Differenciál-egyenletek módszere

Ebben a részben kizárólag példákra szorítkozva mutatunk be egyszerû áramkörökben lejátszódó tranziens folyamatokat és leírásukat az idõtérben felírt differenciálegyenletek segítségével.

RL be- és kikapcsolási jelenség

Tekintsük az alábbi egyszerû áramkört, mely egy egyenáramú áramforrást és egy valódi tekercset tartalmaz.

6.1 ábra

a) Bekapcsolási jelenség: a kapcsolót a (1) helyzetbe kapcsoljuk. Annak ellenére, hogy egyenáramú áramkörrõl van szó, a tekercsben lejátszódó elektromágneses indukció miatt, nem jelenhetnek meg ugrásszerû változások, mivel az a mágneses tér végtelen sebességgel végbemenõ változását jelentené, amely viszont fizikailag lehetetlen. Felírjuk a huroktörvény differenciális alakját és megoldjuk, amely egy elsõfokú, inhomogén, állandó együtthatójú differenciálegyenlet.

A differenciálegyenlet megoldása a homogén és a partikuláris megoldás összegébõl áll.

Ebbõl az összefüggésbõl meghatározhatjuk az állandót úgy, hogy a kezdeti permanens állapotban nem folyik áram az áramkörben.

Az áram, az ellenálláson és a tekercsen megjelenõ feszültség idõfüggését a (6.3) összefüggések foglalják össze.

A mennyiség idõ dimenzióval rendelkezik és az áramkör idõállandójának nevezzük. Ennek mértékétõl függ az, hogy az áramkörben hamarabb végy késõbb áll be a permanens állapot. Ha ennek az értéke nagy, sokára, ha pedig kicsi rövid idõ alatt jut el az áramkör a permanens állapotba.

A fenti összefüggések grafikus ábrázolását a 6.2 ábra tartalmazza.

6.2 ábra

b) Kikapcsolási jelenség: a kapcsolót a (2) helyzetbe kapcsoljuk. Mivel az áramkör átkapcsolásakor a tekercs mágneses térrel rendelkezik és az áram, amely ezt a teret létrehozza csökken, ismét indukció lép fel. Felírjuk a hurokegyenletet, amely megegyezik a bekapcsolási jelenségnél megismert egyenlet homogén részével, így megoldása is ugyanaz:

A állandó meghatározásához ismét fizikai feltételt veszünk figyelembe, mégpedig azt, hogy a kikapcsolás pillanatában () az áramkörben áram folyik.

A fentieknek megfelelõen az áram, illetve az ellenálláson és a tekercsen megjelenõ feszültség idõfüggését a (6.5) összefüggések foglalják össze.

A fenti összefüggések grafikus ábrázolását a 6.3 ábra tartalmazza.

6.3 ábra

RC be- és kikapcsolási jelenség

Tekintsük az alábbi egyszerû áramkört, mely egy egyenáramú áramforrást, egy ellenállást és egy kondenzátort tartalmaz.

6.4 ábra

a) Bekapcsolási jelenség: a kapcsolót a (1) helyzetbe kapcsoljuk. Az áramkörben nem változhat meg az áram ugrásszerûen, mivel az a kondenzátor fegyverzetei között megjelenõ elektromos tér végtelen sebességgel történõ változását jelentené. Felírjuk a huroktörvény differenciális alakját:

Ezt az integrálegyenletet egyszerûbb megoldani, ha már változót keresünk, amelynek segítségével átalakíthatjuk egyszerû, állandó együtthatójú, elsõrendû inhomogén differenciálegyenletté. Ez a változó az elektromos töltés (), melynek bevezetésével a (6.6) összefüggés a következõ alakban írható fel:

A differenciálegyenlet megoldása a homogén és a partikuláris megoldás összegébõl áll.

Ebbõl az összefüggésbõl meghatározhatjuk a állandót úgy, hogy a kezdeti permanens állapotban a kondenzátor töltetlen ().

A kondenzátor fegyverzetein megjelenõ töltés idõfüggésére a következõ összefüggést kapjuk:

Az áramkörben folyó áram, illetve az ellenálláson és a kondenzátoron megjelenõ feszültség idõfüggését a (6.10) összefüggések foglalják össze:

A mennyiség idõ dimenzióval rendelkezik és az áramkör idõállandójának nevezzük. Ennek mértékétõl függ az, hogy az áramkörben hamarabb végy késõbb áll be a permanens állapot. Ha ennek az értéke nagy, sokára, ha pedig kicsi rövid idõ alatt jut el az áramkör a permanens állapotba.

A fenti összefüggések grafikus ábrázolását az 6. ábra tartalmazza.

6.5 ábra

b) Kikapcsolási jelenség: a kapcsolót a (2) helyzetbe kapcsoljuk. Mivel az áramkör átkapcsolásakor a kondenzátor elektromos térrel rendelkezik, az átkapcsolás után a kondenzátor áramforrásként viselkedik. Felírjuk a hurokegyenletet, amely megegyezik a bekapcsolási jelenségnél megismert egyenlet homogén részével, így megoldása is ugyanaz:

A állandó meghatározásához ismét fizikai feltételt veszünk figyelembe, mégpedig azt, hogy a kikapcsolás pillanatában () a kondenzátor töltése .

A kondenzátor fegyverzetein megjelenõ töltés idõfüggésére a következõ összefüggést kapjuk:

A fentieknek megfelelõen az áram, illetve az ellenálláson és a kondenzátoron megjelenõ feszültség idõfüggését a (6.14) összefüggések foglalják össze.

A fenti összefüggések grafikus ábrázolását a 6.6 ábra tartalmazza.

6.6 ábra

3. Soros RLC áramkörben lejátszódó tranziens jelenségek

Tekintsük a 6.7 ábrán látható áramkört, melyben egy egyenáramú áramforrás, egy kondenzátor és egy valódi tekercs található. A K kapcsolót (1) állásba kapcsoljuk és feltöltjük a kondenzátort, majd a (2)-es állásba kapcsoljuk, ahol a három áramköri elem sorba van kapcsolva egymással. A kialakuló jelet pl. egy oszcilloszkóp bemenetére kapcsolhatjuk és megfigyelhetjük a kondenzátor fegyverzetein létrejövõ feszültség idõbeli változását az áramköri paraméterek függvényében. A továbbiakban ezt tanulmányozzuk elméleti síkon.

6.7 ábra.

Külsõ feszültségforrás hiányában Kirchhoff huroktörvényébõl következik, hogy a kisülési folyamatot a következõ differenciálegyenlet írja le:

Az áram helyett bevezetjük a töltésmennyiséget és rendezzük az egyenletet úgy, hogy a legmagasabb rendû derivált szabadtagja egy legyen.

Megfigyelhetjük, hogy a fenti másodrendû, állandó együtthatójú, homogén differenciálegyenlethez hasonló alakú egyenlet írja le az áram, illetve a kondenzátor fegyverzetein megjelenõ feszültséget is (6.17).

A következõkben megoldjuk az áramra vonatkozó differenciálegyenletet. Felírjuk a karakterisztikus egyenletet és kiszámítjuk a gyökeit.

jelöljük:  és , így

A differenciálegyenlet általános megoldása a karakterisztikus egyenlet gyökeinek alábbi lineáris kombinációjaként adható meg:

Tekintsük az A és B állandókat a következõ alakban:

   és

Behelyettesítünk és elvégezzük a számításokat:

       Megadhatjuk a fenti összefüggést szinuszos alakban, így az áramkörben folyó áram pillanatnyi értékére a következõ összefüggést kapjuk:

Az áramköri paraméterek értékeinek függvényében különbözõ folyamatok játszódhatnak le az áramkörben. A továbbiakban ezeket az eseteket tárgyaljuk.

a) Veszteségmentes (ideális rezgõkör). Harmonikus rezgés.

Az ideális rezgõkör nem tartalmaz diszipatív elemeket, tehát az áramkör teljes ohmos ellenállása , így jelöléseink szerint:

és ,

ahol rezonancia körfrekvenciának nevezzük. Ennek megfelelõen az áramkörben egy szinuszos harmonikus rezgés jön létre, mely a (6.21) alakban írható fel és a 6.8 ábra mutatja be:

6.8 ábra

b) Gyengén csillapított rezgõkör. Csillapított harmonikus rezgés.

Gyengén csillapított rezgés akkor jön létre az áramkörben, amikor

így .

Ebben az esetben, az áramkörben folyó áram erõsségére a következõ összefüggés érvényes:

amely kifejezi, hogy a létrejövõ rezgés harmonikus, és amplitúdója idõben exponenciálisan csökkenõ ezért az amplitúdóban megjelenõ mennyiséget idõbeli csillapítási tényezõnek nevezzük. Grafikus ábrázolását a 6.9 ábra mutatja be:

6.9 ábra

Az idõbeli csillapítási tényezõn kívül, a gyengén csillapított elektromágneses rezgés jellemzéséhez bevezetjük a logaritmikus dekrementumot és a jósági tényezõt.

A logaritmikus dekrementum nem más, mint két egymást követõ (tehát egy periódusnyi távolságra található), azonos elõjelû amplitúdó hányadosának természetes alapú logaritmusa.

- mivel

A jósági tényezõ definíciója:

c) Erõsen csillapított (túlcsillapított) rezgõkör. Aperiodikus rezgés. 

Erõsen csillapított rezgés akkor jön létre az áramkörben, amikor

így és valós, negatív gyökök.

Ebben az esetben, az áramkörben folyó áram két exponenciális függvény eredõjeként állítható elõ.

d) A gyengén- és az erõsen csillapított rezgés közötti átmenetet aperiodikus határesetnek nevezzük. Ebben az esetben:

ahol, a határellenállás.