A teljes áramkörre vonatkozó Ohm-törvény

A 3.4.1. pontban egy homogén esetére definiáltuk az Ohm-törvényt, amit a továbbiakban általánosítanunk kell olyan áramköri szakaszokra is, amelyek az ellenállásokon kívül aktív áramköri elemeket is tartalmazhatnak. Ezt megtehetjük zárt hurokra, amely a teljes áramkör néven szerepel a további tárgyalásainkban, vagy egy áramköri hurok egy részére is.

1. Az áramforrás fogalma és jellemzői

Egy aktív áramköri elem n 959j96j em más, mint egy áramforrás, amely elektromos energiát szolgáltat az áramkörbe. De mit is jelent az, hogy áramforrás? Tekintsük az alábbi sematikus ábrát, amely egy elektromos áramkört ábrázol, ahol található egy áramforrás és egy fogyasztó (ellenállás) (3.5 ábra). Tudjuk azt egy áramforrásról, hogy van két különböző elektromos potenciállal rendelkező sarka, melyhez csatlakoztatjuk a külső áramkört. Zárt az áramkör, így egy pozitív töltéshordozó, a technikai áramiránynak megfelelően, az áramforrás pozitív sarkától indul el és a negatív sarokig a külső áramkörben az elektromos tér segítségével jut el. A külső áramköri részben hat rá az elektromos tér részéről egy erő és a fenti paragrafusban leírt súrlódási erő, melyek egyensúlya mellett egyenletesen halad. Elérkezik az áramforrás negatív potenciálú sarkához, ahonnan viszont önmagában nem juthat át az áramforráson keresztül a pozitív potenciálú sarokra, mivel belül az áramforrásban fékező hatású elektromos térrel találkozik. Az áramforrás részéről kell hasson rá egy ún. idegen erő, amely átviszi ezt a töltéshordozót a pozitív potenciálú sarokra, mintegy zárva az áramkört (tulajdonképpen így válik zárttá az áramsűrűség erővonala, melyet a (3.9) összefüggéssel fejeztünk ki) ahonnan ismét visszajuttatja az elektromos tér a negatívra.

3.5 ábra

Természetesen az idegen erő munkát végez mialatt a töltéshordozót átviszi az A pontból a B-be. Ezt a munkát, definíció alapján az alábbi vonalintegrál segítségével számíthatjuk ki:

ahol tudjuk, hogy az Q töltést szorzó integrál eredménye egy feszültség dimenziójú mennyiség, melyet elektromotoros feszültségnek (továbbiakban e.m.f.) nevezünk és a (3.31) összefüggéssel adhatunk meg:

Az e.m.f. fizikai jelentése: megadja az idegen erő által az egységnyi töltésen végzett munkáját míg azt a pozitív saroktól a negatív sarokig szállítja. Ez a mennyiség ún. előjeles skaláris mennyiség, ami azt jelenti, hogy mérési irányt rendelünk hozzá. Az e.m.f. mérési iránya megegyezik az idegen erő irányításával, vagy az áramforrás negatív sarkától a pozitív sarka felé mutat.

Az áramforráshoz kapcsolt külső áramkör megszakításával a nyitott kapcsú áramforrás jellemzőit határozhatjuk meg. A nyitott kapcsú áramforrás sarkain, a töltésszétválasztási folyamatnak köszönhetően pozitív illetve negatív töltések jelennek meg. Ez viszont az áramforrás belsejében egy elektromos teret hoz létre, amely a töltésszétválasztódást gátolja. Az áramforráson belül a töltésszétválasztás mindaddig tart, amíg az elektromos tér nagysága egyenlővé válik az idegen térerősséggel (3.6 ábra).

3.6 ábra

Az üresjárati kapocsfeszültséget az elektromos tér vonalintegráljaként számíthatjuk ki (3.32) és szintén mérési iránnyal látjuk el.

Az üresjárati kapocsfeszültséget szintén mérésiránnyal látjuk el, mely az áramforrás pozitív sarkától a negatív sarka fele mutat, tehát éppen ellentétes az e.m.f. mérésirányával, tehát .

2. Teljes áramkörre vonatkozó differenciális Ohm-törvény

A 3.4.2. pontban meghatároztuk a homogén vezetőre vonatkozó differenciális Ohm-törvényt, a 1. pontban pedig tanulmányoztuk az áramforrás néhány jellemzőjét. A további tárgyalásban általánosítjuk a differenciális Ohm-törvényt úgy, hogy bármilyen áramköri szakaszon érvényes legyen. Ezt az általánosítást úgy képzelhetjük el, hogy töltéshordozót, legyen az áramkör bármely pontján, minden esetben az elektromos és az idegen térerősség eredője kényszeríti mozgásra. Ezt a következő alakban írhatjuk fel:

Feltevődik a kérdés, vajon érvényes-e ez az összefüggés az áramkör bármely részén? A válasz igen, s erre a válaszra a következő elméleti meggondolások útján juthatunk:

az áramforráson kívül homogén vezetők találhatók, ahol nincs idegen térerősség () így ezeken a szakaszokon továbbra is érvényes a összefüggés.

ha a külső áramkört megszakítjuk, nem folyik tovább áram, tehát az áramsűrűség , vagyis , amely nem más, mint az üresjárati kapocsfeszültségnek 6.ábrán bemutatott esete.

amikor a zárt áramkörben áramsűrűségű áram folyik, akkor (3.33) alapján bármely áramerősség esetén , ahol viszont állandó.

A fenti három megállapítás igazolj a (3.33) összefüggés helyességét.

3. Zárt áramkörre vonatkozó integrális Ohm-törvény.

Tekintsünk a továbbiakban egy zárt áramkört, amelyben egy belső ellenállással rendelkező áramforrás és egy külső ellenállás található (3.7 ábra).

3.7 ábra

Kiindulva a teljes áramkörre vonatkozó Ohm-törvényből (3.33), határozzuk meg az áramerősséget az ismert áramköri paraméterek függvényében. Ehhez a (3.33) összefüggést a zárt áramkör mentén (mint zárt görbe, ) az ábrán feltüntetett körbejárási iránynak megfelelően integráljuk.

Bontsuk fél két részre a zárt görbét, mégpedig úgy, hogy jelöljük -val görbe áramforráson belüli és -vel az áramforráson kívüli részét. A (3.34) összefüggés a továbbiakban négy integrál összegeként írható fel:

Sorra számítsuk ki a (3.35)-ben szereplő integrálokat. Az első integrál kiszámításánál figyelembe vesszük, hogy a körüljárási irány megegyezik az áramiránnyal, így , az áramsűrűség felírható, mint és a mennyiség nem más, mint az áramforrás egységnyi hosszúságának ellenállása.

Eredményképpen megkapjuk az áramforráson, a belső ellenállás miatti potenciálcsökkenést. A második integrál kiszámítása hasonlóképpen történi, csak a külső áramköri szakaszon, ahol az ellenállás értéke .

Az integrál eredménye a potenciálváltozás a külső ellenálláson. A (3.35) összefüggés harmadik integrálja a (3.17) összefüggés szerint nullát ad, hiszen az elektromos tér konzervatív. A negyedik tagja az összefüggésnek felírható, mint:

Itt viszont tudjuk, hogy a jobb oldal első tagra nulla, mivel a külső áramkörben az idegen térerősség nulla, így marad a második tag, viszont az pedig nem más, mint az áramforrás e.m.f.-e (3.32). A fentieket behelyettesítve (3.35)-be kapjuk:

Ez az összefüggés fejezi ki az áramkörben kialakuló áram erősségét az áramköri elemek paramétereinek függvényében. Vizsgájuk meg az áram értékének változását a külső (terhelő-) ellenállás függvényében (3.8 ábra). Ha az , az áramkörben a rövidzárási áram folyik, mely igen nagy erősségű, ezért megfelelő védelem hiányában az áramforrásokat általában rövid idő alatt tönkreteszi. A rövidzárási áram erőssége . Ha a külső ellenállás értéke nagyon nagy (), az áramerősség tart a nullához. E két szélsőséges eset között az áramerősség értéke nem-lineárisan csökken. Tekintsünk egy egyedi esetet, amikor a külső ellenállás értéke éppen a belső ellenállással egyenlő (), amikor az áram erőssége éppen a rövidzárási áram fele ().

3.8 ábra

Ha az áramkörben erősségű áram folyik, az áramforrás sarkain (vagy a terhelő ellenállás sarkain) mérhetünk egy feszültséget, melyet kapocsfeszültségnek nevezünk. Ezt a kapocsfeszültséget kiszámíthatjuk, mint , vagy . Kiküszöbölve az áramerősséget a fenti összefüggésekből, megkapjuk a kapocsfeszültség külső ellenállástól való függését, melyet a 3.9 ábra mutat be.

3.9 ábra