![]() |
kategória | ![]() |
||||||||
|
||||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|
|
||
![]() |
![]() |
SZIMMETRIÁK MEGMARADÁSA
Úgy gondolnánk, hogy mind az elektromos tér, mind a mágneses tér egy azonos matematikai mennyiséggel, vektorral írható le. Mindkét térerõsségnél az erõnek van iránya és nagysága is, tehát látszólag nyugodtan használhatunk azonos típusú vektort a két mezõ leírására. Ez a felszínes hasonlóság azonban megtévesztõ, és ez is egyik oka volt annak, hogy mintegy nyolc évi kínlódás és kísérletezés után, és akkor is csak véletlenül jutott Oersted arra a korszakalkotó fölfedezésre, hogy az elektromosság és a mágnesesség egymással kapcsolatban van. Ha tudta volna Oersted, hogy az elektromosság poláris és a mágnesesség axiális vektorral írható le, és ismerte volna a szimmetria-mûveleteket, valószínûleg nem nyolc év, hanem nyolc nap alatt, esetleg nyolc perc alatt elvégzi a sikeres kísérletet. Oersted persze annyival jobb volt pályatársainál, hogy legalább próbálgatta az elektromosság és mágnesesség közti kapcsolat megtalálását, míg a többiek belenyugodtak Cavendish és Coulomb tekintélyelvû kinyilatkoztatásába.
Nézzük meg, hogy milyen vektorok létezhetnek, mi a poláris és axiális vektor közti különbség, hogy jelenik meg ez a szimmetriákban. Ha a II/1. ábrát látjuk, akkor nyilvánvalóvá válik ez a különbség. Az axiális vektor lényegében egy forgó henger szimmetriájával jellemezhetõ. Amikor nyomatékot hozunk létre, például forgatunk egy tengelyt, mindig axiális vektorok jelennek meg. Ennek a forgó tengelynek a szimmetriája, tükrözõdése azonban eltér a poláris vektor tükrözõdésétõl, szimmetriájától. Látjuk, ha a forgástengellyel párhuzamos síkra tükrözzük az axiális vektort, akkor az megfordul, azaz antiszimmetrikussá válik. Abban az esetben viszont, ha a tengelyre merõleges síkra tükrözzük, akkor változatlan, azaz teljesen szimmetrikus marad.
Az antiszimmetria azért érdekes, mert megmarad ugyan a vektor nagysága, csak elõjele változik meg. A könnyebben elképzelhetõ poláris vektor (ami például az erõ és a sebesség leírására is használatos) más tükrözési szimmetriákkal bír. Ha a poláris tengelyt a tengellyel párhuzamosan tükrözzük, akkor változatlan marad, és ilyen esetben mondjuk, hogy a tükrözés szimmetrikus, azaz a tükrözés mûvelete mint transzformáció nem változtatja meg az eredeti állapotot, hanem változatlanul megy át a transzformáció után az új állapotba a régi állapot. Ilyenkor nem tudjuk megkülönböztetni az eredeti és a transzformáció utáni állapotot.
Abban az esetben viszont, ha tengelyre merõlegesen tükrözünk, akkor antiszimmetrikus tükörképet kapunk, melynek nagysága azonos ugyan, de elõjele megváltozik. Az Oerstedkísérlet esetén egy olyan esetet vizsgálunk meg, ahol két különbözõ szimmetriatulajdonsággal rendelkezõ ok váltja ki a számunkra értékes hatást. Kétségtelen, hogy ez bonyolultabb eset mintha csak egyetlen szimmetria, egyetlen kiváltó fizikai hatás változik, de egyúttal szemléletesebb is.
Nézzük meg, hogy a szimmetriamegmaradás törvénye hogyan alkalmazható egy gyakorlati esetre. A II/2. ábrán látszik az az eset, amikor Oersted a sikertelen kísérleteket végezte. Helyezzük bele egy-egy szimmetriasíkba a drótot, azaz az áramot, majd erre merõleges síkba a mágnestût, azaz a mágneses tér irányát.
Látjuk például, hogy a s sík, mely az iránytû mágneses terének szimmetriáját tartalmazza, anti szimmetrikus a mágnesességre nézve, hiszen itt a tengellyel párhuzamos síkra kell tükröznünk. Abban az esetben is anti szimmetrikus transzformációt kapunk, ha az erre a síkra merõleges I áramot tükrözzük. Az elõbbiek során ugyanis láthattuk, hogy a síkra merõleges tükrözés esetén a poláris vektorok anti szimmetrikusak lesznek. Ezért azt látjuk, hogy a s síkban anti szimmetrikus lesz mindkét vektor.
II/1 1. ábra: Forgó henger és mozgó rúd tükrözési
szimmetriái. A mágneses mezõ szimmetriája axiális, az áram szimmetriája
poláris.
Nézzük meg most
a s -vel jelzett síkban mi történik. Látjuk, hogy az I áramra rásimuló
szimmetriasík esetén a mágneses vektor axiális szimmetriája megmarad, tehát szimmetrikus transzformációt kapunk, és
ugyanez a helyzet az árammal is, hiszen az áram irányával párhuzamos maga a
szimmetriasík, tehát szimmetrikus transzformációt kapunk. Vagyis tükrözés után
mindkét síkban megmarad a szimmetria, éppen ezért összeegyeztethetetlen bármiféle forgással itt a szimmetriák esete,
ezért nem is remélhetünk effektust. Megmarad a szimmetria mindkét síkban,
hiszen az egyik síkban csupa anti szimmetrikus, a másik síkban csupa
szimmetrikus transzformációt találunk. Ott, ahol megmarad a szimmetria, ott bizony
változás sincs, ez a szimmetriamegmaradás törvényének
egyik következménye.
II/2a. ábra: Ha az i áram is a ,m mágneses mezõ egymásra merõleges, akkor mindkét szimmetriasíkban azonos szimmetriák lépnek fel. Emiatt nincs hatás, semmi sem történik.
Más lesz a helyzet azonban, ha a II/2b. ábrát nézzük, ahol egymással párhuzamos az áram is és a mágneses térerõsség is. Tegyük fel, hogy a s síkba simul mind az áram poláris, mind a mágneses tér axiális vektora. Ebben az esetben a s síkban, mely erre merõleges, azt találjuk, hogy a mágneses térerõsség axiális vektora szimmetrikus transzformációval megy át, mig az áram poláris vektora anti szimmetrikus transzformációval megy át. Így ebben a síkban kétféle szimmetriát is találunk. Ugyanez lesz a helyzet a s síkkal is, itt is az axiális vektor, a mágneses térerõsség antiszimmetrikus transzformációval megy át, míg az áramerõsség szimmetrikus transzformációval megy át, hiszen az áram irányával párhuzamos lesz a szimmetriasík.
Látjuk, hogy itt mindkét síkra két különbözõ szimmetria jellemzõ, azaz mindkét oknak, mindkét effektusnak más-más szimmetriája van. Ebben az esetben nem marad meg a tükrözés után a szimmetria, így viszont már elõfordulhat a szimmetriasíkot megbontó forgási mûvelet, forgási operáció vagy transzformáció.
Ekkor
már elvileg létrejöhet a forgás. Természetesen Oersted
annak idején nem tudta, hogy létezik poláris és axiális szimmetria, és
nem tudta, hogy az áramerõsség poláris, míg a mágneses térerõsség axiális
szimmetriával bír. Ez a kísérlet azonban alkalmas lett volna annak eldöntésére,
hogy a két mennyiség nem azonos szimmetriával rendelkezik, azaz eltérõ tulajdonságaik vannak.
II/2b. ábra: Ha az i áram is a p mágneses mezõ egymással párhuzamos. akkor egy-egy szimmetriasíkban más-más szimmetriájú mezõ lép fel Ekkor nem marad meg a szimmetria, így várható hogy fellép valamilyen hatás, pl. elforul a mágnestû.
A távírót megcsinálhatták volna már az egyiptomiak, a rómaiak, de akár a kínaiak vagy az indiaiak is, technikailag voltak olyan szinten, hogy ezt létrehozzák. (Más kérdés, hogy Morse-ábécét csak a latin vagy orosz ábécével lehetett volna létrehozni, a kínaival vagy az indiaival nehezen.) Hiányzott azonban a "minõségi gondolkodás", ami elsõsorban csak egy maroknyi protestáns gondolkodású országban terjedt el, ott is csak lassan és döcögve.
Azt gondolnánk, hogy Oersted kíséréletébõl levonták kortársai ezt a nagy tanulságot, hogy a szimmetriákat kísérletileg érdemes megállapítani, és nem íróasztal mellett kiagyalni. A kísérlet sok-sok vajúdás után sikeres lett, ám a megfelelõ következtést senki nem vonta le. Ez a tanulsága egy másik hasonló esetnek is, ami az indukcióval kapcsolatos, és gyakorlati hatásait nézve ugyanolyan fontos, mint az Oersted kísérlet. Ez a Faraday-Henry-féle indukciós kísérlet. Ez a kísérlet egyszerûbb, mint az Oersted-féle hatás, hiszen itt mindössze egyetlen szimmetriát, a mágneses térerõsség idõbeli állandóságát, szimmetriáját kellett csökkenteni. Itt mindössze egyetlen kiváltó ok létezik. Így a szimmetria kivonási szabályt nem tudjuk alkalmazni, de az általános elv itt is létezik: egy szimmetria megszüntetése új jelenségeket idéz elõ.
Faraday Angliában, Henry pedig az Egyesült Államokban találta meg az indukció hatását szintén nyolcévnyi kísérletezés után: Az alapeffektus itt is nagyon egyszerû: ha egy szolenoidból kirántunk egy mágnest, vagy bármi más módon idõben változtatjuk a mágneses teret, akkor a szolenoidban elektromos áram indukálódik. Ez a nagyon egyszerûnek tûnõ effektus egyáltalán nem volt kézzelfogható, egyáltalán nem volt magától értetõdõ abban a korban, és nem véletlen, hogy évekig nem jöttek rá. Az elõzõ példában, Oersted kísérletében a két kiváltó ok más és más térbeli szimmetriát mutatott.
Nemcsak a térbeli, hanem idõbeli szimmetriát is lehet változtatni, csökkenteni. Képzeljük csak el, hogy az idõ függvényében fölírjuk egy mágnes körül, minden egyes pontban a mágneses térerõsség értékét. Ha egy idõpillanatban ezt megváltoztatjuk, akkor csökken ennek a rendszernek a szimmetriája. Az állandó térerõsség ugyanis egy térbeli és idõbeli szimmetriát ad, hiszen bármely más idõpontban állandó a térerõsség iránya és nagysága. Ez egy idõbeli eltolási szimmetriát eredményez, hiszen változatlan a térerõsség, és a változatlanság, az invariancia a kulcsszó a szimmetria megértésében. Természetesen Faraday idejében még nem gondolkodtak a szimmetria segítségével (hiszen ma sem használják még mankóként sem a szimmetria kiterjesztett fogalmát).
Ez azért tragikus, mert ha ebbõl a két igen hasznos effektusból, ennek tanulmányozásából levonják a megfelelõ következtetést, akkor újra vissza lehetett volna térni az energia megvizsgálására, kiderülhetett volna, hogy az energia is egy szimmetria, és mint minden szimmetria, ez is csökkenthetõ.
Ha másként nem, legalább formális logikával, okoskodással el lehetett volna jutni ahhoz a gondolathoz, hogy az energia értéke nem szükségszerûen állandó. Azt láttuk ugyanis eddig legalább két ok esetén, hogy a szimmetria akkor marad meg például, ha egy jelenséget elõidézõ mindkét kiváltó okban egyszerre található meg ugyanaz a szimmetria. Ebben az esetben az okozatban, a jelenségben is megmarad ez a szimmetria, de csak ez a szimmetria. Azok a szimmetriák, amelyek nem közösek a két kiváltó okban, azok "kiesnek", mintegy kivonódnak. Ezt a megfigyelést lehetett volna használni az energia mint szimmetria csökkentéséhez, megszüntetéséhez. Ez az út vezet az "ingyenes" többletenergia elõállításához.
Találat: 2129