Elektromos hálózatok

Az elektromos áramkörök, hálózatok igen változatosak lehetnek úgy, felépítés, mûködési üzemmód, felhasználást illetõen, ezért csoportosításuknál nagyon változatos kritériumokat állíthatunk fel. Ezek közül tekintsünk át néhányat a teljesség igénye nélkül.

a)      Mûködési üzemmód szerint:

stacionárius

kvázistacionárius

nemstacionárius

permanens

tranziens üzemmód

b)      Az áramköri elemek természete szerint

lineáris

nem-lineáris

koncentrált paraméterek

elosztott paraméterek

c)      A külvilággal való kapcsolatuk szerint

d)      Az áramkörben lévõ összekötõ vezetékek tulajdonságai szerint

1. Hálózati topológia

Az elektromos áramkör nem más, mint olyan közegek zárt rendszere, melyen keresztül elektromos áram keringhet. Ilyen közegek lehetnek a vezetõk, félvezetõk, eltolási áram esetében szigetelõk (kondenzátorok) Az áramköri elemeket illetõen az áramkör tartalmazhat aktív áramköri elemeket, ezek az áramforrások (lehetnek feszültség- vagy áramge 525f59f nerátorok) illetve passzív áramköri elemeket, ezek a fogyasztók (elektromos energia felvevõk).

Az áramkörök rendszere alkotja az elektromos hálózatokat. Az elektromos hálózatokban megkülönböztetünk áramköri ágakat, csomópontokat és hurkokat. A különbözõ ágakban. Az áramköri elemek (illetve áramkörök és hálózatok) között lehet induktív csatolás, amely azt jelenti, hogy a tekercsek elektromágneses tereiken keresztül hatnak egymásra az elektromágneses indukció jelensége réven. Az áramköri ág a hálózat elágazás nélküli része, ahol minden áramköri elem sorba van kapcsolva. Csomópontnak nevezzük az áramkör azon részét, ahol két vagy több ág találkozik. Huroknak nevezzük az áramkör ágainak azon részét, amelyek zárt görbét alkotnak, és úgy lehet körbejárni, hogy minden csomóponton csak egyszer haladunk át. Egy hurok független a többi huroktól, ha tartalmaz legalább egy olyan ágat, amelyet a többi hurok nem tartalmaz. A független hurokok száma egy hálózatban korlátozott. Egy l ágat és n csomópontot tartalmazó hálózatban a független hurokok számát a Euler-képlet adja meg.

2. Kirchhoff-törvények

a)      A csomóponttörvény (Kirchhoff I. törvénye) elõjelszabály

Kirchhoff I. törvénye kimondja, hogy egy áramköri csomópont esetén a csomópontba befolyó és a csomópontból kifolyó áramok algebrai összege nulla. Ez a törvény a kontinuitási egyenlet (töltésmegmaradás törvény) következménye, amely stacionárius áramlás esetére kimondja, hogy bármely zárt felület esetén idõegység alatt a felületen beáramló töltések és a felületen keresztül távozó töltések összege nulla. Ennek megfelelõen az áramoknak elõjelet kell adjunk. A 3.19 ábrán látható csomópont esetén a csomópontot vegyük körül egy zárt Gauss-felülettel és ezen a felületen integráljuk a kontinuitási egyenlet stacionárius esetére vonatkozó alakját (3.47):

Az áramok elõjeleit a zárt felület normális irányának megfelelõen vesszük fel, amelynek iránya mindig kifele mutat a zárt felületbõl. Így a felületbe (csomópontba) befolyó áramok negatívak, míg a kifolyó áramok pozitívak. Elvégezve a számításokat kapjuk Kirchhoff csomóponttörvényét:

b)      A huroktörvény (Kirchhoff II. törvénye) elõjelszabály

Kirchhoff második törvénye zárt áramkörre vonatkozik és kimondja, hogy stacionárius árammal átjárt hálózat bármely hurokjában az egyes szakaszokhoz tartozó feszültségesések összege egyenlõ az elektromotoros feszültségek algebrai összegével. Ez az összefüggés tulajdonképpen a teljes áramkörre vonatkozó differenciális Ohm-törvénynek (3.33) az integrális alakja.

Mivel az összefüggést egy vonalintegrál eredményeként kapjuk (ahol fel kell vegyünk egy integrálási irányt) a törvény helyes alkalmazásához itt is fel kell vennünk egy "körüljárási" irányt (3.20 ábra).

3.20 ábra

Ez a körüljárási irány teljesen szabadon választott, ehhez viszont két elõjelszabályt kell helyesen alkalmazzunk. Az elsõ az összefüggés baloldalára vonatkozik. Pozitívnak tekintünk minden olyan e.m.f.-et, amelynek pozitív mérési iránya megegyezik a körüljárási iránnyal, negatívnak pedig azokat amelyeknek ezzel ellentétes. A második elõjelszabály az összefüggés jobboldalára vonatkozik és kimondja, hogy pozitív minden olyan potenciálesés, amelyet az ágakban olyan áram hoz létre, amelynek folyási iránya megegyezik a körüljárási iránnyal, negatív pedig azoknál, amelyeknél az áram folyási iránya ezzel ellentétes. Egy teljes áramköri hálózat esetében meghatározott számú hurokra írható fel egymástól függetlenül huroktörvény. Ezt a számot Euler-tételével határozhatjuk meg: , ahol l az alapvetõ hurkok száma és n a csomópontok száma.

. A szuperpozíció elve

A szuperpozíció elve igen fontos az elektromosságtanban. Már megismerkedtünk az elv lényegével az elektrosztatika fejezetben. Ebben a fejezetben az elv alkalmazásának módszerét vizsgáljuk meg a stacionárius áramkörök megoldására vonatkozóan. Általában az áramkörökben nem egy, hanem több áramforrás is helyet kap. Bekapcsolásuk után létrejön egy stacionárius állapot, amely azt jelenti, hogy minden áramköri ágban folyik egy meghatározott irányú és erõsségû áram. A szuperpozíció elve kimondja, hogy a stacionárius állapotok egymásra tevõdnek. Ez egy áramkörben a következõt jelenti. Sorra kiiktatunk minden áramforrást az áramkörben úgy, hogy csak egyet hagyunk meg. Minden esetben kiszámítjuk (pl. Kirchhoff törvényeivel), vagy megmérjük minden ágban az áramerõsségeket, majd ezeket áganként, irányoknak megfelelõen összegezzük (szuperponáljuk). Tulajdonképpen nem teszünk mást ezzel, minthogy minden áramforrás hozzájárulását összegezzük áganként, hogy megkapjuk azokat az áramerõsségeket, amelyek abban az esetben folynak az áramkörben, amikor minden áramforrás mûködik.

Az elv bemutatásához a 3.21 ábrán látható két hurokkal rendelkezõ példaáramkört tekintjük, amelyben két áramforrás található.

3.21 ábra

A 3.19 ábrán az a két áramkör látható, amelyeket a feszültségforrások sorra történõ kiiktatásakor kapunk. Úgy a 3.21 mint a 3.22 ábrán feltüntettünk feltételezett áramirányokat is.

a)                                                             b)

3.22 ábra

A szuperpozíció elve szerint az ágakban folyó áramok erõsségeit a (3.50) összefüggésekkel számíthatjuk ki.

4. Reciprocitás tétele

A reciprocitás (Maxwell-féle) tétele kimondja, hogy ha egy hálózat j-ik ágában lévõ elektromotoros feszültség a k-ik ágban I áramot hoz létre, akkor áttéve a feszültség generátort a k-ig ágba, a j-ik ágban ugyanazt az I áramot kapjuk. Ez a tétel csak abban az esetben érvényes, amikor a két ágban a feszültségforrások azonos e.m.f.-el rendelkeznek és az áramkörben csak egyetlen egy áramforrás van. A 3.21 ábrán látható áramkör esetén a reciprocitás elve szerint a (3.22.a és a 3.22.b ábra) az -es feszültségforrás kiiktatása esetén a -es ágban folyó áram erõssége meg kell egyezzen a -es feszültségforrás kiiktatásakor az -es ágban folyó áram erõsségével, vagyis

5. Helyettesítõ tételek

Bonyolult hálózatok számítása esetében nyújtanak segítséget a helyettesítõ hálózatszámítási tételek. Ezeket általában azokban az esetekben alkalmazzuk, amikor nem kell meghatározni minden áramköri ágban az áramerõsséget, vagy csak egy adott ágban kell ezt megtennünk, de minden olyan más estben is maikor az áramkör egyszerûsítésére van szükség ahhoz, hogy gyorsabban, kevesebb számítással oldunk meg egy feladatot. Két tétellel fogunk megismerkedni, a helyettesítõ feszültségforrás tételével (Thèvenin-tétel) és a helyettesítõ áramforrás tételével (Norton-tétel). A tárgyaláshoz egy olyan példaáramkört tekintünk, amelyben az átláthatóság kedvéért nem vettünk sok hurkot, viszont elhelyeztünk minden olyan áramköri elemet, amelyek szerepét megfelelõen ismerni kell ahhoz, hogy a helyettesítõ tételeket megfelelõen alkalmazhassuk.

a)      A helyettesítõ feszültségforrás tétele (Thèvenin-tétel)

Tekintsük a 3.23.a ábrán látható áramkört, melyben célunk az munkaellenálláson átfolyó áram meghatározása.. Az ellenállás szempontjából lényegtelen, hogy az áramkörben milyen áramköri elemek, milyen számban és kapcsolásban helyezkednek el mindaddig, amíg rajta ugyanaz az erõsségû áram folyik át. Ezért a teljes áramkört helyettesíthetjük egy olyan belsõ-ellenállással rendelkezõ feszültségforrással, amely az ellenálláson ugyanazt az áramot hatja keresztül. A helyettesítõ áramkört a 3.23.b ábra szemlélteti. Feladatunk meghatározni a helyettesítõ feszültségforrás forrásfeszültségét és belsõellenállását. Ezek ismeretében egyszerûen számíthatjuk ki az áramot az alábbi összefüggéssel:

a)                                                 b)

3.23 ábra

A fenti két mennyiség meghatározásához a következõ módszereket használjuk. A forrásfeszültség meghatározásához az A és B pontok között üresjáratot hozunk létre (megszakítjuk az áramkört) (3.23.c ábra) és valamilyen módszerrel meghatározzuk a két pont között megjelenõ üresjárási feszültséget (gyakorlati esetben az áramkörben ezt feszültségméréssel érhetjük el). Ezek után megtartva az A és B pontok között az üresjárási állapotot, kiiktatjuk az áramkörbõl az összes feszültségforrást és áramforrást. Ha ezeknek van belsõ ellenállásuk akkor a számítások elvégzéséhez helyettesítjük õket belsõ ellenállásukkal, ha ideálisak akkor a feszültségforrásokat rövidzárral helyettesítjük (3.23.d ábra).

c)                                                 d)

3.23 ábra

b)      A helyettesítõ áramforrás tétele (Norton-tétel)

Tekintsük a továbbiakban is ugyanazt a példaáramkört (3.23.a és 3.24.a ábrák). Ugyanaz a feladat, tehát az ellenálláson átfolyó áram meghatározása. Az elõzõ módszerben az ellenálláson kívül levõ áramköri részt egy feszültségforrással helyettesítünk, ám helyettesíthetjük áramforrással is. Ez a Norton-tétel, a helyettesítõ áramkört pedig a 3.24.b ábra szemlélteti, amelyben az áramot a (3.53) összefüggéssel határozhatjuk meg:

a)                                                   b)

3.24 ábra

Meg kell határozzuk a helyettesítõ áramforrás paramétereit. Ehhez rövidzárást hozunk létre az A és B pontok között és meghatározzuk az A és B pontok között folyó rövidzárási áramot (3.24.c ábra). Az áramforrás belsõ ellenállását ugyanúgy határozzuk meg, mint a Thèvenin-tétel esetében, tehát ugyanaz lesz a helyettesítõ áramforrás belsõ ellenállása, mint a helyettesítõ feszültségforrásé (3.24.d ábra).

c)                                                   d)

3.24 ábra

7. Ellenállások kapcsolása

Hálózatok számításánál nagyon fontos az, hogy miként dolgozunk a különbözõképpen kapcsolt ellenállásokkal, pontosabban milyen módon helyettesíthetjük a passzív áramköri kapcsolásokat úgy, hogy ekvivalens áramköröket kapjunk és egyszerûsítsük a számításokat. Ehhez az alábbi fontosabb kapcsolásokat vizsgáljuk meg.

1) Soros kapcsolás

Tekintsük a 3.25.a ábrán látható kapcsolást, melyben n darab különbözõ ellenállás van sorba kapcsolva. Az ellenállások soros kapcsolásából létrejövõ kétpóluson az feszültséget mérhetjük, míg az rajtuk keresztül áram folyik. Ohm törvényébõl kiszámítható minden ellenálláson a potenciálcsökkenések mértéke, mely minden esetben megegyezik az áram irányával. Jelöljük ezeket , ahol . Ezen feszültségek összege megadja az -t: . Ezzel a soros kapcsolással egyenértékû kétpólust készíthetünk egyetlen ellenállásból is (3.25.b ábra), a lényeg az, hogy rajta az áram folyjék és a kapcsain feszültség legyen. Jelöljük a helyettesítõ kétpólus ellenállását -el, így . A fentiekbõl következik, hogy a sorosan kapcsolt ellenállások eredõ ellenállása (3.54):

a) b)

3.25 ábra

2) Párhuzamos kapcsolás

Tekintsük a 3.26 a ábrán látható kapcsolást, melyben n darab különbözõ ellenállás van párhuzamosan kapcsolva. Az ellenállások párhuzamos kapcsolásából létrejövõ kétpóluson az feszültséget mérhetjük, míg mindegyik ágban különbözõ áramok folynak Az ellenállások ismeretében Ohm törvényébõl kiszámítható minden ellenálláson átfolyó áram. Jelöljük ezeket , ahol . A csomóponttörvény értelmében ezen áramok összege megadja a kétpólusba belépõ áramot . Ezzel a párhuzamos kapcsolással egyenértékû kétpólust készíthetünk egyetlen ellenállásból is (3.25.b ábra), a lényeg az, hogy rajta az áram folyjék és a kapcsain feszültség legyen. Jelöljük a helyettesítõ kétpólus ellenállását -el, így .

a) b)

3.26 ábra

A fentiekbõl következik, hogy a párhuzamosa kapcsolt ellenállások eredõ ellenállása (3.55):

3) Vegyes kapcsolás

Természetesen nem csak a fenti két egyedi eset képzelhetõ el, hanem ezeknek sokféle kombinációja. Sok esetben a fenti két kapcsolásmódon kívül másképpen kapcsolt ellenállások is szerepelhetnek, melyek számításához (3.54) és (3.55) nem elegendõ. A továbbiakban megvizsgálunk néhány olyan esetet, amelyben ellenállások vegyes kapcsolása szerepel.

3a) Delta - csillag átalakítás

Tekintsük a 3.27.a ábrán látható három ellenállást, melyek egy háromszög oldalait foglalják el, a számokkal jelölt pontok pedig egy aktív áramköri részhez csatlakoznak. Sok esetben elõfordul, hogy ezzel a kapcsolással nehézkesen lehet (úgy elmélet, mint gyakorlati) feladatokat megoldani, ezért jobban kezelhetõ ekvivalens kapcsolás létrehozására kell törekedjünk. Ezt a delta (vagy háromszög-) kapcsolást lehet helyettesíteni három másik ellenállás csillagkapcsolásával, melyet a 3.27.b ábra szemléltet. Feladatunk a delta kapcsolásban lévõ ellenállások értéknek függvényében meghatározni a csillag kapcsolásban szereplõ ellenállások értékeit.

a)                                                      b)

3.27 ábra

Az egyetlen feltétel, amelynek meg kell feleljen a csillagba kapcsolt három ellenállás az, hogy az 1-2, 2-3 és 1-3 pontok közötti ellenállások mindkét esetre ugyanazok kell legyenek.

Példa: 1-2 pontok közötti ellenállás: a delta kapcsolásban és sorba vannak kapcsolva, eredõjük pedig párhuzamosan az -al, a csillag kapcsolásban sorba van kapcsolva az -el stb. Ennek megfelelõen felírhatjuk a következõ egyenlõségeket, ahol . Az egyenletrendszer megoldásával kiszámíthatjuk az ekvivalens csillag kapcsolásban szereplõ ellenállások értékeit.

Megjegyzés: ahhoz, hogy szimmetrikus, könnyel alkalmazható eredményt kapjunk, feltétlenül be kell tartani a 3.27 ábránál használt jelöléseket.

3b) Csillag - delta átalakítás.

Tekintsük a 3.28.a ábrán látható három ellenállást, melyek egy csillag ágaiban helyezkednek el, a számokkal jelölt pontok pedig egy aktív áramköri részhez csatlakoznak. A 3a) pontban elmondott okok miatt ebben az esetben is jobban kezelhetõ ekvivalens kapcsolás létrehozására törekeszünk. Ahogy a delta-kapcsolást lehet csillag-kapcsolással, úgy a csillag-kapcsolást lehet delta-kapcsolással helyettesíteni (3.28.b ábra). Feladatunk a csillag-kapcsolásban lévõ ellenállások értéknek függvényében meghatározni a delta-kapcsolásban szereplõ ellenállások értékeit. A számítások elvégzéséhez sokkal elõnyösebb ezúttal az ellenállások fordított értékeivel, vagyis a vezetõképességekkel dolgozni.

3.28 ábra

Továbbra is, az egyetlen feltétel, amelynek meg kell feleljen a deltába kapcsolt három ellenállás az, hogy az 1-2, 2-3 és 1-3 pontok közötti ellenállások mindkét esetre ugyanazok kell legyenek. Ahhoz, hogy könnyen kezelhetõ összefüggésekhez jussunk, ebben az esetben a vezetõképességekkel dolgozunk. A megfelelõ átalakítási képleteket a (3.57)-bõl egyszerûen úgy kaphatjuk meg, hogy az ellenállást mindenhol vezetõképességre cseréljük () és , ahol .

Megjegyzés: ahhoz, hogy szimmetrikus, könnyel alkalmazható eredményt kapjunk, feltétlenül be kell tartani a 3.28 ábránál használt jelöléseket.

3c) Végtelen lánc (létraáramkör)

Tekintsük a 3.29.a ábrán látható végtelen láncot. Feladatunk e kapcsolás eredõ ellenállásának meghatározása. Feltételezzük, hogy a kapcsolás eredõ ellenállása , mint azt a 3.29.c ábra szemlélteti. Gondolatban válasszuk le a C és D pontoktól jobbra esõ áramköri részt.

a)

b) c)

3.29 ábra

A megmaradt rész még mindig végtelen láncot alkot, így ellenállása sem lehet különbözõ -tõl, ezért az áramkört helyettesíthetjük a 3.29.b ábrának megfelelõ kapcsolással is. Ennek a kapcsolásnak viszont könnyen meghatározhatjuk az ellenállását a (3.54) és (3.55) összefüggések alkalmazásával. Mivel a 3.29.b és 3.29.c kapcsolások egyenértékûek, az ellenállások között a következõ összefüggést írhatjuk fel:

Ennek a másodfokú egyenletnek két megoldása van,

melyek közül fizikai értelemmel csak a pozitív elõjelû rendelkezik, amely egyben az általunk keresett megoldás is.