Elektromos hálózatok

Az elektromos áramkörök, hálózatok igen változatosak lehetnek úgy, felépítés, működési üzemmód, felhasználást illetően, ezért csoportosításuknál nagyon változatos kritériumokat állíthatunk fel. Ezek közül tekintsünk át néhányat a teljesség igénye nélkül.

a)      Működési üzemmód szerint:

stacionárius

kvázistacionárius

nemstacionárius

permanens

tranziens üzemmód

b)      Az áramköri elemek természete szerint

lineáris

nem-lineáris

koncentrált paraméterek

elosztott paraméterek

c)      A külvilággal való kapcsolatuk szerint

d)      Az áramkörben lévő összekötő vezetékek tulajdonságai szerint

1. Hálózati topológia

Az elektromos áramkör nem más, mint olyan közegek zárt rendszere, melyen keresztül elektromos áram keringhet. Ilyen közegek lehetnek a vezetők, félvezetők, eltolási áram esetében szigetelők (kondenzátorok) Az áramköri elemeket illetően az áramkör tartalmazhat aktív áramköri elemeket, ezek az áramforrások (lehetnek feszültség- vagy áramge 525f59f nerátorok) illetve passzív áramköri elemeket, ezek a fogyasztók (elektromos energia felvevők).

Az áramkörök rendszere alkotja az elektromos hálózatokat. Az elektromos hálózatokban megkülönböztetünk áramköri ágakat, csomópontokat és hurkokat. A különböző ágakban. Az áramköri elemek (illetve áramkörök és hálózatok) között lehet induktív csatolás, amely azt jelenti, hogy a tekercsek elektromágneses tereiken keresztül hatnak egymásra az elektromágneses indukció jelensége réven. Az áramköri ág a hálózat elágazás nélküli része, ahol minden áramköri elem sorba van kapcsolva. Csomópontnak nevezzük az áramkör azon részét, ahol két vagy több ág találkozik. Huroknak nevezzük az áramkör ágainak azon részét, amelyek zárt görbét alkotnak, és úgy lehet körbejárni, hogy minden csomóponton csak egyszer haladunk át. Egy hurok független a többi huroktól, ha tartalmaz legalább egy olyan ágat, amelyet a többi hurok nem tartalmaz. A független hurokok száma egy hálózatban korlátozott. Egy l ágat és n csomópontot tartalmazó hálózatban a független hurokok számát a Euler-képlet adja meg.

2. Kirchhoff-törvények

a)      A csomóponttörvény (Kirchhoff I. törvénye) előjelszabály

Kirchhoff I. törvénye kimondja, hogy egy áramköri csomópont esetén a csomópontba befolyó és a csomópontból kifolyó áramok algebrai összege nulla. Ez a törvény a kontinuitási egyenlet (töltésmegmaradás törvény) következménye, amely stacionárius áramlás esetére kimondja, hogy bármely zárt felület esetén időegység alatt a felületen beáramló töltések és a felületen keresztül távozó töltések összege nulla. Ennek megfelelően az áramoknak előjelet kell adjunk. A 3.19 ábrán látható csomópont esetén a csomópontot vegyük körül egy zárt Gauss-felülettel és ezen a felületen integráljuk a kontinuitási egyenlet stacionárius esetére vonatkozó alakját (3.47):

Az áramok előjeleit a zárt felület normális irányának megfelelően vesszük fel, amelynek iránya mindig kifele mutat a zárt felületből. Így a felületbe (csomópontba) befolyó áramok negatívak, míg a kifolyó áramok pozitívak. Elvégezve a számításokat kapjuk Kirchhoff csomóponttörvényét:

b)      A huroktörvény (Kirchhoff II. törvénye) előjelszabály

Kirchhoff második törvénye zárt áramkörre vonatkozik és kimondja, hogy stacionárius árammal átjárt hálózat bármely hurokjában az egyes szakaszokhoz tartozó feszültségesések összege egyenlő az elektromotoros feszültségek algebrai összegével. Ez az összefüggés tulajdonképpen a teljes áramkörre vonatkozó differenciális Ohm-törvénynek (3.33) az integrális alakja.

Mivel az összefüggést egy vonalintegrál eredményeként kapjuk (ahol fel kell vegyünk egy integrálási irányt) a törvény helyes alkalmazásához itt is fel kell vennünk egy "körüljárási" irányt (3.20 ábra).

3.20 ábra

Ez a körüljárási irány teljesen szabadon választott, ehhez viszont két előjelszabályt kell helyesen alkalmazzunk. Az első az összefüggés baloldalára vonatkozik. Pozitívnak tekintünk minden olyan e.m.f.-et, amelynek pozitív mérési iránya megegyezik a körüljárási iránnyal, negatívnak pedig azokat amelyeknek ezzel ellentétes. A második előjelszabály az összefüggés jobboldalára vonatkozik és kimondja, hogy pozitív minden olyan potenciálesés, amelyet az ágakban olyan áram hoz létre, amelynek folyási iránya megegyezik a körüljárási iránnyal, negatív pedig azoknál, amelyeknél az áram folyási iránya ezzel ellentétes. Egy teljes áramköri hálózat esetében meghatározott számú hurokra írható fel egymástól függetlenül huroktörvény. Ezt a számot Euler-tételével határozhatjuk meg: , ahol l az alapvető hurkok száma és n a csomópontok száma.

. A szuperpozíció elve

A szuperpozíció elve igen fontos az elektromosságtanban. Már megismerkedtünk az elv lényegével az elektrosztatika fejezetben. Ebben a fejezetben az elv alkalmazásának módszerét vizsgáljuk meg a stacionárius áramkörök megoldására vonatkozóan. Általában az áramkörökben nem egy, hanem több áramforrás is helyet kap. Bekapcsolásuk után létrejön egy stacionárius állapot, amely azt jelenti, hogy minden áramköri ágban folyik egy meghatározott irányú és erősségű áram. A szuperpozíció elve kimondja, hogy a stacionárius állapotok egymásra tevődnek. Ez egy áramkörben a következőt jelenti. Sorra kiiktatunk minden áramforrást az áramkörben úgy, hogy csak egyet hagyunk meg. Minden esetben kiszámítjuk (pl. Kirchhoff törvényeivel), vagy megmérjük minden ágban az áramerősségeket, majd ezeket áganként, irányoknak megfelelően összegezzük (szuperponáljuk). Tulajdonképpen nem teszünk mást ezzel, minthogy minden áramforrás hozzájárulását összegezzük áganként, hogy megkapjuk azokat az áramerősségeket, amelyek abban az esetben folynak az áramkörben, amikor minden áramforrás működik.

Az elv bemutatásához a 3.21 ábrán látható két hurokkal rendelkező példaáramkört tekintjük, amelyben két áramforrás található.

3.21 ábra

A 3.19 ábrán az a két áramkör látható, amelyeket a feszültségforrások sorra történő kiiktatásakor kapunk. Úgy a 3.21 mint a 3.22 ábrán feltüntettünk feltételezett áramirányokat is.

a)                                                             b)

3.22 ábra

A szuperpozíció elve szerint az ágakban folyó áramok erősségeit a (3.50) összefüggésekkel számíthatjuk ki.

4. Reciprocitás tétele

A reciprocitás (Maxwell-féle) tétele kimondja, hogy ha egy hálózat j-ik ágában lévő elektromotoros feszültség a k-ik ágban I áramot hoz létre, akkor áttéve a feszültség generátort a k-ig ágba, a j-ik ágban ugyanazt az I áramot kapjuk. Ez a tétel csak abban az esetben érvényes, amikor a két ágban a feszültségforrások azonos e.m.f.-el rendelkeznek és az áramkörben csak egyetlen egy áramforrás van. A 3.21 ábrán látható áramkör esetén a reciprocitás elve szerint a (3.22.a és a 3.22.b ábra) az -es feszültségforrás kiiktatása esetén a -es ágban folyó áram erőssége meg kell egyezzen a -es feszültségforrás kiiktatásakor az -es ágban folyó áram erősségével, vagyis

5. Helyettesítő tételek

Bonyolult hálózatok számítása esetében nyújtanak segítséget a helyettesítő hálózatszámítási tételek. Ezeket általában azokban az esetekben alkalmazzuk, amikor nem kell meghatározni minden áramköri ágban az áramerősséget, vagy csak egy adott ágban kell ezt megtennünk, de minden olyan más estben is maikor az áramkör egyszerűsítésére van szükség ahhoz, hogy gyorsabban, kevesebb számítással oldunk meg egy feladatot. Két tétellel fogunk megismerkedni, a helyettesítő feszültségforrás tételével (Thèvenin-tétel) és a helyettesítő áramforrás tételével (Norton-tétel). A tárgyaláshoz egy olyan példaáramkört tekintünk, amelyben az átláthatóság kedvéért nem vettünk sok hurkot, viszont elhelyeztünk minden olyan áramköri elemet, amelyek szerepét megfelelően ismerni kell ahhoz, hogy a helyettesítő tételeket megfelelően alkalmazhassuk.

a)      A helyettesítő feszültségforrás tétele (Thèvenin-tétel)

Tekintsük a 3.23.a ábrán látható áramkört, melyben célunk az munkaellenálláson átfolyó áram meghatározása.. Az ellenállás szempontjából lényegtelen, hogy az áramkörben milyen áramköri elemek, milyen számban és kapcsolásban helyezkednek el mindaddig, amíg rajta ugyanaz az erősségű áram folyik át. Ezért a teljes áramkört helyettesíthetjük egy olyan belső-ellenállással rendelkező feszültségforrással, amely az ellenálláson ugyanazt az áramot hatja keresztül. A helyettesítő áramkört a 3.23.b ábra szemlélteti. Feladatunk meghatározni a helyettesítő feszültségforrás forrásfeszültségét és belsőellenállását. Ezek ismeretében egyszerűen számíthatjuk ki az áramot az alábbi összefüggéssel:

a)                                                 b)

3.23 ábra

A fenti két mennyiség meghatározásához a következő módszereket használjuk. A forrásfeszültség meghatározásához az A és B pontok között üresjáratot hozunk létre (megszakítjuk az áramkört) (3.23.c ábra) és valamilyen módszerrel meghatározzuk a két pont között megjelenő üresjárási feszültséget (gyakorlati esetben az áramkörben ezt feszültségméréssel érhetjük el). Ezek után megtartva az A és B pontok között az üresjárási állapotot, kiiktatjuk az áramkörből az összes feszültségforrást és áramforrást. Ha ezeknek van belső ellenállásuk akkor a számítások elvégzéséhez helyettesítjük őket belső ellenállásukkal, ha ideálisak akkor a feszültségforrásokat rövidzárral helyettesítjük (3.23.d ábra).

c)                                                 d)

3.23 ábra

b)      A helyettesítő áramforrás tétele (Norton-tétel)

Tekintsük a továbbiakban is ugyanazt a példaáramkört (3.23.a és 3.24.a ábrák). Ugyanaz a feladat, tehát az ellenálláson átfolyó áram meghatározása. Az előző módszerben az ellenálláson kívül levő áramköri részt egy feszültségforrással helyettesítünk, ám helyettesíthetjük áramforrással is. Ez a Norton-tétel, a helyettesítő áramkört pedig a 3.24.b ábra szemlélteti, amelyben az áramot a (3.53) összefüggéssel határozhatjuk meg:

a)                                                   b)

3.24 ábra

Meg kell határozzuk a helyettesítő áramforrás paramétereit. Ehhez rövidzárást hozunk létre az A és B pontok között és meghatározzuk az A és B pontok között folyó rövidzárási áramot (3.24.c ábra). Az áramforrás belső ellenállását ugyanúgy határozzuk meg, mint a Thèvenin-tétel esetében, tehát ugyanaz lesz a helyettesítő áramforrás belső ellenállása, mint a helyettesítő feszültségforrásé (3.24.d ábra).

c)                                                   d)

3.24 ábra

7. Ellenállások kapcsolása

Hálózatok számításánál nagyon fontos az, hogy miként dolgozunk a különbözőképpen kapcsolt ellenállásokkal, pontosabban milyen módon helyettesíthetjük a passzív áramköri kapcsolásokat úgy, hogy ekvivalens áramköröket kapjunk és egyszerűsítsük a számításokat. Ehhez az alábbi fontosabb kapcsolásokat vizsgáljuk meg.

1) Soros kapcsolás

Tekintsük a 3.25.a ábrán látható kapcsolást, melyben n darab különböző ellenállás van sorba kapcsolva. Az ellenállások soros kapcsolásából létrejövő kétpóluson az feszültséget mérhetjük, míg az rajtuk keresztül áram folyik. Ohm törvényéből kiszámítható minden ellenálláson a potenciálcsökkenések mértéke, mely minden esetben megegyezik az áram irányával. Jelöljük ezeket , ahol . Ezen feszültségek összege megadja az -t: . Ezzel a soros kapcsolással egyenértékű kétpólust készíthetünk egyetlen ellenállásból is (3.25.b ábra), a lényeg az, hogy rajta az áram folyjék és a kapcsain feszültség legyen. Jelöljük a helyettesítő kétpólus ellenállását -el, így . A fentiekből következik, hogy a sorosan kapcsolt ellenállások eredő ellenállása (3.54):

a) b)

3.25 ábra

2) Párhuzamos kapcsolás

Tekintsük a 3.26 a ábrán látható kapcsolást, melyben n darab különböző ellenállás van párhuzamosan kapcsolva. Az ellenállások párhuzamos kapcsolásából létrejövő kétpóluson az feszültséget mérhetjük, míg mindegyik ágban különböző áramok folynak Az ellenállások ismeretében Ohm törvényéből kiszámítható minden ellenálláson átfolyó áram. Jelöljük ezeket , ahol . A csomóponttörvény értelmében ezen áramok összege megadja a kétpólusba belépő áramot . Ezzel a párhuzamos kapcsolással egyenértékű kétpólust készíthetünk egyetlen ellenállásból is (3.25.b ábra), a lényeg az, hogy rajta az áram folyjék és a kapcsain feszültség legyen. Jelöljük a helyettesítő kétpólus ellenállását -el, így .

a) b)

3.26 ábra

A fentiekből következik, hogy a párhuzamosa kapcsolt ellenállások eredő ellenállása (3.55):

3) Vegyes kapcsolás

Természetesen nem csak a fenti két egyedi eset képzelhető el, hanem ezeknek sokféle kombinációja. Sok esetben a fenti két kapcsolásmódon kívül másképpen kapcsolt ellenállások is szerepelhetnek, melyek számításához (3.54) és (3.55) nem elegendő. A továbbiakban megvizsgálunk néhány olyan esetet, amelyben ellenállások vegyes kapcsolása szerepel.

3a) Delta - csillag átalakítás

Tekintsük a 3.27.a ábrán látható három ellenállást, melyek egy háromszög oldalait foglalják el, a számokkal jelölt pontok pedig egy aktív áramköri részhez csatlakoznak. Sok esetben előfordul, hogy ezzel a kapcsolással nehézkesen lehet (úgy elmélet, mint gyakorlati) feladatokat megoldani, ezért jobban kezelhető ekvivalens kapcsolás létrehozására kell törekedjünk. Ezt a delta (vagy háromszög-) kapcsolást lehet helyettesíteni három másik ellenállás csillagkapcsolásával, melyet a 3.27.b ábra szemléltet. Feladatunk a delta kapcsolásban lévő ellenállások értéknek függvényében meghatározni a csillag kapcsolásban szereplő ellenállások értékeit.

a)                                                      b)

3.27 ábra

Az egyetlen feltétel, amelynek meg kell feleljen a csillagba kapcsolt három ellenállás az, hogy az 1-2, 2-3 és 1-3 pontok közötti ellenállások mindkét esetre ugyanazok kell legyenek.

Példa: 1-2 pontok közötti ellenállás: a delta kapcsolásban és sorba vannak kapcsolva, eredőjük pedig párhuzamosan az -al, a csillag kapcsolásban sorba van kapcsolva az -el stb. Ennek megfelelően felírhatjuk a következő egyenlőségeket, ahol . Az egyenletrendszer megoldásával kiszámíthatjuk az ekvivalens csillag kapcsolásban szereplő ellenállások értékeit.

Megjegyzés: ahhoz, hogy szimmetrikus, könnyel alkalmazható eredményt kapjunk, feltétlenül be kell tartani a 3.27 ábránál használt jelöléseket.

3b) Csillag - delta átalakítás.

Tekintsük a 3.28.a ábrán látható három ellenállást, melyek egy csillag ágaiban helyezkednek el, a számokkal jelölt pontok pedig egy aktív áramköri részhez csatlakoznak. A 3a) pontban elmondott okok miatt ebben az esetben is jobban kezelhető ekvivalens kapcsolás létrehozására törekeszünk. Ahogy a delta-kapcsolást lehet csillag-kapcsolással, úgy a csillag-kapcsolást lehet delta-kapcsolással helyettesíteni (3.28.b ábra). Feladatunk a csillag-kapcsolásban lévő ellenállások értéknek függvényében meghatározni a delta-kapcsolásban szereplő ellenállások értékeit. A számítások elvégzéséhez sokkal előnyösebb ezúttal az ellenállások fordított értékeivel, vagyis a vezetőképességekkel dolgozni.

3.28 ábra

Továbbra is, az egyetlen feltétel, amelynek meg kell feleljen a deltába kapcsolt három ellenállás az, hogy az 1-2, 2-3 és 1-3 pontok közötti ellenállások mindkét esetre ugyanazok kell legyenek. Ahhoz, hogy könnyen kezelhető összefüggésekhez jussunk, ebben az esetben a vezetőképességekkel dolgozunk. A megfelelő átalakítási képleteket a (3.57)-ből egyszerűen úgy kaphatjuk meg, hogy az ellenállást mindenhol vezetőképességre cseréljük () és , ahol .

Megjegyzés: ahhoz, hogy szimmetrikus, könnyel alkalmazható eredményt kapjunk, feltétlenül be kell tartani a 3.28 ábránál használt jelöléseket.

3c) Végtelen lánc (létraáramkör)

Tekintsük a 3.29.a ábrán látható végtelen láncot. Feladatunk e kapcsolás eredő ellenállásának meghatározása. Feltételezzük, hogy a kapcsolás eredő ellenállása , mint azt a 3.29.c ábra szemlélteti. Gondolatban válasszuk le a C és D pontoktól jobbra eső áramköri részt.

a)

b) c)

3.29 ábra

A megmaradt rész még mindig végtelen láncot alkot, így ellenállása sem lehet különböző -től, ezért az áramkört helyettesíthetjük a 3.29.b ábrának megfelelő kapcsolással is. Ennek a kapcsolásnak viszont könnyen meghatározhatjuk az ellenállását a (3.54) és (3.55) összefüggések alkalmazásával. Mivel a 3.29.b és 3.29.c kapcsolások egyenértékűek, az ellenállások között a következő összefüggést írhatjuk fel:

Ennek a másodfokú egyenletnek két megoldása van,

melyek közül fizikai értelemmel csak a pozitív előjelű rendelkezik, amely egyben az általunk keresett megoldás is.