Differenciál-egyenletek módszere

Ebben a részben kizárólag példákra szorítkozva mutatunk be egyszerű áramkörökben lejátszódó tranziens folyamatokat és leírásukat az időtérben felírt differenciálegyenletek segítségével.

RL be- és kikapcsolási jelenség

Tekintsük az alábbi egyszerű áramkört, mely egy egyenáramú áramforrást és egy valódi tekercset tartalmaz.

6.1 ábra

a) Bekapcsolási jelenség: a kapcsolót a (1) helyzetbe kapcsoljuk. Annak ellenére, hogy egyenáramú áramkörről van szó, a tekercsben lejátszódó elektromágneses indukció miatt, nem jelenhetnek meg ugrásszerű változások, mivel az a mágneses tér végtelen sebességgel végbemenő változását jelentené, amely viszont fizikailag lehetetlen. Felírjuk a huroktörvény differenciális alakját és megoldjuk, amely egy elsőfokú, inhomogén, állandó együtthatójú differenciálegyenlet.

A differenciálegyenlet megoldása a homogén és a partikuláris megoldás összegéből áll.

Ebből az összefüggésből meghatározhatjuk az állandót úgy, hogy a kezdeti permanens állapotban nem folyik áram az áramkörben.

Az áram, az ellenálláson és a tekercsen megjelenő feszültség időfüggését a (6.3) összefüggések foglalják össze.

A mennyiség idő dimenzióval rendelkezik és az áramkör időállandójának nevezzük. Ennek mértékétől függ az, hogy az áramkörben hamarabb végy később áll be a permanens állapot. Ha ennek az értéke nagy, sokára, ha pedig kicsi rövid idő alatt jut el az áramkör a permanens állapotba.

A fenti összefüggések grafikus ábrázolását a 6.2 ábra tartalmazza.

6.2 ábra

b) Kikapcsolási jelenség: a kapcsolót a (2) helyzetbe kapcsoljuk. Mivel az áramkör átkapcsolásakor a tekercs mágneses térrel rendelkezik és az áram, amely ezt a teret létrehozza csökken, ismét indukció lép fel. Felírjuk a hurokegyenletet, amely megegyezik a bekapcsolási jelenségnél megismert egyenlet homogén részével, így megoldása is ugyanaz:

A állandó meghatározásához ismét fizikai feltételt veszünk figyelembe, mégpedig azt, hogy a kikapcsolás pillanatában () az áramkörben áram folyik.

A fentieknek megfelelően az áram, illetve az ellenálláson és a tekercsen megjelenő feszültség időfüggését a (6.5) összefüggések foglalják össze.

A fenti összefüggések grafikus ábrázolását a 6.3 ábra tartalmazza.

6.3 ábra

RC be- és kikapcsolási jelenség

Tekintsük az alábbi egyszerű áramkört, mely egy egyenáramú áramforrást, egy ellenállást és egy kondenzátort tartalmaz.

6.4 ábra

a) Bekapcsolási jelenség: a kapcsolót a (1) helyzetbe kapcsoljuk. Az áramkörben nem változhat meg az áram ugrásszerűen, mivel az a kondenzátor fegyverzetei között megjelenő elektromos tér végtelen sebességgel történő változását jelentené. Felírjuk a huroktörvény differenciális alakját:

Ezt az integrálegyenletet egyszerűbb megoldani, ha már változót keresünk, amelynek segítségével átalakíthatjuk egyszerű, állandó együtthatójú, elsőrendű inhomogén differenciálegyenletté. Ez a változó az elektromos töltés (), melynek bevezetésével a (6.6) összefüggés a következő alakban írható fel:

A differenciálegyenlet megoldása a homogén és a partikuláris megoldás összegéből áll.

Ebből az összefüggésből meghatározhatjuk a állandót úgy, hogy a kezdeti permanens állapotban a kondenzátor töltetlen ().

A kondenzátor fegyverzetein megjelenő töltés időfüggésére a következő összefüggést kapjuk:

Az áramkörben folyó áram, illetve az ellenálláson és a kondenzátoron megjelenő feszültség időfüggését a (6.10) összefüggések foglalják össze:

A mennyiség idő dimenzióval rendelkezik és az áramkör időállandójának nevezzük. Ennek mértékétől függ az, hogy az áramkörben hamarabb végy később áll be a permanens állapot. Ha ennek az értéke nagy, sokára, ha pedig kicsi rövid idő alatt jut el az áramkör a permanens állapotba.

A fenti összefüggések grafikus ábrázolását az 6. ábra tartalmazza.

6.5 ábra

b) Kikapcsolási jelenség: a kapcsolót a (2) helyzetbe kapcsoljuk. Mivel az áramkör átkapcsolásakor a kondenzátor elektromos térrel rendelkezik, az átkapcsolás után a kondenzátor áramforrásként viselkedik. Felírjuk a hurokegyenletet, amely megegyezik a bekapcsolási jelenségnél megismert egyenlet homogén részével, így megoldása is ugyanaz:

A állandó meghatározásához ismét fizikai feltételt veszünk figyelembe, mégpedig azt, hogy a kikapcsolás pillanatában () a kondenzátor töltése .

A kondenzátor fegyverzetein megjelenő töltés időfüggésére a következő összefüggést kapjuk:

A fentieknek megfelelően az áram, illetve az ellenálláson és a kondenzátoron megjelenő feszültség időfüggését a (6.14) összefüggések foglalják össze.

A fenti összefüggések grafikus ábrázolását a 6.6 ábra tartalmazza.

6.6 ábra

3. Soros RLC áramkörben lejátszódó tranziens jelenségek

Tekintsük a 6.7 ábrán látható áramkört, melyben egy egyenáramú áramforrás, egy kondenzátor és egy valódi tekercs található. A K kapcsolót (1) állásba kapcsoljuk és feltöltjük a kondenzátort, majd a (2)-es állásba kapcsoljuk, ahol a három áramköri elem sorba van kapcsolva egymással. A kialakuló jelet pl. egy oszcilloszkóp bemenetére kapcsolhatjuk és megfigyelhetjük a kondenzátor fegyverzetein létrejövő feszültség időbeli változását az áramköri paraméterek függvényében. A továbbiakban ezt tanulmányozzuk elméleti síkon.

6.7 ábra.

Külső feszültségforrás hiányában Kirchhoff huroktörvényéből következik, hogy a kisülési folyamatot a következő differenciálegyenlet írja le:

Az áram helyett bevezetjük a töltésmennyiséget és rendezzük az egyenletet úgy, hogy a legmagasabb rendű derivált szabadtagja egy legyen.

Megfigyelhetjük, hogy a fenti másodrendű, állandó együtthatójú, homogén differenciálegyenlethez hasonló alakú egyenlet írja le az áram, illetve a kondenzátor fegyverzetein megjelenő feszültséget is (6.17).

A következőkben megoldjuk az áramra vonatkozó differenciálegyenletet. Felírjuk a karakterisztikus egyenletet és kiszámítjuk a gyökeit.

jelöljük:  és , így

A differenciálegyenlet általános megoldása a karakterisztikus egyenlet gyökeinek alábbi lineáris kombinációjaként adható meg:

Tekintsük az A és B állandókat a következő alakban:

   és

Behelyettesítünk és elvégezzük a számításokat:

       Megadhatjuk a fenti összefüggést szinuszos alakban, így az áramkörben folyó áram pillanatnyi értékére a következő összefüggést kapjuk:

Az áramköri paraméterek értékeinek függvényében különböző folyamatok játszódhatnak le az áramkörben. A továbbiakban ezeket az eseteket tárgyaljuk.

a) Veszteségmentes (ideális rezgőkör). Harmonikus rezgés.

Az ideális rezgőkör nem tartalmaz diszipatív elemeket, tehát az áramkör teljes ohmos ellenállása , így jelöléseink szerint:

és ,

ahol rezonancia körfrekvenciának nevezzük. Ennek megfelelően az áramkörben egy szinuszos harmonikus rezgés jön létre, mely a (6.21) alakban írható fel és a 6.8 ábra mutatja be:

6.8 ábra

b) Gyengén csillapított rezgőkör. Csillapított harmonikus rezgés.

Gyengén csillapított rezgés akkor jön létre az áramkörben, amikor

így .

Ebben az esetben, az áramkörben folyó áram erősségére a következő összefüggés érvényes:

amely kifejezi, hogy a létrejövő rezgés harmonikus, és amplitúdója időben exponenciálisan csökkenő ezért az amplitúdóban megjelenő mennyiséget időbeli csillapítási tényezőnek nevezzük. Grafikus ábrázolását a 6.9 ábra mutatja be:

6.9 ábra

Az időbeli csillapítási tényezőn kívül, a gyengén csillapított elektromágneses rezgés jellemzéséhez bevezetjük a logaritmikus dekrementumot és a jósági tényezőt.

A logaritmikus dekrementum nem más, mint két egymást követő (tehát egy periódusnyi távolságra található), azonos előjelű amplitúdó hányadosának természetes alapú logaritmusa.

- mivel

A jósági tényező definíciója:

c) Erősen csillapított (túlcsillapított) rezgőkör. Aperiodikus rezgés. 

Erősen csillapított rezgés akkor jön létre az áramkörben, amikor

így és valós, negatív gyökök.

Ebben az esetben, az áramkörben folyó áram két exponenciális függvény eredőjeként állítható elő.

d) A gyengén- és az erősen csillapított rezgés közötti átmenetet aperiodikus határesetnek nevezzük. Ebben az esetben:

ahol, a határellenállás.