. Matematikai munkafázis:

a célfüggvény minimumának meghatározása a korlátozási feltételek figye­lembevételével.

3. Mérnöki-tervezői értékelő, feldolgozó fázis:

érzékenység vizsgálat, méretezési diagramok kidolgozása, beépítés magasabb szintű rendsze­rekbe.

Az érzékenység vizsgálat azért fontos, mert az optimálás során a kapott eredményeket gyakran kerekíteni kell és emiatt eltérünk az optimális értékektől. Az érzékenység vizsgálat során meg kell vizsgálni, hogy a célfüggvény minimuma mennyire érzékeny a változók esetleges módosítására.

Az optimális méretezésnek a szerkezettervezésben történő alkalmazását szem­lé­letesen mutatja be -es könyv.

Csővezeték optimális szigetelőréteg vastagságának meghatározása

Az alábbiakban a alapján röviden ismertetjük a meleg közeget szállító csővezeték optimális szigetelőréteg vastagságának meghatározását. A 7. ábra a cső falában kialakult hőmérséklet eloszlást mu­tatja. Optimálás során ismeretlennek tekintjük a szigetelőréteg vastagságát (h₂). Az ábrán látható mennyisé­gek jelentése a következő: t_fl - a meleg közeg hőmérséklete; t₁, t₂, t₃, t₄ - a falhőmérséklet értéke a jelölt pontban; t_u - a környezeti (levegő) hőmérséklet; a ill. a - a cső belső falán ill. a szigetelt cső külső felüle­tén értelmezett hőátadási tényező; l - a csőfal hővezetési tényezője; l - a szigetelő réteg hővezetési té­nyezője; l - a szigetelést burkoló (alumínium) lemez hővezetési tényezője.

A célfüggvény (K) esetünkben az alábbi költségösszetevőket tartalmazza:

a szigetelést borító lemez költségét (K_a)

a lemez vágásának (K_v), peremezésének (K_p) és mivel szegecseléssel kapcsoljuk őket össze, ezért a szegecselés költségét (K_sz) is;

a csővezeték anyagköltségét (K_csa);

a cső tisztításának költségét (K_t);

a csőszakaszok egymáshoz hegesztésének költségét (K_h);

a szigetelőréteg elkészítésének (habosításának) költségét (K_hab);

a hőveszteség költségét (K_hő). A szigetelt cső külső felülete és a környezeti (levegő) hőmér­séklete között különbség van, emiatt a környezetbe hő adódik át. Ez különösen télen jelen­tős hőveszteséget okozhat.

7. ábra. Hőmérséklet-eloszlás a szigetelt cső falában

A fenti költségösszetevőket figyelembe véve a célfüggvény:

K=K_a+K_v+K_p+K_sz+K_csa+K_t+K_h+K_hab+K_hő.

A korlátozási feltételeket a feladat műszaki tartalmának megfelelően az alábbiak szerint fogal­mazzuk meg:

a megengedett hőveszteség korlátozása;

a szigetelt cső külső falhőmérsékletének korlátozása.

A megengedett hőveszteség értékét a műszaki hőtani ismeretek alapján tudjuk számítani. A hőveszteség mértékét azért kell korlátozni, mert ez téli időszakban, szabad térben üzemelő csővezeték esetén tekintélyes lehet. A hőveszteséggel összefüggésben van a külső falhőmérséklet, melynek értékét szintén korlátozni kell. A t₄ falhőmérséklet nem lehet nagyobb a megengedett t_m értéknél.

A 3. táblázat a költségfüggvény minimumát (K_min), ezen belül egy adott időszakra vonatkoz­tatva a hőveszteség költségét (K_hő) és az optimális szigetelőréteg vastagságát (h₂) ismerteti, d₁=100 mm belső átmérőjű és l=500 m hosszú csővezeték esetén.

3. táblázat. A költségminimum és az optimális szigetelőréteg vastagság változása különböző környezeti ill. falhőmérséklet esetén

A környezeti hőmérséklet (t_u) és a megengedett külső falhőmérséklet (t₄) változik.

A -os irodalomban egy kétrétegű hőszigeteléssel ellátott csővezeték optimális méretezésére találunk példát.

Biztosító gyűrűk tehermentesítő hornyainak optimálása

Ismeretes, hogy a tengelyeken levő hirtelen keresztmetszet változások feszültségkoncentrációt eredményeznek, ami jelentősen csökkentheti a tengelyek élettartamát. Ugyanakkor az is tény, hogy a kialakult feszültségkoncentrációt beszúrásokkal (tehermentesítő hornyokkal) csökkenteni lehet (8. ábra). A DIN 471 szerint biztosító gyűrűk (Seger-gyűrűk) alkalmazásakor általában derékszögű-négy­szög alakú hornyokat készítenek, melyek jelentős feszültségszint emelkedést okozhatnak.

8. ábra. A főhorony és a tehermentesítő horony kialakítása

Ebben az esetben felvetődik a kérdés, hogy a feszültségkoncentrációt milyen geometriai kialakítású ho­ronnyal lehet hatékonyan csökkenteni. E kérdésre a -es irodalomban bemutatott megoldással lehet válaszolni. A feszültségkoncentráció a bruttó alaktényezővel szoros összefüggésben van.

Esetünkben célfüggvénynek tehát a főhorony bruttó alaktényezőjét tekintjük és ezt kívánjuk mi­nimális értékre szorítani úgy, hogy ismeretleneknek a főhorony lekerekítési sugarát (r), valamint a te­hermentesítő horony mélységét (t_E) és lekerekítési sugarait (r_E1, r_E2) tekintjük. A célfüggvény (a bruttó alaktényező):

ahol c_a, c₀ és c₁ állandók.

A korlátozási feltételek megfogalmazásakor ügyelni kell arra, hogy a baloldali és a jobboldali tehermentesítő horony (8. ábra) bruttó alaktényezője ne legyen nagyobb a főhorony (középső) alakté­nyezőjénél, mert akkor megszűnik a tehermentesítő hatás. Ennek megfelelően az alaktényezőre vonat­kozó korlátozási feltételek:

a_kE1£a_kH

a_kE2£a_kH

ahol:

ahol c₂, c₃ állandók.

A változók értékeire vonatkozó korlátozási feltételek az alábbiak:

r£0,1s,

£r_E1£t,

£r_E2£t,

£t_E£2t,

ahol s a gyűrű vastagsága.

A célfüggvény és a korlátozási feltételek megfogalmazása után konkrét értékekkel megoldottuk az optimálási feladatot.

A horony optimális geometriai méretei: r_E1=0,62 mm; r_E2=1,25 mm; t_E=1,45 mm; r=0,15 mm.

Az optimális kialakítású horonynál végeselemes módszerrel kiszámítottuk a feszültségeket a főhoronyban (s_max,H=236 N/mm²) és a tehermentesítő horonyban az 1-es és 2-es sugárnál (s_max,E1=233 N/mm²; s_max,E2=237 N/mm²). Az eredményből látható, hogy a maximális feszültségek a főhoronyban és a tehermentesítő horonyban szinte megegyeznek, ami gyakorlati szempontból kedvező. Az optimá­listól eltérő geometriai kialakítású hornyokat is vizsgáltunk, de a kapott értékek a várakozásnak meg­felelően rosszabbak lettek. A számítási eredményeket a kísérleti vizsgálatok igazolták.

Rácsos tartószerkezet optimálása

A rácsos szerkezetek optimálására vonatkozóan számos szakirodalmi példát találunk. Az opti­málási feladatoknál legtöbbször két eset fordul elő:

adott a szerkezet geometriai kialakítása és emiatt ismeretlenként a rúdkeresztmetszetek szere­pelnek;

a szerkezet geometriai kialakítása nincs mereven lerögzítve, ezért a geometriai kialakítást is optimálni kell.

Célfüggvénynek:

a szerkezet térfogatát (f₁(x));

a 2-es csomópont elmozdulását (f₂(x)) és

a 3-as csomópont elmozdulását (f₃(x)) választjuk.

Mivel három célfüggvénnyel állunk szemben, ezért a feladat a 2.2 fejezet szerint a több cél­függvényes optimálás módszereivel oldható meg. Az egyik megoldási módszer az ún. súlyozásos mód­szer, melynek lényege, hogy a célfüggvényeket megszorozzuk a súlyozó tényezővel (w_i) majd össze­adással egyetlen célfüggvényt állítunk elő:

w_i³

Látható, hogy a súlyozó tényezőknek nullánál nagyobbnak kell lenniük, összegük pedig egy.

9. ábra. A rácsos tartó felépítése

A 9. ábrán látható tartó geometriai kialakítását adottnak tekintjük és ismeretlennek a négy rúd keresztmetszetét (A_i) választjuk. Ily módon a célfüggvények:

a szerkezet térfogata

ahol l_i az egyes rudak hossza;

a 2-es csomópont elmozdulása

f₂(x)=u₁,

a 3-as csomópont elmozdulása

f₃(x)=u₂.

A korlátozási feltételek az egyes rudak minimális keresztmetszetére vonatkoznak, vagyis egy minimális értéknél (A_imin) nagyobbnak kell lenniük:

A_imin£A_i,                i=1, 2,., 4.

A tartó optimálásához az alábbi értékeket tekintjük állandónak:

F=10 kN; E=210 GPa; L=2 m; A_imin=0,001 m².

A számítások eredményeit a 4. táblázat foglalja össze.

4. táblázat. A rácsos tartó optimálásának eredményei

A 4. táblázatból látható, hogy ha a szerkezet térfogatát nagyobb súlyozó tényezővel vesszük fi­gyelembe, akkor az elmozdulások viszonylag nagyok lesznek, a térfogat azonban kicsi. Ha a csomó­pontok elmozdulását csökkenteni kívánjuk, akkor meg kell növelni a súlyozó tényezőjüket (w₂=0,45; w₃=0,45). Ebben az esetben egy nagyobb térfogatú, merevebb szerkezetet kapunk. Az eredményekből látható, hogy több célfüggvényes optimáláskor vizsgálható az egyes célfüggvények fontossága és ehhez kapcsolódóan az optimális megoldás érzékenysége.

Az evolúciós algoritmus alkalmazása tartószerkezet optimálására

A utóbbi években az optimálás terén előretört az evolúciós algoritmusok alkalmazása. A mód­szert nemcsak szerkezetoptimálásra, hanem a legkülönbözőbb típusú feladatok megoldására használják. A -es irodalomban szemléletes példát találunk egy üvegház paramétereinek optimálására. A -es irodalom bemutatja az evolúciós szerkezetoptimálást, majd számos alkalmazást ismertet. A módszer lényege, hogy a szerkezetet végeselemekre bontja, majd a kevésbé igénybe vett elemeket eltávolítja és így valójában egy feszültségre kihasznált konstrukciót kapunk. Az eltávolítás a megadott mértékig folytatódik úgy, hogy a megoldás fokozatosan az optimum felé halad. Az egyes elemekben a redukált feszültségeket a Huber-Mises-Hencky elmélet alapján számítja. A szerkezet optimális alakját az ún. csökkentési arány (RR) szerint számítja:

További alkalmazások

Az optimális méretezés gyakorlati alkalmazására vonatkozóan számos példát találunk a szak­irodalomban. Közülük néhány érdekesebb megoldást célszerű megemlíteni. A -as irodalom tárcsa­fék, hőcserélő axiális ventilátor optimálását mutatja be. A -ben egyéb alkalmazások mellett ágyú­cső, a -as cikkben egy villáskulcs alakoptimálását követhetjük nyomon. A példákat tovább lehetne folytatni mivel az optimálás témakörében már nemzetközi konferenciákat rendeznek és folyóiratok je­lennek meg. Elmondható, hogy az optimálás ma már a mérnöki gyakorlat részévé vált.

Könyvészet

Rao, S.S.: Optimization theory and applications, Wiley Eastern Limited, New Delhi, 1984.

Belegundu, A.D.-Chandrupatla, T.R.: Optimization concepts and application in engineering, Prentice Hall, Upper Saddle River, 1999.

Washizu, K.: Variational methods in elasticity and plasticity, Pergamon Press, Oxford, 1982.

Dantzig, G.B.: Linear programming and extensions, Princeton University Press, Princeton, NJ,1963.

Kuhn, H.W.-Tucker, A.: Nonlinear programming, Proc. of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. University of California Press, Berke­ley, 1951.

Schmit, L.A.: Structural design by systematic synthesis, Proc. of the Second Conference on Electronic Computation, ASCE, New York, 1960. p.:105-122.

Caroll, C.W.: The created response surface techniques for optimizing nonlinear, restrained systems, Operations Research 9(1961), No.2. p.:169-184.

Fiacco, A.V.-McCormick, G.P.: Nonlinear programming: sequential unconstrained minimization techniques, Wiley, New York, 1968.

Duffin, R.J.-Peterson, E.-Zener,C.: Geometric programming, Wiley, New York, 1967.

Hernandez, S.-El-Sayed, M.-et al.(ed.): Structural optimization. Computer Aided Opti­mum Design of Structures IV. Computation Mechanics Publications, Southampton, 1995.

Pohlheim, H.: Evolutionäre Algorithmen, Springer-Verlag, Berlin, 1999.

Xie, Y.M.-Steven, G.P.: Evolutionary Structural Optimization, Springer-Verlag, Berlin, 1997.

Ehrenspiel, K.-Kiewert, A.-Lindemann, U.: Kostengünstig Entwickeln und Konstruieren, Springer-Verlag, Berlin, 1978.

Pahl, G.-Beelich,K.H.: Kostenwachstumgesetze nach Ähnlich-keitsbeziehungen für Schweibverbindungen, VDI-Berichte. Nr.457, 1982. p.:129-141.

Glimm, G.: Früherkennung der Entwicklungs- und Konstruktionskosten, VDI-Berichte. Nr.457, 1982. p.:173-193.

Pahl, G.-Beelich, K.H.: Methoden zur Kostenerkennungi Konstruktion 39(1987) No.7, p.:267-274.

Busch, W.: Fünf Jahre Erfahrung mit Relativkosten in der Industrie. VDI-Berichte, Nr.457, 1982. pp.:53-60.

Pacyna, H.-Hillebrand, A.-Rutz, A.: Kostenfrüherkennung für Gubteile, VDI-Berichte, Nr.457, 1982. pp.:103-114.

Pahl, G.-Rieg, F.: Kostenwachstumsgesetze für Baureihen, Carl Hauser Verlag, München, 1984.

Rachor, N.: Kostengünstig gestalten mit Operationselementen und Kostenstrukturen, TH Darmstadt, 1986.

Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981.

Farkas J.-Timár I.: Fémszerkezetek optimális méretezése, BME Továbbképző Intézet. Buda­pest., 1985.

Farkas J.: Optimum design of metal structures, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1984.

Jármai K.-Iványi M.: Gazdaságos fémszerkezetek analízise és tervezése, Műegyetemi Ki­adó, Budapest, 2001.

Timár I.-Borbély T.: Optimization of insulated pipelines, Publ.Univ.of Miskolc, Series C. Mechanical Engineering, Vol.47. (1997) pp.:253-258.

Timár I.-Árpád I.: Csővezetékek hőszigetelésének optimálása, Energiagazdálkodás 27(1986), pp.: 449-459.

Bordás K.-Heinrich, J.-Timár I.: Optimierung von Entlastungskerben an Sicherungsringnuten, Konstruktion 37(1985), pp.:61-65.

Siddal, J.N.: Optimal Engineering design, Marcel Dekker, New York, 1982.

Haug, E.J.-Arora, J.S.: Applied Optimal design, Wiley&Sohns, New York, 1979.

Herskovits, J.-Dias, G.-Santos, G.-et al.: Shape structural optimization with an interior point nonlinear programming algorithmeni Struct. Mulidisc. Optim 20(2000), pp.:107-115.