Ohm-törvénye homogén vezetõre

Integrális alak

Homogén vezetõnek tekinthetünk egy egyszerû ellenállást. Tapasztalatból ismert, hogy egy ellenálláson átfolyó áram és a két kapcsa között megjelenõ potenciálkülönbség (feszültség) hányadosa állandó, s ez nem más, mint az ellenállása, amely a (3.20) összefüggéssel adható meg:

Az ellenállás mértékegysége ) (Ohm). A vezetõ ellenállása függ a vezetõ geometriai adataitól, valamint az anyagi minõségétõl. A fenti összefüggés azonban nem teljesen igaz a természetben lévõ anyagokra, amelyekbõl a vezetõket készítjük. A fenti összefüggés a 3.3.a ábra szerinti lineáris kapcsolatot feltételez a feszültség és az áram között, amely azonban csak bizonyos feltételek és határok között teljesül. A természetben döntõ többségben vannak azok a jelenségek ahol nem-linearitással találkozunk. Az olyan ellenállasokat ahol a jelleggörbe a 3.3.b ábra szerinti nemlineáris függvény, nemlineáris ellenállásoknak nevezzük. Az ilyen vezetõk ellenállását nem adhatjuk meg egyszerûen a (3.19) összefüggéssel, hanem be kell vezessük az ún. differenciális ellenállás fogalmát (). Megfelelõen kicsiny feszültségtartományokat kell tekintsünk, amelyekben az áram változása még lineárisnak tekinthetõ, és ezekre a tartományokra értelmezzük az ellenállás fogalmát (3.20).

a.                                                                    b.

3.3 ábra

A vezetõk ellenállása mellet használatos mennyiség még az ellenállás reciprok értéke, melyet vezetõképességnek (konduktancia) nevezünk és a (3.21) összefüggéssel adhatjuk meg:

Az így nyert mennyiség mértékegysége (Siemens), vagyis .

Említettük a paragrafus elején, hogy az ellenállás az anyagi minõségtõl és a vezetõ geometriai méreteitõl függõ mennyiség. Egy hosszúságú, keresztmetszetû huzal alakú vezetõ ellenállását az alábbi empirikus (mérésekbõl származó) összefüggéssel határozhatjuk meg:

ahol az anyagi minõségre jellemzõ fajlagos ellenállás, melynek mértékegysége . A gyakorlatban, az ellenálláshoz hasonlóan, ezen kívül használatos a fajlagos ellenállás reciprok értéke is, melyet fajlagos vezetõképességnek nevezünk (3.23) és -ben, vagy -ben mérünk.

2. Differenciális alak

A 3.2.2. pontban már definiáltuk az áramsûrûség fogalmát, mint olyan mennyiséget amelyet akkor kell felhasználnunk, ha kiterjedt vezetõben vizsgáljuk az áramvezetés jelenségét. Vizsgáljunk az alábbiakban egy hosszúságú, keresztmetszetû henger alakú vezetõt, melynek két végpontja között feszültség van (3.4 ábra).

3.4 ábra

Felhasználva a (3.19) és (3.22) összefüggéseket, a következõ egyenlõségeket írhatjuk fel:

ahol az mennyiség nem más, mint az áramsûrûség modulusza és a térerõsség, tehát (3.24) írható, mint:

Ne felejtsük el azonban azt, hogy úgy az áramsûrûség, mint az elektromos térerõsség vektoriális mennyiségek, tehát meg kell vizsgáljuk, hogy a (3.25) miként írható fel vektoriális alakban. Ehhez azt kell figyelembe vennünk, hogy a pozitív töltéshordozó az elektromos tér irányába mozdul el, ami viszont megegyezik az áram technikai irányával, tehát vektoriális alakra való áttéréskor az alábbi összefüggéseket írhatjuk fel:

A (3.26) összefüggések adják meg a homogén vezetõre érvényes Ohm-törvény differenciális alakjait.

Vezessük le a továbbiakban a fenti összefüggéseket a töltéshordozók mozgását figyelembe véve. Tekintsünk a továbbiakban is pozitív töltéshordozót (3.4 ábra). A töltéshordozóra ható erõ hatására a töltéshordozó felgyorsul, majd ütközik más töltéshordozókkal és újra lelassulhat. Ezt a kölcsönhatást tekintsük úgy, mintha a közeg részérõl a töltéshordozóra hatna egy "súrlódás" jellegû fékezõerõ (). Mivel stacionárius áramlásról van szó, a töltéshordozóhoz rendelhetünk egy átlagsebességet (), és mondhatjuk azt, hogy a fékezõerõ és az elektromos erõ együttes hatására egyenletes mozgást végez. A "súrlódási" erõ arányos a sebességgel és megadható, mint , ahol a negatív elõjel azt jelenti, hogy a súrlódási erõ a mozgás irányításával ellentétes irányítású. Az erõk egyensúlyának feltétele: . Behelyettesítjük az elõbbi összefüggéseket és kapjuk, hogy , amit tovább rendezve írhatjuk, hogy . Innen meghatározhatjuk a töltések átlagsebességét:

Legyen az tekintett anyagban a töltéshordozók térfogati töltéssûrûsége . Szorozzuk be a (3.27) összefüggést -vel és kapjuk, hogy:

Vizsgáljuk meg a (3.28) összefüggés bal oldalán lévõ szorzat dimenzióját. A töltéssûrûség dimenziója a sebességé pedig , tehát a szorzat dimenziója , ami nem más, mint a egységnyi felületen átfolyó áram, tehát áramsûrûség. Ezt figyelembe véve tehát (3.28) írható, mint:

tehát visszakaptuk a differenciális Ohm-törvény (3.25) alakját.