Ohm-törvénye homogén vezetőre

Integrális alak

Homogén vezetőnek tekinthetünk egy egyszerű ellenállást. Tapasztalatból ismert, hogy egy ellenálláson átfolyó áram és a két kapcsa között megjelenő potenciálkülönbség (feszültség) hányadosa állandó, s ez nem más, mint az ellenállása, amely a (3.20) összefüggéssel adható meg:

Az ellenállás mértékegysége ) (Ohm). A vezető ellenállása függ a vezető geometriai adataitól, valamint az anyagi minőségétől. A fenti összefüggés azonban nem teljesen igaz a természetben lévő anyagokra, amelyekből a vezetőket készítjük. A fenti összefüggés a 3.3.a ábra szerinti lineáris kapcsolatot feltételez a feszültség és az áram között, amely azonban csak bizonyos feltételek és határok között teljesül. A természetben döntő többségben vannak azok a jelenségek ahol nem-linearitással találkozunk. Az olyan ellenállasokat ahol a jelleggörbe a 3.3.b ábra szerinti nemlineáris függvény, nemlineáris ellenállásoknak nevezzük. Az ilyen vezetők ellenállását nem adhatjuk meg egyszerűen a (3.19) összefüggéssel, hanem be kell vezessük az ún. differenciális ellenállás fogalmát (). Megfelelően kicsiny feszültségtartományokat kell tekintsünk, amelyekben az áram változása még lineárisnak tekinthető, és ezekre a tartományokra értelmezzük az ellenállás fogalmát (3.20).

a.                                                                    b.

3.3 ábra

A vezetők ellenállása mellet használatos mennyiség még az ellenállás reciprok értéke, melyet vezetőképességnek (konduktancia) nevezünk és a (3.21) összefüggéssel adhatjuk meg:

Az így nyert mennyiség mértékegysége (Siemens), vagyis .

Említettük a paragrafus elején, hogy az ellenállás az anyagi minőségtől és a vezető geometriai méreteitől függő mennyiség. Egy hosszúságú, keresztmetszetű huzal alakú vezető ellenállását az alábbi empirikus (mérésekből származó) összefüggéssel határozhatjuk meg:

ahol az anyagi minőségre jellemző fajlagos ellenállás, melynek mértékegysége . A gyakorlatban, az ellenálláshoz hasonlóan, ezen kívül használatos a fajlagos ellenállás reciprok értéke is, melyet fajlagos vezetőképességnek nevezünk (3.23) és -ben, vagy -ben mérünk.

2. Differenciális alak

A 3.2.2. pontban már definiáltuk az áramsűrűség fogalmát, mint olyan mennyiséget amelyet akkor kell felhasználnunk, ha kiterjedt vezetőben vizsgáljuk az áramvezetés jelenségét. Vizsgáljunk az alábbiakban egy hosszúságú, keresztmetszetű henger alakú vezetőt, melynek két végpontja között feszültség van (3.4 ábra).

3.4 ábra

Felhasználva a (3.19) és (3.22) összefüggéseket, a következő egyenlőségeket írhatjuk fel:

ahol az mennyiség nem más, mint az áramsűrűség modulusza és a térerősség, tehát (3.24) írható, mint:

Ne felejtsük el azonban azt, hogy úgy az áramsűrűség, mint az elektromos térerősség vektoriális mennyiségek, tehát meg kell vizsgáljuk, hogy a (3.25) miként írható fel vektoriális alakban. Ehhez azt kell figyelembe vennünk, hogy a pozitív töltéshordozó az elektromos tér irányába mozdul el, ami viszont megegyezik az áram technikai irányával, tehát vektoriális alakra való áttéréskor az alábbi összefüggéseket írhatjuk fel:

A (3.26) összefüggések adják meg a homogén vezetőre érvényes Ohm-törvény differenciális alakjait.

Vezessük le a továbbiakban a fenti összefüggéseket a töltéshordozók mozgását figyelembe véve. Tekintsünk a továbbiakban is pozitív töltéshordozót (3.4 ábra). A töltéshordozóra ható erő hatására a töltéshordozó felgyorsul, majd ütközik más töltéshordozókkal és újra lelassulhat. Ezt a kölcsönhatást tekintsük úgy, mintha a közeg részéről a töltéshordozóra hatna egy "súrlódás" jellegű fékezőerő (). Mivel stacionárius áramlásról van szó, a töltéshordozóhoz rendelhetünk egy átlagsebességet (), és mondhatjuk azt, hogy a fékezőerő és az elektromos erő együttes hatására egyenletes mozgást végez. A "súrlódási" erő arányos a sebességgel és megadható, mint , ahol a negatív előjel azt jelenti, hogy a súrlódási erő a mozgás irányításával ellentétes irányítású. Az erők egyensúlyának feltétele: . Behelyettesítjük az előbbi összefüggéseket és kapjuk, hogy , amit tovább rendezve írhatjuk, hogy . Innen meghatározhatjuk a töltések átlagsebességét:

Legyen az tekintett anyagban a töltéshordozók térfogati töltéssűrűsége . Szorozzuk be a (3.27) összefüggést -vel és kapjuk, hogy:

Vizsgáljuk meg a (3.28) összefüggés bal oldalán lévő szorzat dimenzióját. A töltéssűrűség dimenziója a sebességé pedig , tehát a szorzat dimenziója , ami nem más, mint a egységnyi felületen átfolyó áram, tehát áramsűrűség. Ezt figyelembe véve tehát (3.28) írható, mint:

tehát visszakaptuk a differenciális Ohm-törvény (3.25) alakját.