SOPHUS LIE ÉLETE

SOPHUS LIE ÉLETE

A mi történetünk szempontjából a legfontosabb személy két­ségtelenül a norvég Lie, aki 1842-ben egy lelkész fiaként szüle­tett. A nagytermetű, vikingekre emlékeztető Lie először teológiát tanult, majd 1868-ban kezdett érdek 646g68g lődni a fizika és a matematika iránt. Ezután számos, alapvetően fontos

SOPHUS LIE (1842-1899)

A másik norvég matematikus, a folytonos szimmetriák értelmezését adta meg. Munkája fordulópont

lett a fizikában is, munkát írt, szinte folya­matosan, évtizedeken keresztül. 1870-ben költözött Berlinbe, hi­szen ott jobb körülményeket talált á matematika művelésére, mint Norvégiában: Itt barátkozott meg a német Felix Kleinnel, aki hét évvel fiatalabb volt nála. Halálukig jó barátok maradtak egy kis összekoccanást leszámítva: Lie a norvég fjordok és hegyek sze­relmese Németországban sem nyughatott, az Alpokban gyakran túrázott kikapcsolódásként.

Így aztán az 1870-es francia-porosz háborúban véletlenül a franciák német kémnek nézték északi ter­mete miatt, és azonnal börtönbe zárták. A franciák gyanúsnak ta­lálták, hogy állandóan jegyzeteket ír egy füzetbe és nem beszél jól franciául. Egy hónapot töltött Párizs közelében egy börtönben, és csak néhány francia matematikus közbenjárására eresztették el. Míg Felix Klein a diszkrét szimmetriák matematikájával foglal­kozott, Lie a folyamatos szimmetriák matematikai megalapozását végezte el, ami számunkra az energia, az impulzus és impulzus­nyomaték fizikai lényegének megértéséhez elengedhetetlen.

Az egyik alapvető nehézséget az okozza a végtelen számú ele­met tartalmazó szimmetriacsoportoknál, hogy a végtelen elem mi­att nem alkalmazhatók a véges elemeknél szokásos módszerek. Hasonlítsunk össze például két végtelen elemet tartalmazó szim­metriatranszformációt. Legyen az első példánk egy sík forgatási transzformáció, azaz egy olyan transzformáció, amely egy pont kö­rül a sík alakzatokat egy adott szögben elforgatja:

x' = x^.cosa + y^.sina + p

y' = - x^.cosa + y^.cosa + q

Ez a transzformáció bármely alakzatot elforgat egy pont körül, az elforgatott alakzat területe, szögei, kerületé, minden azonos ma­rad a transzformáció után is, ezért nevezzük ezt a müveletet szim­metria-transzformációnak. Az izorrietrikus-transzformáció után nézzünk egy sokkal általánosabb, úgynevezett affin-transzformáci­ót, ahol az alakzatoknak már csak a szögei maradnak meg, tehát kevésbé szimmetrikus, mint az ezt megelőző. Ebben az esetben a transzformáció alakja a következő lesz:

x'= ax +by+ p

y'=cx+dy+q

Ennek a második csoportnak már sokkal több eleme van, mint az elsőnek, hiszen többfajta transzformáció végezhető el. Mindegyi­küknek közös vonása azonban, hogy folytonos csoportok, és ezért elvileg más jellegzetességek, más tulajdonságok fordulnak itt elő, mint a diszkrét transzformációs csoportoknál.

Anélkül, hogy a részletekbe belemennénk, a folytonos csoportok transzformációi szorosan kötődnek az úgynevezett Lie-algebrához, az pedig a vektorszámításhoz. Egy folytonos csoportot (ma már úgy nevezik, hogy Lie-csoport) mindig hozzárendelhetünk egy megfelelő Lie-algebrához. Sőt, itt már nem kötelező, mint az abeli csoportok­nál, hogy kommutativ legyen egy folytonos csoport. Gondoljunk csak a folyamatos forgásokra. Ha veszünk egy dobókockát, és a füg­gőleges és az egyik vízszintes tengelye körül forgatjuk el, akkor más-más eredményre jutunk hogyha egyik esetben először a függő­leges, majd a vízszintes tengely körül forgatjuk el 90°-kal a dobó­kockát, vagy a másik esetben először a vízszintes tengely körül és csak aztán a függőleges tengely körül. Már ilyen egyszerű esetben sem lehet felcserélni, összecserélni a forgások sorrendjét, mert más eredményt kapunk, s ezért egyáltalán nem mindegy, hogy melyik művelettel kezdjük. Ez tehát egyáltalán nem hasonlít az előzőekben már említett egy lépés előre, két lépés hátra típusú feladathoz, hiszen csak ebben lehet fölcserélni a műveletek sorrendjét.

Szinte egyedülálló a matematika történetében az, hogy Lie egye­dül dolgozta ki a folytonos csoportok szimmetria-transzformációjá­nak és a Lie-algebráknak az elméletét. Hogy valami példát adjunk a folytonos csoportokra, nézzünk néhány egyszerű feladatot. A legegyszeríibb talán a kör esete, amit egy végtelen oldalú sokszög­nek is felfoghatunk. A szimmetria csoportja egy adott pont, a köz­pont körüli összes forgásokat tartalmazza, hiszen tetszőleges ki­csinytői kezdve tetszőleges nagy szögeken át, bármely szögű elfor­gatás után ugyanazt az alakzatot, a kört kapjuk vissza. Továbbá eb­ben a csoportban lesz a tengelyen át történő összes tükrözés is. Va­lamint ide tartozik még bármely két tükrözés kombinációja is, hi­szen ezeket is forgatásként foghatjuk fel. Ez az összes szimmetria alkotja az úgynevezett O(2) szimmetriacsoportot. Ezt kétdimenziós ortogonális csoportnak nevezzük. Ha csak a forgásokat vesszük, akkor egy kisebb csoporthoz jutunk, ez az úgynevezett SO(2), a speciális ortogonális csoport két dimenzióban. Az S betű jelenti a speciálist, az O az ortogonálist és a (2) pedig a két dimenzióra utal.

Ha három dimenzióban gondolkodunk, akkor újabb lehetőségek nyílnak meg. A gömbszimmetria csoportjai tartalmazzák a közép­pont körüli összes elforgatást, valamint azon tükrözések összessé­gét, melyek átmennek a középponton. Ezek együttesen az úgyne­vezett O(3) ortogonális, háromdimenziós csoportot adják. Itt is, ha csak a forgásokat nézzük, akkor egy kisebb csoportot kapunk, ez az úgynevezett SO(3) csoport, a háromdimenziós, speciális, ortogo­nális csoport. Természetesen magasabb térdimenziók is kezelhetők ezzel a módszerrel, tovább vizsgálhatók tetszőleges térdimenzió esetére is a forgatások és tükrözések csoportjai.

Így érkeztünk tehát el az absztrakt matematika segítségével a szimmetria fogalmának alapos megértéséhez. Természetesen az a tény, hogy a matematikusok között a szimmetria fogalmának meg­értése elterjedt és gyökeret vert, nem jelentette azt, hogy a fiziku­sok ezt tudomásul vették és megértették. Ahogy az előzőekben említettük, a Curie-féle szimmetriamegmaradás és szimmetriakivo­nási szabályoknál sem használták fel a Klein és Lie által kidolgo­zott szimmetriaszemlélet. Egy emberöltő múltán azonban egy újabb német algebrista jutott témánk számára fontos, alapvető eredményre. Az ő munkáját nevezzük nevén, Emmy Noether - külön is ki kell emelni, és kicsit részletesebben kell elemezni.