DISZKRÉT ÉS FOLYTONOS SZIMMETRIÁK

DISZKRÉT ÉS FOLYTONOS SZIMMETRIÁK

A köznapi életben, a biológiában, az építészetben és a szobrá­szatban egyidejűleg született meg a szimmetria fogalma a harmó­nia és a szépség szinonimájaként. Itt csak a tárgyak és részeik tér­beli viszonyai kerültek előtérbe, és szimmetrián csak a tükörszim­metriát és a 838h77i forgásszimmetriát értették. Természetesen ennél gaz­dagabb a szimmetria fogalma. A tükörszimmetria, azaz a jobb és bal oldal szimmetriája jól ismert, a természetben igen elterjedt. A forgási szimmetriát is jól értjük, például egy szabályos háromszög vagy szabályos négyszög bizonyos szögekkel elforgatva mindig önmagába megy át. Ezt a tudományban úgy nevezik, hogy a sza­bályos háromszögnek "háromfogású" szimmetriája van, hiszen há­romszor foghatjuk meg, és 120°-kal elforgatva, visszakapjuk az eredeti állapotot. A négyzetnél négyfogású szimmetriáról beszé­lünk, hiszen négyszer forgathatjuk 90°-kal az alakzatot, az ötszög­nél természetesen ötször forgathatunk ahhoz, hogy az eredeti alak­zatot kapjuk vissza. Az ötfogású szimmetria gyakran előfordul a természetben - lásd például az alma magházának szimmetriáját de a kristályoknál sohasem fordul elő. Vannak olyan feltételezések, miszerint az ötfogású szimmetriatengely az élőlények sajátos "vé­dekezési eszköze a létért folyó küzdelemben. Ez egyfajta biztosí­ték a megkövesedés, a kikristályosodás ellen, hiszen ötfogású szimmetria a kristályokban nem létezik. A kristályok szimmetriája viszont egy fagyott, halott rend, mely nem enged mozgást, válto­zást, ami az élőlények számára alapvetően fontos. Mindezek a szimmetriák véges számú szimmetriaelemet tartalmaznak, azaz vé­ges számú tükrözésből és elforgatásból, esetleg eltolásból újra és újra elő tudjuk állítani az ismétlődő elemet, azaz pontosan le tudjuk írni az alakzat legfőbb, legszembetűnőbb geometriai tulajdonságait.

Mi van akkor, ha minden határon túl növeljük a fogások számát? Ha nem ötszöget, vagy ötvenötezerszöget vizsgálunk, hanem egy olyan alakzatot, aminek végtelen számú oldala van? Akkor a kör­höz jutunk. A körnél például, és általában a forgásnál azzal az ér­dekes dologgal találkozunk, hogy teljesen mindegy, milyen szög­gel forgatjuk el az alakzatot, mindig ugyanazt kapjuk vissza. Lehet ez a szög nagyon kicsiny, lehet ez a szög nagyon nagy, ha a kört forgatjuk, mindig önmagához jutunk vissza. Hasonló a helyzet egy egyenes szakasszal is. Ha egy egyenesből kivágunk egy szakaszt, és azt saját maga mentén toljuk kisebb-nagyobb, tetszőleges távol­ságra, még mindig egyenest kapunk. Ugyanezt a szakaszt akár tük­rözhetjük is, akkor sem változik semmi. A véges számú, diszkrét szimmetriákból tehát átjutottunk a folytonos szimmetriák világába, és ez a fizikában rendkívül fontos.