online kép - Fájl  tube fájl feltöltés file feltöltés - adja hozzá a fájlokat online fedezze fel a legújabb online dokumentumok Kapcsolat
   
 

Letöltheto dokumentumok, programok, törvények, tervezetek, javaslatok, egyéb hasznos információk, receptek - Fájl kiterjesztések - fajltube.com

 

Online dokumentumok - kep
   

Klimatológiai statisztika - A kiadott gyakorló feladatok megoldasa

földrajz

Fájl küldése e-mail Esszé Projekt

egyéb tételek

 
A Föld szerkezete és a közetburok jellemzése
Természetvédelmi vizsgatételek
Globalis felmelegedés
A nagy földrajzi felfedezések és hatasuk
JAPÁN
Banyaszat
Az Amerikai Egyesült Államok - Kansas és Alaszka allamai
A kar rövid története
Klimatológiai statisztika - A kiadott gyakorló feladatok megoldasa
 
 

 

Klimatológiai statisztika

A kiadott gyakorló

feladatok megoldása


1. Feladat

Tihanyban 22 év során 37 napon fordult elő 30 mm-t meghaladó 24 órai csapadék. Milyen valószínűséggel várható olyan év, amikor nem fordul elő 30 mm-t meghaladó csapadékmennyiség.

 

Alapkérdés:

Adott p valószínűségi alternatív esemény n esetből k-szori bekövetkezése milyen valószínűséggel várható.

 

Feladat típus

Mivel az alapkérdést alkalmazhatjuk és p =                     = 0,00467721 è p< 0,03

Ezért Poisson eloszlást alkalmazzuk.

Meghatározzuk a Poisson eloszlás paramétereit:

Paraméterek

            n · p ; k

            n · p = 365 ·               =             = 1,681818

            k = 0

Felírjuk a Poisson eloszlás képletét:

 


P(k ; n · p) =                                      e = 2,72

Behelyettesítünk a képletbe:

            k = 0 ; n · p =  1,681818


P(0 ; 1,681818) =                                         

P(0 ; 1,681818) = 0,1860

 

Válaszolunk a feladatra:

Tehát annak a valószínűsége, hogy a kiindulási paraméterek szerint Tihanyban egy adott év során nem fordul elő 30 mm-t meghaladó csapadékmennyiség 18,6% a valószínűsége.


2. Feladat

Egy hegycsúcsra telepítendő TV-torony műszaki tervezéséhez szükséges annak ismerete, hogy egy adott évben 3 villámcsapás éri a csúcsot. A környéken végzett megfigyelések szerint 8 év során 19 db - hegycsúcsot ért – villámcsapást jegyeztek fel. Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy évben 3 villámcsapás érje a csúcsot?

 

Alapkérdés:

Adott p valószínűségi alternatív esemény n esetből k-szori bekövetkezése milyen valószínűséggel várható.

 

Feladat típus

Mivel az alapkérdést alkalmazhatjuk és p =                     = 0,006506849 è p< 0,03

Ezért Poisson eloszlást alkalmazzuk.

Meghatározzuk a Poisson eloszlás paramétereit:

Paraméterek

            n · p ; k

            n · p = 365 ·               =             = 2,375

            k = 3

Felírjuk a Poisson eloszlás képletét:

 


P(k ; n · p) =                                      e = 2,72

Behelyettesítünk a képletbe:

            k = 3 ; n · p =  2,375


P(3 ; 2,375) =                                               

P(3 ; 2,375) = 0,207677858

 

Válaszolunk a feladatra:

Tehát annak a valószínűsége, hogy egy évben 3 villámcsapás érje a hegycsúcsot 20,767%.


3. Feladat

Mi annak a valószínűsége, hogy egy adott helyen az év 12 hónapjából egynek sem lesz magasabb a középhőmérséklete a felső kvartilisnél?

 

Alapkérdés:

     

     75%

 
Adott p valószínűségi alternatív esemény n esetből k-szori bekövetkezése milyen valószínűséggel várható.

 


Feladat típus

Binomiális, mert  p = 0,75

Meghatározzuk a Binomiális eloszlás paramétereit:

Paraméterek

            p = 0,75

            n = 12

            k = 12

Felírjuk a Binomiális eloszlás képletét:

pk · (1 - p) n-k

 
 


P(k ; n ) =                               ·                                 

Behelyettesítünk a képletbe:

0,7512 · (1 – 0,75) 12 - 12

 


P(12 ; 12) =                                   ·

P(12 ; 12) = 0,03167

 

Válaszolunk a feladatra:

Tehát annak a valószínűsége, hogy egy adott helyen az év 12 hónapjából egyiknek sem lesz magasabb a középhőmérséklete 3,167%.


4. Feladat

Winnipegben a januári középhőmérséklet –17,7°C a szórása pedig 4,1°C.

Normális eloszlást feltételezve határozzuk meg annak a középre szimmetrikus intervallumnak a végpontjait, amelyek közé az összes érték 50%-a esik!

 

Feladat típus meghatározása

Mivel hőmérsékletről van szó, ezért Normál eloszlást alkalmazunk.

Meghatározzuk a Normális eloszlás paramétereit:

Paraméterek

            m = -17,7

            σ  =  4,1

Oldjuk meg grafikusan a feladatot:

Annak a valószínűsége, hogy bármely X érték

kisebb legyen Xa - nál 25%

kisebb legyen Xb –nél 75%

P( X < Xa ) = F( Xa ) = 25%

P( X < Xb ) =  F (Xb) = 75%

Annak a valószínűsége, hogy

P(Xa  < X < Xb) = P(X < Xb) – P(X < Xa) = F(Xb) – F(Xa) = 75% -25% = 50%

Oldjuk meg számszerűen:

Xa – m

    σ

 

Xa – (–17,7)

4,1

 


X è                 == da è                                                 = da

 

F( da ) = 25% è da = –0,678

Xa = 4,1* ( - 0,678 ) + (–17,7 )

Xa = - 20,4798


F(d b ) = 75% è d b = 0,678

 Xb = 4,1 · 0,678 + (–17,7)

Xb  = –14,9202

 

Xb = ( m - Xa)  + m

Xb = (–17,7 – (–20,4798) ) + (–17,7 )

Xb = –14,9202


 

Válaszolunk a feladatra:

Tehát a kiindulási paraméterek szerint [ 14,9202 ;20,4798 ] intervallum az, amelybe a közepek 50%-os valószínűséggel esnek.


5. Feladat

Egy időszakos növényfaj létfeltételeihez szükséges, hogy a vegetációs időszakban uralkodó havi középhőmérsékletek legalább 40%-a 12°C fölött legyen. Az A és B észlelőhelyeken a vegetációs időszak havi közepeinek megfelelő paraméterei a következők:

A: m=11,5°C  σ = 1 °C

B: m=11,0°C  σ = 4 °C

 

Feladat típus meghatározása

Mivel hőmérsékletről van szó, ezért Normál eloszlást alkalmazunk.

Meghatározzuk a Normális eloszlás paramétereit:

Paraméterek

            ma = –17,7  mb = 11,0

            σa  =  4,1     σb =  4

 

Oldjuk meg grafikusan a feladatot:

Annak a valószínűsége, hogy a havi középhőmérsékletek legalább 40%-a 12°C   fölött csak F( Xa) , F( Xb ) = 60%-nál Xa , Xb ≥ 12°C esetén lehet.

Oldjuk meg számszerűen:

Xa – m

    σ

 

Xa –(–11,5)

4,1

 


X è                 == da è                                                 = da

 

F( da ) = 60% è da = – 0,254

Xa = 1* (– 0,254 ) + 11,5

Xa = 11,754

F( db ) = 60% è db = – 0,254

= 4 · (– 0,254 ) + 11,0 111d34b

Xa = 12,017

 

Válaszolunk a feladatra:

Tehát a kiindulási paraméterek szerint az A észlelőhelyen nem lehetséges az adott növényfaj léte, de a B észlelőhelyen lehetséges!


6. Feladat

Szegeden az 1901-1960 közötti 60 év adatai alapján a júniusi középhőmérsékletek 20,5°C. Kizárólag a hőmérsékletek feltételezetten normális eloszlását felhasználva határozzuk meg a júniusi középhőmérsékletek szórását, ha tudjuk, a vizsgált 60 június közül 11-nek volt a középhőmérséklete legalább 22°C.

 

Feladat típus meghatározása

Mivel hőmérsékletről van szó, ezért Normál eloszlást alkalmazunk.

Meghatározzuk a Normális eloszlás paramétereit:

Paraméterek:

            m = 20,5

            x =  22

F(d) = 1-11/60 = 100% - 18,33% = 81,66%

Oldjuk meg grafikusan a feladatot:

F(d) = 81,66% ezért d = 0,907

X >= 22-nál, aminek 18,33% esélye van

Így az X =< 22-nek 81,66% esélye van

Oldjuk meg számszerűen:

X – m

    σ

 

X – m

d

 


                   = d è           σ =                         = da

22 – 20,5

0,907

 

1,5

0,907

 


σ =                           =                          = 1,654

Válaszolunk a feladatra:

Tehát a kiindulási paraméterek szerint a szórás 1,654°C


7. Feladat

Tekintsünk egy adott helyre vonatkozó több éves hőmérsékleti sort. Ez a hőmérsékleti sor havi közepekből áll. Annak a valószínűsége, hogy egy tetszőleges hónap középhőmérséklete a több éves sor közepe fölötti 0,5 . Kiválasztva egy tetszőleges évszakot, mi a valószínűsége annak, hogy abban egyetlen hónap középhőmérséklete sem lesz a több éves sor átlaga

a)     felett

b)     alatt?

Alapkérdés

Adott p = 0,5 valószínűségi alternatív esemény n esetből k-szori bekövetkezése milyen valószínűséggel várható.

Feladat típus:

Binomiális, mert p = 0,5

Meghatározzuk a Binomiális eloszlás paramétereit:

Paraméterek:

            p = 0,5

            n = 3;3

            k = 0;3

Felírjuk a Binomiális eloszlás képletét:

n!

k! · (n - k)!

 


P(k ; n) =                                 · pk · (1 - p) n-k

3!

0! · (3 - 0)!

 
Behelyettesítünk a képletbe:

a)

            P(0 ; 3) =                                 · 0,50 · (1 – 0,5) 3-0

P(0 ; 3) = 0,125
(ha egy sincs az átlag felett)

3!

3! · (3 - 3)!

 
b)

            P(3 ; 3) =                                 · 0,53 · (1 – 0,5) 3-3

P(3 ; 3) = 0,125
(ha egy sincs az átlag alatt)

Válaszolunk a feladatra:

Tehát annak a valószínűsége, hogy egyetlen hónap:

            középhőmérséklete sem lesz a több éves sor átlaga felett: 12,5%

középhőmérséklete sem lesz a több éves sor átlaga alatt: 12,5%


8.Feladat

Szombathelyen 140 év áprilisi középhőmérséklete 9,7°C, a szórás 2,3°C. Határozzuk meg az április középhőmérsékletek alsó és felső kvartilisét!

Feladat típus meghatározása:

Mivel hőmérsékletről van szó, ezért Normál eloszlást alkalmazunk.

Meghatározzuk a Normális eloszlás paramétereit:

m = 9,7

            σ = 2,3

F(dalsó)  = 25,00% è d= – 0,678

F(dfelső) = 75,00% è d= 0,678

Grafikusan a feladat:


Oldjuk meg számszerűen:

x – m

σ

 
                       

                     = d è x = d σ + m

Xalsó = – 0,678 · 2,3 + 9,7 = 8,14

Xfelső = 0,678 · 2,3 + 9,7 = 11,26

Válaszolunk a feladatra:

Tehát az áprilisi középhőmérsékletek

            Alsó kvartilise: 8,14

            Felső kvartilise: 11,26


9.Feladat

Szegeden a júniusi középhőmérséklete 20,4°C, a szórás 1,2°C. Határozzuk meg annak a számtani középre szimmetrikus intervallumnak az alsó és felső határát, amelybe normális eloszlás esetén 2/3 valószínűséggel esnek az értékek!

 

Feladat típus meghatározása:

Mivel hőmérsékletről van szó, ezért Normál eloszlást alkalmazunk.

Meghatározzuk a Normális eloszlás paramétereit:

m = 20,4

            σ = 1,2

F(dalsó)  = ( 1 – 2/3 )/2 = 1/6 = 16,67% è d= – 0,97

F(dfelső) = ( 1 – 2/3 )/2 +2/3 = 5/6 = 83,33% è d= 0,97

Grafikusan a feladat:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Oldjuk meg számszerűen:

x – m

σ

 
                       

                     = d è x = d σ + m

Xalsó = – 0,678 · 1,2 + 20,4 = 19,236

Xfelső = 0,678 · 1,2 + 20,4 = 21,564

Válaszolunk a feladatra:

Tehát a júniusi középhőmérsékletek 2/3-os valószínűséggel esnek a

[ 19,236 ; 21,564 ] intervallumba.


10.Feladat

Hódmezővásárhelyen a 20 mm-t meghaladó napi csapadék átlagos gyakorisága 4 nap. Mi a valószínűsége annak, hogy egyszer sem fordul elő egy évbe és annak, hogy 5 alkalommal fordul elő egy évben 20 mm-t meghaladó napi csapadékösszeg.

Alapkérdés:

Adott p valószínűségi alternatív esemény n esetből k szori bekövetkezése milyen valószínűséggel várható.

4

365

 
Feladat típus:

Mivel az alapkérdést alkalmazhatjuk és p =                = 0,01095 è p < 0,03 ezért a Poisson eloszlást alkalmazzuk.

Meghatározzuk a Poisson eloszlás paramétereit:

Paraméterek:

            n · p ; k

            n · p = 365 ·               =  4

            k = 0 ; 5

Felírjuk a Poisson eloszlás képletét:

 


P(k ; n · p) =                                      e = 2,72

Behelyettesítünk a képletbe:


k = 0;5 ; n · p =  4


P(0 ; 4) =                                           

P(0 ; 4) = 0,0183


P(5 ; 4) =                                           

P(5 ; 4) = 0,1562


 

Válaszolunk a feladatra:

Tehát annak a valószínűsége, hogy egy évben 20 mm-t maghaladó csapadék

0 alkalommal fordul elő: 1,83%.

5 alkalommal fordul elő: 15,62%.


11.Feladat

Budapest belterületén és külterületén 1975 júliusának és augusztusának 21 órai hőmérsékletei a következő módon oszlanak meg:

°C

16-18

18-20

20-22

22-24

24-26

26-28

Belterület

5

10

16

18

10

3

Külterület

8

14

25

10

5

0

Kimutatható-e, hogy a külterülethez képest a belterület esti hőmérsékletei szignifikánsan eltérnek?

A Null-Hipotézis felvetése:

Nem mutatható ki szignifikáns eltérés a belterület és a külterület között.

Feladat típusa:

χ2 próba. Homogenitás vizsgálat.

A feltételezett értékek meghatározása ( az osztás közi gyakorisági értékeket )

°C

16-18

18-20

20-22

22-24

24-28

Σ

F

6,5

12

20,5

14

9

Belterület

5

10

16

18

10 → (13) ← 3

62

F

6,5

12

20,5

14

9

Külterület

8

14

25

10

5→ (5) ←0

62

Σ

13

24

41

28

15 → (18) ←3

124

F1;1 =

62 · 13

124

= 6,5

F2;1 =

62 · 13

124

= 6,5

F1;2 =

62 · 24

124

= 12,0

F2;2 =

62 · 24

124

= 12,0

F1;3 =

62 · 41

124

= 20,5

F2;3 =

62 · 41

124

= 20,5

F1;4 =

62 · 28

124

= 14,0

F2;4 =

62 · 28

124

= 14,0

F1;5 =

62 · 18

124

= 9,0

F2;5 =

62 · 18

124

= 9,0

Végezzük el a χ2 próbát:

n

Σ =

i=1

( Éi – Fi )2

Fi

K=

(

( 5 –6,5 )2

+

( 10 - 12)2

+

( 16 –20,5)2

+

( 18 - 14)2

+

( 13 –9 )2

)

· 2

6,5

12

20,5

14

9

( azért van kettővel szorozva, mert a sor/oszlop összegek megegyeznek így az F is )

K=

2,25

+

4

+

20,25

+

16

+

16

· 2

= 4,588 · 2 = 9,176

6,5

12

20,5

14

9

SzF = ( 2 - 1) · ( 5 – 1 ) = 4

χ40,05 = 9,49

χ40,05 > K tehát a Null – hipotézis teljesül.

Válaszolunk a feladatra:

Tehát a Null – Hipotézis teljesül. Azaz: Nem mutatható ki szignifikáns eltérés a külterület és a belterület esti kőmérsékletei között (lényeges eltérést nem mutat).


12.Feladat

Egy ipari városban légszennyezettség-gátló berendezésekkel csökkentették a levegőbe jutó égéstermékek mennyiségét. A beavatkozás előtti 10 és a beavatkozás utáni 3 éven átvégzett megfigyelések szerint 13 órakor a jó, a közepes és rossz látástávolság az alábbi esetszámban volt megfigyelhető:

Látástávolság

közepes

rossz

Σ

Beavatkozás előtt

78

124

108

310

Beavatkozás után

35

43

15

93

Σ

113

167

123

403

A Null – Hipotézis felvetése:

Nem mutatható ki lényeges eltérés a két minta között ( azaz nem mutatható ki a műszaki beavatkozás a város levegőjének tisztulásában )

Feladat típusa:

χ2 próba. Homogenitás vizsgálat.

A feltételezett értékek meghatározása ( az osztás közi gyakorisági értékeket )

Látástávolság

közepes

Rossz

Σ

F

86,92

128,46

94,62

Beavatkozás előtt

78

124

108

310

F

26,08

38,54

28,38

Beavatkozás után

35

43

15

93

Σ

113

167

123

403

F1;1 =

310 · 113

403

= 86,92

F2;1 =

93 · 113

403

= 26,08

F1;2 =

310 · 167

403

= 128,46

F2;2 =

93 · 167

403

= 38,54

F1;3 =

310 · 123

403

= 94,62

F2;3 =

93 · 123

403

= 28,38

Végezzük el a χ2 próbát:

n

Σ =

i=1

( Éi – Fi )2

Fi

K=

(78–86,92)2

+

(124–128,46)2

+

(108–94,62)2

+

(35– 26,08)2

+

(43–38,54)2

+

(15–28,38)2

86,92

128,46

94,62

26,08

38,54

28,38

K=

79,5664

+

19,8916

+

179,0244

+

79,5664

+

19,8916

+

179,0244

= 12,84

86,92

128,46

94,62

26,08

38,54

28,38

SzF = ( 2 - 1) · ( 3 – 1 ) = 2

χ20,05 = 5,99

χ20,05  < K tehát a Null – hipotézis nem teljesül.

Válaszolunk a feladatra:

Tehát a Null – Hipotézis  nem teljesül. Azaz: Igen, kimutatható a műszaki beavatkozás a város levegőjének tisztulásában (a két minta lényeges eltérést mutat).


13.Feladat

Bresztben 60 év során a legcsapadékosabb évszakok megoszlása a következő volt:

Tél

Tavasz

Nyár

Ősz

16

11

13

20

Fenntartható-e az az állítás, hogy Bresztben a csapadékmaximum egyenlő eséllyel várható bármely évszakban?

A Null – Hipotézis feltevése:

A csapadékmaximum egyenlő várható bármely évszakban.

Feladat típusa:

χ2 próba. Tiszta illeszkedéses vizsgálat.

Határozzuk meg az F értékeket ( az osztás közi gyakorisági értékeket )

60/4 = 15 minden évszakra.

Tél

Tavasz

Nyár

Ősz

Σ

É

16

11

13

20

60

F

15

15

15

15

60

 

Végezzük el a χ2 próbát:

n

Σ =

i=1

( Éi – Fi )2

Fi

K=

(16–15)2

+

(11–15)2

+

(13–15)2

+

(20– 15)2

15

15

15

15

K=

1

+

16

+

4

+

25

=

46

= 3,067

15

15

15

15

15

SzF = ( 2 - 1) · ( 4 – 1 ) = 3

χ30,05 = 7,82

χ30,05  > K tehát a Null – hipotézis teljesül.

Válaszolunk a feladatra:

Tehát a Null – Hipotézis  teljesül. Azaz: A csapadékmaximum egyenlő eséllyel várható bármely évszakban. Igen, az állítás fenntartható.


14.Feladat

Sopronban az 1971 – 1975 közötti 5 év júniusi napjai közül 82 volt csapadékos. Adjunk 95%-os megbízhatósági becslést a csapadék valószínűségére júniusban!

Feladat típusa

Valószínűség konfidencia intervallum

Paraméterek meghatározása

p =

82

=

0,547  ( 54,7% )

5 · 30

   n = 150

a választott valószínűségi szint 5% è d = 1,96

Oldjuk meg számszerűen a feladatot:

p = 0,547 ; n = 150 ; d = 1,96

σp =

p(1 - p)

=

0,547(1 – 0,547)

=

0,2477

= 0,0406

n

150

150

p1 = p – dσ = 0,547 – 1,96 · 0,0406 = 0,467

p2 = p + dσ = 0,547 + 1,96 · 0,0406 = 0,627

p1 = 0,467

p = 0,547

P2 = 0,627

Válaszolunk a feladatra:

Tehát a 95%-os megbízhatósági becslés a csapadék valószínűségére

[P1 ; P2 ] = [ 0,467 ; 0,627] .


15.Feladat

Pécset 80 év megfigyelései alapján az augusztusi középhőmérséklet: 21,7°C, a szórás 1,3°C. Az értékek az alábbi módon oszlanak meg:

18-19°C

19-20°C

20-21°C

21-22°C

22-23°C

23-24°C

24-25°C

2

7

12

22

23

9

5

Igazolható-e, hogy az adatok a normális eloszlás szerint oszlanak meg?

A Null – Hipotézis felvetése:

Nincs lényeges eltérés az adatok eloszlása és a normális eloszlás között.

Feladat típus:

χ2 próba. Becsléses illeszkedéses vizsgálat.

Paraméterek meghatározása:

A normális eloszlás paraméterei a minta paraméterei.

m = 21,7°C ; σ = 1,3°C

Normális eloszlást feltételezve határozzuk meg az F értékeket ( az osztás közi gyakorisági értékeket):

18-19;19-20°C

20-21°C

21-22°C

22-23°C

23-24;24-25°C

Σ

Belterület

2 → (9) ← 7

12

22

23

9 → (14) ← 5

80

Külterület

8

15

23

21

10→ (13) ←3

80

x –m

= d ; p =

k

→ k = p · n ; n = 80

σ

n

x = 20 →

20 – 21,7

1,3

= – 1,31 = d → F(d) = 9,80% → p = 0,10; k = 0,10 · 80 = 8

x = 21 →

21 – 21,7

1,3

= – 0,54 = d → F(d) = 29,19% → p = 0,29 – 10 = 0,19; k = 0,19 · 80 = 15

x = 22 →

22 – 21,7

1,3

=  0,23 = d → F(d) = 58,00% → p = 0,58 – 0,29 = 0,29; k = 0,29 · 80 = 23

x = 23 →

23 – 21,7

1,3

=  1,00 = d → F(d) = 84,13% → p = 0,84 – 0,58 = 0,26; k = 0,26 · 80 = 21

x = 24 →

24 – 21,7

1,3

=  1,77 = d → F(d) = 96,41% → p = 0,96 – 0,84 = 0,12; k = 0,12 · 80 = 10

A maradék pedig: 80-8-15-23-21-10 = 3, ami a 24-25°C közötti

 

Végezzük el a χ2 próbát:

N

Σ =

i=1

( Éi – Fi )2

Fi

K=

(9–8)2

+

(12–15)2

+

(22–23)2

+

(23– 22)2

+

(14– 13)2

8

15

23

22

13

K=

1

+

9

+

1

+

1

+

1

= 0,891

8

15

23

22

13

SzF = ( 2 - 1) · ( 5 – 1 ) = 4

χ40,05 = 9,49

χ40,05  > K tehát a Null – hipotézis teljesül.

Válaszolunk a feladatra:

Tehát a Null – Hipotézis  teljesül. Azaz: Nincs lényeges eltérés a minta és a normális eloszlás között. Igen, igazolható, hogy az adatok a normális  eloszlás szerinti oszlanak meg.


16.Feladat

Orosházán a megfigyelési sor alapján júliusban időszakban a 30°C fölötti maximum hőmérséklet bekövetkezési valószínűsége 30%. Két év során előfordult 21 anticiklonális időjárású július nap közül 14-en emelkedett a hőmérséklet 30°C fölé. Jelentősen befolyásolja-e az anticiklonális időjárás a nyári hőség kialakulását?

A Null – Hipotázis feltevése:

Nincs lényeges eltérés a 30°C fölötti maximum hőmérséklet bekövetkezési valószínűsége között, anticiklonális időjárású napokon és a szokásos között.

Feladat típusa:

Valószínűség konfidencia intervallum.

Paraméterek meghatározása:

P = 0,30 (30%)

p =

14

=

0,67  ( 67% )

21

   n = 21

a választott valószínűségi szint 5% è d = 1,96

Oldjuk meg számszerűen a feladatot:

P = 0,30 ; p = 0,67 ; n = 21 ; d = 1,96

σp =

p(1 - p)

=

0,67(1 – 0,67)

=

0,2211

= 0,103

n

21

21

p1 = p – dσ = 0,67 – 1,96 · 0,103 = 0,47

p2 = p + dσ = 0,67 + 1,96 · 0,103 = 0,87

Döntünk a Null – Hipotézis teljesülése ill. nem teljesülése között:

Nem igaz, hogy P Î [P1 ; P2 ] ezért a Null – Hipotézis nem teljesül.

 P = 0,30

p1 = 0,47

p = 0,67

p2 = 0,87

 

Válaszolunk a feladatra:

Tehát  mivel P Ï [P1 ; P2 ] azaz 0,30 Ï [ 0,47 ; 0,87 ] ezért a Null – Hipotézis nem teljesül. Azaz az anticoklonális időjárású napokon a 30°C fölötti maximum hőmérséklet bekövetkezési valószínűsége a szokásostól lényegesen eltér (nagyobb). Igen, jelentősen befolyásolja az anticiklonális időjárás a nyári hőség kialakulását.


17.Feladat

Siófokon 10 év összes júniusi napja közül 75-ön jegyeztek fel 10 m/s-nál nagyobb széllökést. Ugyanezen időszak 60 zivataros napja közül 33-on fordult elő ekkora értékű szélsebesség. Kimondható-e, hogy zivataros napokon jelentősen nagyobb az erős szél bekövetkezési valószínűsége?

A Null – Hipotázis feltevése:

Nincs lényeges eltérés az erős szél csapadék bekövetkezési valószínűsége között Siófokon júniusban, a zivataros napokon és a szokásos között.

Feladat típusa:

Valószínűség konfidencia intervallum.

Paraméterek meghatározása:

P =

75

=

0,25  ( 25% )

10 · 30

p =

33

=

0,55  ( 55% )

60

   n = 60

a választott valószínűségi szint 5% è d = 1,96

Oldjuk meg számszerűen a feladatot:

P = 0,25 ; p = 0,55 ; n = 60 ; d = 1,96

σp =

p(1 - p)

=

0,55(1 – 0,55)

=

0,2475

= 0,064

n

60

60

p1 = p – dσ = 0,55 – 1,96 · 0,064 = 0,42

p2 = p + dσ = 0,55 + 1,96 · 0,064 = 0,68

Döntünk a Null – Hipotézis teljesülése ill. nem teljesülése között:

Nem igaz, hogy P Î [P1 ; P2 ] ezért a Null – Hipotézis nem teljesül.

 P = 0,25

p1 = 0,42

p = 0,55

p2 = 0,68

 

Válaszolunk a feladatra:

Tehát  mivel P Ï [P1 ; P2 ] azaz 0,25 Ï [ 0,42 ; 0,68 ] ezért a Null – Hipotézis nem teljesül. Azaz az zivataros napokon az erős szél bekövetkezési valószínűsége a szokásostól lényegesen eltér (nagyobb az erős szél bekövetkezési valószínűsége). Igen, kimutatható, hogy zivataros napokon jelentősen nagyobb az erős szél bekövetkezési valószínűsége.


18. Feladat

San Cristobal (Galápagosz-szg) megfigyelő helyen az átlagosnál csapadékosabb március bekövetkezési valószínűsége 46%. 11 olyan márciusi hónapból, amikor a környező tenger vizének hőmérséklete legalább 1°C-al melegebb volt a szokásosnál, 8 volt az átlagosnál csapadékosabb. Igazolható-e, hogy meleg tenger környezetében a szokásosnál több a csapadék?

A Null – Hipotázis feltevése:

Nincs lényeges eltérés az erős szél csapadék bekövetkezési valószínűsége között akkor, amikor a környező tenger hőmérséklete legalább 1°C –al melegebb és a szokásos között.

Feladat típusa:

Valószínűség konfidencia intervallum.

Paraméterek meghatározása:

  P = 0,46 (46%)

p =

8

=

0,73  ( 73% )

11

   n = 11

a választott valószínűségi szint 5% è d = 1,96

Oldjuk meg számszerűen a feladatot:

P = 0,46 ; p = 0,73 ; n = 11 ; d = 1,96

σp =

p(1 - p)

=

0,73(1 – 0,73)

=

0,1971

= 0,134

n

11

11

p1 = p – dσ = 0,73 – 1,96 · 0,134 = 0,47

p2 = p + dσ = 0,73 + 1,96 · 0,134 = 0,99

Döntünk a Null – Hipotézis teljesülése ill. nem teljesülése között:

Nem igaz, hogy P Î [P1 ; P2 ] ezért a Null – Hipotézis nem teljesül.

 P = 0,46

p1 = 0,47

p = 0,73

p2 = 0,99

 

Válaszolunk a feladatra:

Tehát  mivel P Ï [P1 ; P2 ] azaz 0,46 Ï [ 0,47 ; 0,99 ] ezért a Null – Hipotézis nem teljesül. Azaz amikor a környező tenger hőmérséklete legalább 1°C-al melegebb és a szokásosnál, akkor a csapadék valószínűsége a szokásosnál több. Igen, igazolható, hogy meleg tenger környezetben a szokásosnál több csapadék.


19. Feladat

Budapesten az átlagosnál csapadékosabb január bekövetkezési valószínűsége 46%. 14 átlagosnál hidegebb január közül 9 volt az átlagosnál csapadékosabb. Kimondható-e, az információk alapján, hogy a hidegebb januárok a szokásosnál csapadékosabbak?

A Null – Hipotázis feltevése:

Nincs lényeges eltérés az átlagosnál csapadékosabb január bekövetkezési valószínűsége között akkor, amikor az átlagosnál hidegebb január van és a szokásos között.

Feladat típusa:

Valószínűség konfidencia intervallum.

Paraméterek meghatározása:

  P = 0,46 (46%)

p =

9

=

0,64  ( 64% )

14

   n = 14

a választott valószínűségi szint 5% è d = 1,96

Oldjuk meg számszerűen a feladatot:

P = 0,46 ; p = 0,64 ; n = 14 ; d = 1,96

σp =

p(1 - p)

=

0,64(1 – 0,64)

=

0,2932

= 0,145

n

14

14

p1 = p – dσ = 0,64 – 1,96 · 0,145 = 0,36

p2 = p + dσ = 0,64 + 1,96 · 0,145 = 0,92

Döntünk a Null – Hipotézis teljesülése ill. nem teljesülése között:

Nem igaz, hogy P Î [P1 ; P2 ] ezért a Null – Hipotézis teljesül.

 p1 = 0,36

P = 0,46

p = 0,64

p2 = 0,92

 

Válaszolunk a feladatra:

Tehát  mivel P Î [P1 ; P2 ] azaz 0,46 Î [ 0,36 ; 0,92 ] ezért a Null – Hipotézis teljesül. Azaz: Nincs lényeges eltérés az átlagosnál csapadékosabb január bekövetkezési valószínűsége között akkor, amikor az átlagosnál hidegebb január van és a szokásos között. Nem mondható ki az információk alapján, hogy a hideg januárok a szokásosnál csapadékosabbak.


20. Feladat

Békéscsabán 80 évi megfigyelés alapján az októberi középhőmérséklet: 12,4°C, a szórás 1,4°C. Az adatok gyakorisági eloszlása a következő:

7-8°C

8-9°C

9-10°C

10-11°C

11-12°C

12-13°C

13-14°C

14-15°C

15-16°C

16-17°C

2

2

8

4

13

22

15

8

4

2

Igazolható-e, hogy az adatok a normális eloszlása?

A Null – Hipotézis felvetése:

Nincs lényeges eltérés az adatok eloszlása és a normális eloszlás között.

Feladat típus:

χ2 próba. Becsléses illeszkedéses vizsgálat.

Paraméterek meghatározása:

A normális eloszlás paraméterei a minta paraméterei.

m = 12,4°C ; σ = 1,4°C

Normális eloszlást feltételezve határozzuk meg az F értékeket ( az osztás közi gyakorisági értékeket):

7-8-;8-9;9-10;10-11°C

11-12°C

12-13°C

13-14°C

14-15;(15-16;16-17)°C

Σ

É

(2→(4)←2)→ (16)← (8→(12) ←4)

13

22

15

8 → (14) ← 6

80

F

13

18

22

17

8→ (10) ←2

80

x –m

= d ; p =

k

→ k = p · n ; n = 80

σ

n

x = 11 →

11 – 12,4

1,4

= – 1 = d → F(d) = 15,87% → p = 0,16; k = 0,16 · 80 = 13

x = 12 →

12 – 12,4

1,4

= – 0,29 = d → F(d) = 38,265% → p = 0,38 – 16 = 0,22; k = 0,22 · 80 = 18

x = 13 →

13 – 12,4

1,4

=  0,43 = d → F(d) = 65,54% → p = 0,66 – 0,38 = 0,28; k = 0,28 · 80 = 22

x = 14 →

14 – 12,4

1,4

=  1,14 = d → F(d) = 87,4% → p = 0,87 – 0,66 = 0,21; k = 0,21 · 80 = 17

x = 15 →

15 – 12,4

1,4

=  1,86 = d → F(d) = 96,61% → p = 0,97 – 0,87 = 0,10; k = 0,10 · 80 = 8

A maradék pedig: 80-13-18-22-17-8 = 2, ami a 15-17°C közötti

 

Végezzük el a χ2 próbát:

n

Σ =

i=1

( Éi – Fi )2

Fi

K=

(16–13)2

+

(13–18)2

+

(22–22)2

+

(15– 17)2

+

(14– 10)2

13

18

22

17

10

K=

9

+

25

+

0

+

4

+

16

= 3,916

13

18

22

17

10

SzF = ( 2 - 1) · ( 5 – 1 ) = 4

χ40,05 = 9,49

χ40,05  > K tehát a Null – hipotézis teljesül.

Válaszolunk a feladatra:

Tehát a Null – Hipotézis  teljesül. Azaz: Nincs lényeges eltérés a minta és a normális eloszlás között. Igen, igazolható, hogy az adatok a normális  eloszlás szerinti.

Találat: 1864