|  | ||||||||
|  | ||||||||
| | ||||||||
| | ||||||||
 |
kategória |  |
||||||||
|
|
||||||||||
 |
 |
|
|
|
|
|
||
|
|
Klimatológiai statisztika
A kiadott gyakorló
feladatok megoldása
1. Feladat
Tihanyban 22 év során 37 napon fordult elõ 30 mm-t meghaladó 24 órai csapadék. Milyen valószínûséggel várható olyan év, amikor nem fordul elõ 30 mm-t meghaladó csapadékmennyiség.
Alapkérdés:
Adott p valószínûségi alternatív esemény n esetbõl k-szori bekövetkezése milyen valószínûséggel várható.
Feladat típusMivel az alapkérdést alkalmazhatjuk és p = = 0,00467721 è p< 0,03
Ezért Poisson eloszlást alkalmazzuk.
Meghatározzuk a Poisson eloszlás paramétereit:
Paraméterek
n · p ; k
 |
n · p = 365 · = = 1,681818
k = 0
Felírjuk a Poisson eloszlás képletét:
 |
P(k ; n · p) = e = 2,72
Behelyettesítünk a képletbe:
k = 0 ; n · p = 1,681818
 |
P(0 ; 1,681818) =
P(0 ; 1,681818) = 0,1860
Válaszolunk a feladatra:
Tehát annak a valószínûsége, hogy a kiindulási paraméterek szerint Tihanyban egy adott év során nem fordul elõ 30 mm-t meghaladó csapadékmennyiség 18,6% a valószínûsége.
2. Feladat
Egy hegycsúcsra telepítendõ TV-torony mûszaki tervezéséhez szükséges annak ismerete, hogy egy adott évben 3 villámcsapás éri a csúcsot. A környéken végzett megfigyelések szerint 8 év során 19 db - hegycsúcsot ért - villámcsapást jegyeztek fel. Mekkora annak a valószínûsége, hogy egy évben 3 villámcsapás érje a csúcsot?
Alapkérdés:
Adott p valószínûségi alternatív esemény n esetbõl k-szori bekövetkezése milyen valószínûséggel várható.
Feladat típusMivel az alapkérdést alkalmazhatjuk és p = = 0,006506849 è p< 0,03
Ezért Poisson eloszlást alkalmazzuk.
Meghatározzuk a Poisson eloszlás paramétereit:
Paraméterek
n · p ; k
 |
n · p = 365 · = = 2,375
k = 3
Felírjuk a Poisson eloszlás képletét:
|
P(k ; n · p) = e = 2,72
Behelyettesítünk a képletbe:
k = 3 ; n · p = 2,375
 |
P(3 ; 2,375) =
P(3 ; 2,375) = 0,207677858
Válaszolunk a feladatra:
Tehát annak a valószínûsége, hogy egy évben 3 villámcsapás érje a hegycsúcsot 20,767%.
3. Feladat
Mi annak a valószínûsége, hogy egy adott helyen az év 12 hónapjából egynek sem lesz magasabb a középhõmérséklete a felsõ kvartilisnél?
Alapkérdés:
|
 |
Feladat típusBinomiális, mert p = 0,75
Meghatározzuk a Binomiális eloszlás paramétereit:
Paraméterek
p = 0,75
n = 12
k = 12
Felírjuk a Binomiális eloszlás képletét:
 |
|||
|
|||
P(k ; n ) = ·
Behelyettesítünk a képletbe:
 |
|||
|
P(12 ; 12) = ·
P(12 ; 12) = 0,03167
Válaszolunk a feladatra:
Tehát annak a valószínûsége, hogy egy adott helyen az év 12 hónapjából egyiknek sem lesz magasabb a középhõmérséklete 3,167%.
4. Feladat
Winnipegben a januári középhõmérséklet -17,7°C a szórása pedig 4,1°C.
Normális eloszlást feltételezve határozzuk meg annak a középre szimmetrikus intervallumnak a végpontjait, amelyek közé az összes érték 50%-a esik!
Mivel hõmérsékletrõl van szó, ezért Normál eloszlást alkalmazunk.
Meghatározzuk a Normális eloszlás paramétereit:
Paraméterek
m = -17,7
σ = 4,1
Oldjuk meg grafikusan a feladatot:
Annak a valószínûsége, hogy bármely X érték
kisebb legyen Xa - nál 25%
kisebb legyen Xb -nél 75%
P( X < Xa ) = F( Xa ) = 25%
P( X < Xb ) = F (Xb) = 75%
Annak a valószínûsége, hogy
P(Xa < X < Xb) = P(X < Xb) - P(X < Xa) = F(Xb) - F(Xa) = 75% -25% = 50%
Oldjuk meg számszerûen:
|
|
X è == da è = da
F( da ) = 25% è da = -0,678
Xa = 4,1* ( - 0,678 ) + (-17,7 )
Xa = - 20,4798
F(d b ) = 75% è d b = 0,678
Xb = 4,1 · 0,678 + (-17,7)
Xb = -14,9202
Xb = ( m - Xa) + m
Xb = (-17,7 - (-20,4798) ) + (-17,7 )
Xb = -14,9202
Válaszolunk a feladatra:
Tehát a kiindulási paraméterek szerint [ 14,9202 ;20,4798 ] intervallum az, amelybe a közepek 50%-os valószínûséggel esnek.
5. Feladat
Egy idõszakos növényfaj létfeltételeihez szükséges, hogy a vegetációs idõszakban uralkodó havi középhõmérsékletek legalább 40%-a 12°C fölött legyen. Az A és B észlelõhelyeken a vegetációs idõszak havi közepeinek megfelelõ paraméterei a következõk:
A: m=11,5°C σ = 1 °C
B: m=11,0°C σ = 4 °C
Mivel hõmérsékletrõl van szó, ezért Normál eloszlást alkalmazunk.
Meghatározzuk a Normális eloszlás paramétereit:
Paraméterek
ma = -17,7 mb = 11,0
σa = 4,1 σb = 4
Oldjuk meg grafikusan a feladatot:
Annak a valószínûsége, hogy a havi középhõmérsékletek legalább 40%-a
12°C fölött csak F( Xa) , F(
Xb ) = 60%-nál Xa , Xb ≥ 12°C esetén
lehet.
Oldjuk meg számszerûen:
|
|
X è == da è = da
F( da ) = 60% è da = - 0,254
Xa = 1* (- 0,254 ) + 11,5
Xa = 11,754
F( db ) = 60% è db = - 0,254
= 4 · (- 0,254 ) + 11,0 111d34b
Xa = 12,017
Válaszolunk a feladatra:
Tehát a kiindulási paraméterek szerint az A észlelõhelyen nem lehetséges az adott növényfaj léte, de a B észlelõhelyen lehetséges!
6. Feladat
Szegeden az 1901-1960 közötti 60 év adatai alapján a júniusi középhõmérsékletek 20,5°C. Kizárólag a hõmérsékletek feltételezetten normális eloszlását felhasználva határozzuk meg a júniusi középhõmérsékletek szórását, ha tudjuk, a vizsgált 60 június közül 11-nek volt a középhõmérséklete legalább 22°C.
Mivel hõmérsékletrõl van szó, ezért Normál eloszlást alkalmazunk.
Meghatározzuk a Normális eloszlás paramétereit:
Paraméterek:
m = 20,5
x = 22
F(d) = 1-11/60 = 100% - 18,33% = 81,66%
Oldjuk meg grafikusan a feladatot:
F(d) = 81,66% ezért d = 0,907
X >= 22-nál, aminek 18,33% esélye van
Így az X =< 22-nek 81,66% esélye van
Oldjuk meg számszerûen:
|
|||
|
|||
= d è σ = = da
= = 1,654
Válaszolunk a feladatra:
Tehát a kiindulási paraméterek szerint a szórás 1,654°C
. Feladat
Tekintsünk egy adott helyre vonatkozó több éves hõmérsékleti sort. Ez a hõmérsékleti sor havi közepekbõl áll. Annak a valószínûsége, hogy egy tetszõleges hónap középhõmérséklete a több éves sor közepe fölötti 0,5 . Kiválasztva egy tetszõleges évszakot, mi a valószínûsége annak, hogy abban egyetlen hónap középhõmérséklete sem lesz a több éves sor átlaga
a) felett
b) alatt?
Adott p = 0,5 valószínûségi alternatív esemény n esetbõl k-szori bekövetkezése milyen valószínûséggel várható.
Feladat típus:
Binomiális, mert p = 0,5
Meghatározzuk a Binomiális eloszlás paramétereit:
Paraméterek:
p = 0,5
n = 3;3
k = 0;3
Felírjuk a Binomiális eloszlás képletét:
|
P(k ; n) = · pk · (1 - p) n-k
a)
P(0 ; 3) = · 0,50 · (1 - 0,5) 3-0
P(0 ; 3) = 0,125
(ha egy sincs az átlag felett)
P(3 ; 3) = · 0,53 · (1 - 0,5) 3-3
P(3 ; 3) = 0,125
(ha egy sincs az átlag alatt)
Válaszolunk a feladatra:
Tehát annak a valószínûsége, hogy egyetlen hónap:
középhõmérséklete sem lesz a több éves sor átlaga felett: 12,5%
középhõmérséklete sem lesz a több éves sor átlaga alatt: 12,5%
8.Feladat
Szombathelyen 140 év áprilisi középhõmérséklete 9,7°C, a szórás 2,3°C. Határozzuk meg az április középhõmérsékletek alsó és felsõ kvartilisét!
Mivel hõmérsékletrõl van szó, ezért Normál eloszlást alkalmazunk.
Meghatározzuk a Normális eloszlás paramétereit:
m = 9,7
σ = 2,3
F(dalsó) = 25,00% è d= - 0,678
F(dfelsõ) = 75,00% è d= 0,678
Grafikusan a feladat:
 |  |  |
Oldjuk meg számszerûen:
|
= d è x = d σ + m
Xalsó = - 0,678 · 2,3 + 9,7 = 8,14
Xfelsõ = 0,678 · 2,3 + 9,7 = 11,26
Válaszolunk a feladatra:
Tehát az áprilisi középhõmérsékletek
Alsó kvartilise: 8,14
Felsõ kvartilise: 11,26
9.Feladat
Szegeden a júniusi középhõmérséklete 20,4°C, a szórás 1,2°C. Határozzuk meg annak a számtani középre szimmetrikus intervallumnak az alsó és felsõ határát, amelybe normális eloszlás esetén 2/3 valószínûséggel esnek az értékek!
Mivel hõmérsékletrõl van szó, ezért Normál eloszlást alkalmazunk.
Meghatározzuk a Normális eloszlás paramétereit:
m = 20,4
σ = 1,2
F(dalsó) = ( 1 - 2/3 )/2 = 1/6 = 16,67% è d= - 0,97
F(dfelsõ) = ( 1 - 2/3 )/2 +2/3 = 5/6 = 83,33% è d= 0,97
Grafikusan a feladat:
 |  |
Oldjuk meg számszerûen:
|
= d è x = d σ + m
Xalsó = - 0,678 · 1,2 + 20,4 = 19,236
Xfelsõ = 0,678 · 1,2 + 20,4 = 21,564
Válaszolunk a feladatra:
Tehát a júniusi középhõmérsékletek 2/3-os valószínûséggel esnek a
[ 19,236 ; 21,564 ] intervallumba.
10.Feladat
Hódmezõvásárhelyen a 20 mm-t meghaladó napi csapadék átlagos gyakorisága 4 nap. Mi a valószínûsége annak, hogy egyszer sem fordul elõ egy évbe és annak, hogy 5 alkalommal fordul elõ egy évben 20 mm-t meghaladó napi csapadékösszeg.
Alapkérdés:
Adott p valószínûségi alternatív esemény n esetbõl k szori bekövetkezése milyen valószínûséggel várható.
Mivel az alapkérdést alkalmazhatjuk és p = = 0,01095 è p < 0,03 ezért a Poisson eloszlást alkalmazzuk.
Meghatározzuk a Poisson eloszlás paramétereit:
Paraméterek:
n · p ; k
n · p = 365 · = 4
k = 0 ; 5
Felírjuk a Poisson eloszlás képletét:
|
P(k ; n · p) = e = 2,72
Behelyettesítünk a képletbe:
k = 0;5 ; n · p = 4
 |
P(0 ; 4) =
P(0 ; 4) = 0,0183
 |
P(5 ; 4) =
P(5 ; 4) = 0,1562
Válaszolunk a feladatra:
Tehát annak a valószínûsége, hogy egy évben 20 mm-t maghaladó csapadék
0 alkalommal fordul elõ: 1,83%.
5 alkalommal fordul elõ: 15,62%.
11.Feladat
Budapest belterületén és külterületén 1975 júliusának és augusztusának 21 órai hõmérsékletei a következõ módon oszlanak meg:
|
°C |
|
|
|
|
|
|
|
Belterület |
|
|
|
|
|
|
|
Külterület |
|
|
|
|
|
|
Kimutatható-e, hogy a külterülethez képest a belterület esti hõmérsékletei szignifikánsan eltérnek?
Nem mutatható ki szignifikáns eltérés a belterület és a külterület között.
Feladat típusa:
χ2 próba. Homogenitás vizsgálat.
A feltételezett értékek meghatározása ( az osztás közi gyakorisági értékeket )
|
°C |
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
Belterület |
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
Külterület |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1;1 = |
|
|
F2;1 = |
|
|
|
F1;2 = |
|
|
F2;2 = |
|
|
|
F1;3 = |
|
|
F2;3 = |
|
|
|
F1;4 = |
|
|
F2;4 = |
|
|
|
F1;5 = |
|
|
F2;5 = |
|
|
Végezzük el a χ2 próbát:
|
n i=1 |
( Éi - Fi ) Fi |
K= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( azért van kettõvel szorozva, mert a sor/oszlop összegek megegyeznek így az F is )
K= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SzF = ( 2 - 1) · ( 5 - 1 ) = 4
χ40,05 > K tehát a Null - hipotézis teljesül.
Válaszolunk a feladatra:
Tehát a Null - Hipotézis teljesül. Azaz: Nem mutatható ki szignifikáns eltérés a külterület és a belterület esti kõmérsékletei között (lényeges eltérést nem mutat).
12.Feladat
Egy ipari városban légszennyezettség-gátló berendezésekkel csökkentették a levegõbe jutó égéstermékek mennyiségét. A beavatkozás elõtti 10 és a beavatkozás utáni 3 éven átvégzett megfigyelések szerint 13 órakor a jó, a közepes és rossz látástávolság az alábbi esetszámban volt megfigyelhetõ:
|
Látástávolság |
jó |
közepes |
rossz |
|
|
Beavatkozás elõtt |
|
|
|
|
|
Beavatkozás után |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A Null - Hipotézis felvetése:
Nem mutatható ki lényeges eltérés a két minta között ( azaz nem mutatható ki a mûszaki beavatkozás a város levegõjének tisztulásában )
Feladat típusa:
χ2 próba. Homogenitás vizsgálat.
A feltételezett értékek meghatározása ( az osztás közi gyakorisági értékeket )
|
Látástávolság |
jó |
közepes |
Rossz |
|
|
F |
|
|
|
|
|
Beavatkozás elõtt |
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
Beavatkozás után |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1;1 = |
|
|
F2;1 = |
|
|
|
F1;2 = |
|
|
F2;2 = |
|
|
|
F1;3 = |
|
|
F2;3 = |
|
|
Végezzük el a χ2 próbát:
|
n i=1 |
( Éi - Fi ) Fi |
K= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SzF = ( 2 - 1) · ( 3 - 1 ) = 2
χ20,05 < K tehát a Null - hipotézis nem teljesül.
Válaszolunk a feladatra:
Tehát a Null - Hipotézis nem teljesül. Azaz: Igen, kimutatható a mûszaki beavatkozás a város levegõjének tisztulásában (a két minta lényeges eltérést mutat).
13.Feladat
Bresztben 60 év során a legcsapadékosabb évszakok megoszlása a következõ volt:
|
Tél |
Tavasz |
Nyár |
Õsz |
|
|
|
|
|
Fenntartható-e az az állítás, hogy Bresztben a csapadékmaximum egyenlõ eséllyel várható bármely évszakban?
A Null - Hipotézis feltevése:
A csapadékmaximum egyenlõ várható bármely évszakban.
Feladat típusa:
χ2 próba. Tiszta illeszkedéses vizsgálat.
Határozzuk meg az F értékeket ( az osztás közi gyakorisági értékeket )
60/4 = 15 minden évszakra.
|
|
Tél |
Tavasz |
Nyár |
Õsz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
Végezzük el a χ2 próbát:
|
n i=1 |
( Éi - Fi ) Fi |
K= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SzF = ( 2 - 1) · ( 4 - 1 ) = 3
χ30,05 > K tehát a Null - hipotézis teljesül.
Válaszolunk a feladatra:
Tehát a Null - Hipotézis teljesül. Azaz: A csapadékmaximum egyenlõ eséllyel várható bármely évszakban. Igen, az állítás fenntartható.
14.Feladat
Sopronban az 1971 - 1975 közötti 5 év júniusi napjai közül 82 volt csapadékos. Adjunk 95%-os megbízhatósági becslést a csapadék valószínûségére júniusban!
Valószínûség konfidencia intervallum
|
p = |
|
|
( 54,7% ) |
|
|
n = 150
a választott valószínûségi szint 5% è d = 1,96
Oldjuk meg számszerûen a feladatot:
p = 0,547 ; n = 150 ; d = 1,96
|
σp = |
|
p(1 - p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
p1 = p - dσ = 0,547 - 1,96 · 0,0406 = 0,467
p2 = p + dσ = 0,547 + 1,96 · 0,0406 = 0,627
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 = 0,467 |
p = 0,547 |
P2 = 0,627 |
|||
Válaszolunk a feladatra:
Tehát a 95%-os megbízhatósági becslés a csapadék valószínûségére
[P1 ; P2 ] = [ 0,467 ; 0,627] .
15.Feladat
Pécset 80 év megfigyelései alapján az augusztusi középhõmérséklet: 21,7°C, a szórás 1,3°C. Az értékek az alábbi módon oszlanak meg:
|
18-19°C |
19-20°C |
20-21°C |
21-22°C |
22-23°C |
23-24°C |
24-25°C |
|
|
|
|
|
|
|
|
Igazolható-e, hogy az adatok a normális eloszlás szerint oszlanak meg?
A Null - Hipotézis felvetése:
Nincs lényeges eltérés az adatok eloszlása és a normális eloszlás között.
Feladat típus:
χ2 próba. Becsléses illeszkedéses vizsgálat.
Paraméterek meghatározása:
A normális eloszlás paraméterei a minta paraméterei.
m = 21,7°C ; σ = 1,3°C
Normális eloszlást feltételezve határozzuk meg az F értékeket ( az osztás közi gyakorisági értékeket):
|
|
18-19;19-20°C |
20-21°C |
21-22°C |
22-23°C |
23-24;24-25°C |
|
|
Belterület |
|
|
|
|
|
|
|
Külterület |
|
|
|
|
|
|
|
x -m |
= d ; p = |
k |
→ k = p · n ; n = 80 |
||
|
|
n |
||||
|
x = 20 → |
|
= - 1,31 = d → F(d) = 9,80% → p = 0,10; k = 0,10 · 80 = 8 |
|||
|
x = 21 → |
|
= - 0,54 = d → F(d) = 29,19% → p = 0,29 - 10 = 0,19; k = 0,19 · 80 = 15 |
|||
|
x = 22 → |
|
0,23 = d → F(d) = 58,00% → p = 0,58 - 0,29 = 0,29; k = 0,29 · 80 = 23 |
|||
|
x = 23 → |
|
1,00 = d → F(d) = 84,13% → p = 0,84 - 0,58 = 0,26; k = 0,26 · 80 = 21 |
|||
|
x = 24 → |
|
1,77 = d → F(d) = 96,41% → p = 0,96 - 0,84 = 0,12; k = 0,12 · 80 = 10 |
|||
A maradék pedig: 80-8-15-23-21-10 = 3, ami a 24-25°C közötti
Végezzük el a χ2 próbát:
|
N i=1 |
( Éi - Fi ) Fi |
K= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SzF = ( 2 - 1) · ( 5 - 1 ) = 4
χ40,05 > K tehát a Null - hipotézis teljesül.
Válaszolunk a feladatra:
Tehát a Null - Hipotézis teljesül. Azaz: Nincs lényeges eltérés a minta és a normális eloszlás között. Igen, igazolható, hogy az adatok a normális eloszlás szerinti oszlanak meg.
16.Feladat
Orosházán a megfigyelési sor alapján júliusban idõszakban a 30°C fölötti maximum hõmérséklet bekövetkezési valószínûsége 30%. Két év során elõfordult 21 anticiklonális idõjárású július nap közül 14-en emelkedett a hõmérséklet 30°C fölé. Jelentõsen befolyásolja-e az anticiklonális idõjárás a nyári hõség kialakulását?
Nincs lényeges eltérés a 30°C fölötti maximum hõmérséklet bekövetkezési valószínûsége között, anticiklonális idõjárású napokon és a szokásos között.
Valószínûség konfidencia intervallum.
Paraméterek meghatározása
P = 0,30 (30%)
|
p = |
|
|
( 67% ) |
|
|
n = 21
a választott valószínûségi szint 5% è d = 1,96
Oldjuk meg számszerûen a feladatot:
P = 0,30 ; p = 0,67 ; n = 21 ; d = 1,96
|
σp = |
|
p(1 - p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
p1 = p - dσ = 0,67 - 1,96 · 0,103 = 0,47
p2 = p + dσ = 0,67 + 1,96 · 0,103 = 0,87
Döntünk a Null - Hipotézis teljesülése ill. nem teljesülése között:
Nem igaz, hogy P [P1 ; P2 ] ezért a Null - Hipotézis nem teljesül.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P = 0,30 |
p1 = 0,47 |
p = 0,67 |
p2 = 0,87 |
|
||||
Válaszolunk a feladatra:
Tehát mivel P Ï [P1 ; P2 ] azaz 0,30 Ï [ 0,47 ; 0,87 ] ezért a Null - Hipotézis nem teljesül. Azaz az anticoklonális idõjárású napokon a 30°C fölötti maximum hõmérséklet bekövetkezési valószínûsége a szokásostól lényegesen eltér (nagyobb). Igen, jelentõsen befolyásolja az anticiklonális idõjárás a nyári hõség kialakulását.
17.Feladat
Siófokon 10 év összes júniusi napja közül 75-ön jegyeztek fel 10 m/s-nál nagyobb széllökést. Ugyanezen idõszak 60 zivataros napja közül 33-on fordult elõ ekkora értékû szélsebesség. Kimondható-e, hogy zivataros napokon jelentõsen nagyobb az erõs szél bekövetkezési valószínûsége?
Nincs lényeges eltérés az erõs szél csapadék bekövetkezési valószínûsége között Siófokon júniusban, a zivataros napokon és a szokásos között.
Valószínûség konfidencia intervallum.
Paraméterek meghatározása:
|
P = |
|
|
( 25% ) |
|
|
|||
|
p = |
|
|
( 55% ) |
|
|
n = 60
a választott valószínûségi szint 5% è d = 1,96
Oldjuk meg számszerûen a feladatot:
P = 0,25 ; p = 0,55 ; n = 60 ; d = 1,96
|
σp = |
|
p(1 - p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
p1 = p - dσ = 0,55 - 1,96 · 0,064 = 0,42
p2 = p + dσ = 0,55 + 1,96 · 0,064 = 0,68
Döntünk a Null - Hipotézis teljesülése ill. nem teljesülése között:
Nem igaz, hogy P [P1 ; P2 ] ezért a Null - Hipotézis nem teljesül.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P = 0,25 |
p1 = 0,42 |
p = 0,55 |
p2 = 0,68 |
|
||||
Válaszolunk a feladatra:
Tehát mivel P Ï [P1 ; P2 ] azaz 0,25 Ï [ 0,42 ; 0,68 ] ezért a Null - Hipotézis nem teljesül. Azaz az zivataros napokon az erõs szél bekövetkezési valószínûsége a szokásostól lényegesen eltér (nagyobb az erõs szél bekövetkezési valószínûsége). Igen, kimutatható, hogy zivataros napokon jelentõsen nagyobb az erõs szél bekövetkezési valószínûsége.
18. Feladat
San Cristobal (Galápagosz-szg) megfigyelõ helyen az átlagosnál csapadékosabb március bekövetkezési valószínûsége 46%. 11 olyan márciusi hónapból, amikor a környezõ tenger vizének hõmérséklete legalább 1°C-al melegebb volt a szokásosnál, 8 volt az átlagosnál csapadékosabb. Igazolható-e, hogy meleg tenger környezetében a szokásosnál több a csapadék?
Nincs lényeges eltérés az erõs szél csapadék bekövetkezési valószínûsége között akkor, amikor a környezõ tenger hõmérséklete legalább 1°C -al melegebb és a szokásos között.
Valószínûség konfidencia intervallum.
P = 0,46 (46%)
|
p = |
|
|
( 73% ) |
|
|
n = 11
a választott valószínûségi szint 5% è d = 1,96
Oldjuk meg számszerûen a feladatot:
P = 0,46 ; p = 0,73 ; n = 11 ; d = 1,96
|
σp = |
|
p(1 - p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
p1 = p - dσ = 0,73 - 1,96 · 0,134 = 0,47
p2 = p + dσ = 0,73 + 1,96 · 0,134 = 0,99
Döntünk a Null - Hipotézis teljesülése ill. nem teljesülése között:
Nem igaz, hogy P [P1 ; P2 ] ezért a Null - Hipotézis nem teljesül.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P = 0,46 |
p1 = 0,47 |
p = 0,73 |
p2 = 0,99 |
|
||||
Válaszolunk a feladatra:
Tehát mivel P Ï [P1 ; P2 ] azaz 0,46 Ï [ 0,47 ; 0,99 ] ezért a Null - Hipotézis nem teljesül. Azaz amikor a környezõ tenger hõmérséklete legalább 1°C-al melegebb és a szokásosnál, akkor a csapadék valószínûsége a szokásosnál több. Igen, igazolható, hogy meleg tenger környezetben a szokásosnál több csapadék.
19. Feladat
Budapesten az átlagosnál csapadékosabb január bekövetkezési valószínûsége 46%. 14 átlagosnál hidegebb január közül 9 volt az átlagosnál csapadékosabb. Kimondható-e, az információk alapján, hogy a hidegebb januárok a szokásosnál csapadékosabbak?
Nincs lényeges eltérés az átlagosnál csapadékosabb január bekövetkezési valószínûsége között akkor, amikor az átlagosnál hidegebb január van és a szokásos között.
Valószínûség konfidencia intervallum.
P = 0,46 (46%)
|
p = |
|
|
( 64% ) |
|
|
n = 14
a választott valószínûségi szint 5% è d = 1,96
Oldjuk meg számszerûen a feladatot:
P = 0,46 ; p = 0,64 ; n = 14 ; d = 1,96
|
σp = |
|
p(1 - p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
p1 = p - dσ = 0,64 - 1,96 · 0,145 = 0,36
p2 = p + dσ = 0,64 + 1,96 · 0,145 = 0,92
Döntünk a Null - Hipotézis teljesülése ill. nem teljesülése között:
Nem igaz, hogy P [P1 ; P2 ] ezért a Null - Hipotézis teljesül.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 = 0,36 |
P = 0,46 |
p = 0,64 |
p2 = 0,92 |
|
||||
Válaszolunk a feladatra:
Tehát mivel P [P1 ; P2 ] azaz 0,46 [ 0,36 ; 0,92 ] ezért a Null - Hipotézis teljesül. Azaz: Nincs lényeges eltérés az átlagosnál csapadékosabb január bekövetkezési valószínûsége között akkor, amikor az átlagosnál hidegebb január van és a szokásos között. Nem mondható ki az információk alapján, hogy a hideg januárok a szokásosnál csapadékosabbak.
20. Feladat
Békéscsabán 80 évi megfigyelés alapján az októberi középhõmérséklet: 12,4°C, a szórás 1,4°C. Az adatok gyakorisági eloszlása a következõ:
|
7-8°C |
8-9°C |
9-10°C |
10-11°C |
11-12°C |
12-13°C |
13-14°C |
14-15°C |
15-16°C |
16-17°C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Igazolható-e, hogy az adatok a normális eloszlása?
A Null - Hipotézis felvetése:
Nincs lényeges eltérés az adatok eloszlása és a normális eloszlás között.
Feladat típus:
χ2 próba. Becsléses illeszkedéses vizsgálat.
Paraméterek meghatározása:
A normális eloszlás paraméterei a minta paraméterei.
m = 12,4°C ; σ = 1,4°C
Normális eloszlást feltételezve határozzuk meg az F értékeket ( az osztás közi gyakorisági értékeket):
|
|
7-8-;8-9;9-10;10-11°C |
11-12°C |
12-13°C |
13-14°C |
14-15;(15-16;16-17)°C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
x -m |
= d ; p = |
k |
→ k = p · n ; n = 80 |
||
|
|
n |
||||
|
x = 11 → |
|
= - 1 = d → F(d) = 15,87% → p = 0,16; k = 0,16 · 80 = 13 |
|||
|
x = 12 → |
|
= - 0,29 = d → F(d) = 38,265% → p = 0,38 - 16 = 0,22; k = 0,22 · 80 = 18 |
|||
|
x = 13 → |
|
0,43 = d → F(d) = 65,54% → p = 0,66 - 0,38 = 0,28; k = 0,28 · 80 = 22 |
|||
|
x = 14 → |
|
1,14 = d → F(d) = 87,4% → p = 0,87 - 0,66 = 0,21; k = 0,21 · 80 = 17 |
|||
|
x = 15 → |
|
1,86 = d → F(d) = 96,61% → p = 0,97 - 0,87 = 0,10; k = 0,10 · 80 = 8 |
|||
A maradék pedig: 80-13-18-22-17-8 = 2, ami a 15-17°C közötti
Végezzük el a χ2 próbát:
|
n i=1 |
( Éi - Fi ) Fi |
K= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SzF = ( 2 - 1) · ( 5 - 1 ) = 4
χ40,05 > K tehát a Null - hipotézis teljesül.
Válaszolunk a feladatra:
Tehát a Null - Hipotézis teljesül. Azaz: Nincs lényeges eltérés a minta és a normális eloszlás között. Igen, igazolható, hogy az adatok a normális eloszlás szerinti.
Találat: 7452
