online kép - Fájl  tube fájl feltöltés file feltöltés - adja hozzá a fájlokat online fedezze fel a legújabb online dokumentumok Kapcsolat
   
 

Letöltheto dokumentumok, programok, törvények, tervezetek, javaslatok, egyéb hasznos információk, receptek - Fájl kiterjesztések - fajltube.com

 

Online dokumentumok - kep
   

Diszkrét valószínüségi valtozók együttes és peremeloszlasa

matematika

Fájl küldése e-mail Esszé Projekt

egyéb tételek

 
Vizsga matek
Matematika A1 vizsga elméleti kérdések
Szamsorozatok és tulajdonsagaik (korlatossag, monotonitas, konvergencia), nevezetes szamsorozatok
Konverzió A Szamrendszerek Között
Hatvanyozas
Amit a törtekröl tudni kell
Végtelen szamsorozatok és sorok, azok tulajdonsagai. A konvergencia fogalma. Nevezetes hatarértékek
Minimum követelmények matematikaból
Húrnégyszög, érintőnégyszög, szimmetrikus négyszögek.
Diszkrét valószínüségi valtozók együttes és peremeloszlasa
 
 

Diszkrét valószínüségi változók együttes és peremeloszlása

Adott Q eseménytér két valószínüségi változója kapcsolatát azok együttes eloszlásával írhatjuk le. A  pij = P(x=xi, h=yj)     (i=1...n, j=1..m) valószínüségek összességét x és h együttes eloszlásának nevezzük.

Peremeloszlás

Táblázatban ábrázolva x és h együttes eloszlását, az egyes xi, yj valószínüségeket soronként, illetve oszloponként összesíthetjük. Az így kapott összesített valószínüségeket nevezzük x-re, illetve h-ra vonatkozó marginális eloszlás 717e43h oknak, más néven peremeloszlásoknak:

A (x, h)-nak a x-hez tartozó peremeloszlása pontosan azt mutatja meg, hogy mekkora valószínüséggel veszi fel a x az xi értékét, függetlenül attól, hogy az h milyen értéke valósul meg. Hasonló meggondolással jutunk a h eloszlásának meghatározására is. Tehát

 és .

Nyilvánvaló, hogy a pij együttes eloszlás teljesíti az alábbi feltételt:

Feltételes eloszlások

A x valószínüségi változó h = yi feltételre vonatkozó feltételes valószínüség-eloszlása az alábbi képlettel adható meg:

P(x = xi | h = yi) =, i = 1,2,…

Hasonlóképpen értelmezzük az h = yj esemény x = xi feltétel melletti valószínüségét is:

P(h = yi | x = xi) =, j = 1,2,…

Változók függetlensége

x és h valószínüségi változók akkor függetlenek, ha a vizsgálatba vont minden elemre teljesül az alábbi összefüggés:

pij = pi*qj

azaz együttes valószínüségük a változók minden értékénél megegyezik a megfelelö sor és oszlop szerinti peremeloszlások szorzatával.

Illetve, ha:

 

Folytonos valószínüségi változók együttes és peremeloszlása

Ha a (x, h) valószínüségi változópárban a x és h is folytonos változó, akkor együttes eloszlásukat egy eloszlásfüggvénnyel (ill. sürüségfüggvénnyel) adjuk meg.

A H(x,y) = P(x, < x, h < y) kétváltozós függvényt a kétdimenziós (x, h) valószínüségi vektorváltozó kétdimenziós eloszlásfüggvényének, vagy a x és h valószínüségi változók együttes eloszlásának nevezzük.

A függvény tulajdonságai megegyeznek az egydimenziós eloszlásfüggvény tulajdonságaival:

1.     H(x,y) mindkét változója szerint monoton növekvö,

2.     , , ,

3.     H(x,y) mindkét változója szerint balról folytonos.

Peremeloszlás

A kétdimenziós eloszlásokból a

 és a  szabállyal származtatott F(x) és G(y) egydimenziós eloszlásokat peremeloszlásoknak nevezzük.

Együttes sürüségfüggvény

A sürüségfüggvény az eloszlásfüggvény másodrendü parciális deriváltja. Tehát

 és .

A sürüségfüggvény tulajdonságai

1.     h(x,y) ł 0,             -Ą < x < Ą,                 -Ą < y < Ą,

2.     ,

3.     P(a Ł x < b; c Ł h < d) =.

Perem-sürüségfüggvények

A x változó sürüségfüggvénye: .

A h változó sürüségfüggvénye: .

Feltételes eloszlások

A x folytonos valószínüségi változó h = y feltételre vonatkozó feltételes sürüségfüggvényén az

f(x | y) = függvényt értjük.

Hasonlóan

g(y | x) =.

A sürüségfüggvény az eloszlásfüggvény parciális deriváltja.

A x valószínüségi változó h = y feltételre vonatkoztatott feltételes eloszlásfüggvényét az

F(x | y) = P(x Ł x | h = y)

egyenlöséggel definiáljuk. Hasonlóan definiálhatjuk az h változónak a x = x feltételre vonatkozó feltételes eloszlásfüggvényét:

G(y | x) = P(h Ł y | x = x) .

Változók függetlensége

A x és h valószínüségi változókat függetlennek tekintjük, ha együttes eloszlásfüggvényük egyenlö perem-eloszlásfüggvényük szorzatával, ill. sürüségfüggvényük egyenlö perem-sürüségfüggvényük szorzatával.

H(x,y) = F(x)G(y) és h(x,y) = f(x)g(y)

Korrelációs együttható

Q eseménytérben felvett x és h valószínüségi változók közötti kapcsolat általában nem írható le függvénnyel, mert a változók között sztochasztikus kapcsolat van. Ennek a kapcsolatnak a szorosságát mérhetjük a kovariancia, illetve a korrelációs együttható segítségével.

Kovariancia

A kovarianciát úgy definiálhatjuk, mint x és h változók súlyozott átlagtól való eltérései szorzatának várható értékét:

cov(x,h) = M((x - M(x))(h - M(h))).

Egyszerübb alakban:

cov(x,h) = M(xh) - M(x)*M(h).

A kovariancia tulajdonságai

1.     Szimmetria: cov(x,h) = cov(h,x);

2.     |cov(x,h)| Ł D(x)*D(h).

Korrelációs együttható

A kovariancia nagyságát jelentösen befolyásolja a valószínüségi változók értékeinek nagyságrendje, így számszerü értéke önmagában nem jellemzö a két változó közötti kapcsolat szorosságára. A korrelációs együttható értékét úgy kapjuk, ha a kovarianciát egységnyi szórásra normalizáljuk, azaz értékét elosztjuk a két változó szórásának szorzatával:

A korrelációs együttható tulajdonságai

1.     |R(x,h)| Ł 1;

2.     Az |R(x,h)| akkor és csak akkor egyenlö 1-gyel, ha x és h között lineáris kapcsolat áll fenn, azaz, ha létezik olyan a <> 0 és b szám, hogy h = ax + b. Ebben az esetben R(x,h) = 1, ha a > 0, és R(x,h) = -1, ha a < 0.;

3.     Ha a x és h valószínüségi változók függetlenek, akkor R(x,h) = 0.;

4.     Ha R(x,h) = 0, akkor ebböl nem következik, hogy a valószínüségi változók függetlenek. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a valószínüségi változók korrelálatlanok. Ez azt jelenti, hogy az M(xh) = M(x)*M(h) egyenlöség fennáll.

5.     Ha x és h korrelálatlanok és létezik a szórásuk, akkor D2(x+h) = D2(x)+D2(h).

Találat: 1663